AYT Fizik Vektörler: Büyüklük, Yön ve Bileşke

Skaler ve vektörel büyüklüklerin ayrımı

Skaler büyüklükler yalnızca büyüklük ve birimle ifade edilir. Kütle, zaman, sıcaklık ve enerji skaler büyüklüklere örnektir; örneğin 5 kg kütle ifadesinde bir yön bilgisi aranmaz. Vektörel büyüklüklerde ise sayısal değere ek olarak doğrultu ve yön bulunur. Yer değiştirme, hız ve kuvvet bu gruba girer.

Bu ayrım, toplama işleminin nasıl yapılacağını da değiştirir. Skalerlerde aynı tür nicelikler cebirsel olarak toplanabilirken vektörlerde yönler hesaba katılır. Doğu yönünde 4 m ve kuzey yönünde 3 m yer değiştiren bir kişinin toplam yer değiştirmesi 7 m değildir; iki hareket farklı doğrultularda olduğu için sonuç çapraz bir yönde oluşur. Bu nedenle vektörlerin büyüklüklerini doğrudan toplamak yerine oklarla veya bileşenlerle işlem yapmak gerekir. Skaler çarpım ve vektörel çarpım, vektörlerle yapılan farklı işlemleri konu alan ayrı bir başlıktır.

Vektörün büyüklük, doğrultu ve yön bakımından gösterimi

Bir vektör, genellikle başlangıç noktasından bitiş noktasına uzanan okla gösterilir. Okun uzunluğu vektörün büyüklüğünü, okun üzerinde bulunduğu çizgi doğrultuyu, okun sivri ucu ise yönü belirtir. Örneğin yatay bir doğru üzerindeki sağa bakan uzun bir ok, yatay doğrultuda sağ yönlü ve belirli bir büyüklüğe sahip bir vektörü temsil eder. Çizimde uzunlukların fiziksel büyüklükle orantılı olması isteniyorsa bir ölçek kullanılır; böylece okun uzunluğu ölçülerek vektörün büyüklüğüne dönüştürülebilir.

Doğrultu ve yön aynı şey değildir. Doğu-batı doğrultusu tek bir çizgi ailesini belirtirken doğu ve batı bu doğrultudaki iki farklı yöndür. Bu ayrım, aynı çizgi üzerinde bulunan vektörlerde özellikle önemlidir. 6 birim doğuya yönelen bir ok ile 6 birim batıya yönelen bir okun büyüklüğü aynı, yönleri zıttır.

Bir vektörün başlangıç noktası değiştirilebilir; doğrultusu, yönü ve büyüklüğü korunuyorsa fiziksel olarak aynı vektörü temsil eder. Örneğin 3 birim uzunluğunda, kuzeydoğu yönlü iki ok farklı noktalardan çizilse bile aynı vektör olarak kabul edilir. Buna karşılık okun uzunluğu veya yönü değişirse vektör de değişir. Bu yüzden bir şekli yorumlarken yalnızca okun uzunluğuna değil, ok ucunun gösterdiği yöne ve bulunduğu doğruya da bakılmalıdır.

Eşit, zıt ve paralel vektörler

Büyüklükleri ve yönleri aynı olan vektörler eşit vektörlerdir; başlangıç noktalarının farklı olması eşitliklerini değiştirmez. Aynı doğrultuda bulunan, büyüklükleri eşit fakat yönleri birbirinin tersi olan vektörler zıt vektörlerdir. Paralel vektörler ise aynı veya paralel doğrultularda bulunur; yönleri aynı da zıt da olabilir. Örneğin aynı yatay doğrultuda sağa doğru 5 N ve sola doğru 5 N gösterilen iki kuvvet zıt vektörlerdir. Sağ yönlü 5 birimlik iki farklı ok ise eşit vektör olabilir.

Vektörlerin grafiksel olarak toplanması ve çıkarılması

Vektörlerin grafiksel toplamında amaç, vektörleri yön ve büyüklükleri korunacak şekilde tek bir bileşke vektörle temsil etmektir. En temel yöntem uç uca eklemedir. İlk vektör çizildikten sonra ikinci vektör, yönü ve uzunluğu değiştirilmeden ilk okun ucundan başlatılır. İlk okun başlangıcından son okun ucuna çizilen ok, toplam vektördür. Birden fazla vektörde aynı işlem sırayla tekrarlanır.

Örneğin 3 birim doğu yönlü bir vektör ile 4 birim kuzey yönlü bir vektörü uç uca ekleyelim. İkinci okun ucu, ilk başlangıçtan kuzeydoğu tarafında kalır. Başlangıçtan bu son noktaya çizilen bileşke, doğu ile kuzey arasındaki bir yöndedir ve dik kenarlar 3 ile 4 birim olduğundan büyüklüğü 5 birimdir. Burada 3 + 4 = 7 sonucu, bileşkenin büyüklüğü değildir; farklı doğrultulardaki vektörler geometrik olarak birleşmiştir.

İki vektör aynı başlangıçtan çizildiğinde paralelkenar yöntemi kullanılabilir. Vektörlerin uçlarından birbirine paralel yardımcı çizgiler çizilir ve başlangıçtan paralelkenarın karşı köşesine uzanan köşegen bileşkeyi verir. Uç uca ekleme ile paralelkenar yöntemi, aynı vektör toplamını farklı çizim düzenleriyle gösterir.

Çıkarma işlemi, çıkarılan vektörün zıt yönlüsünü eklemek anlamına gelir: A - B = A + (-B). Bu nedenle önce B vektörünün yönü ters çevrilir, büyüklüğü değiştirilmez; ardından elde edilen zıt vektör A ile toplanır. Grafik çiziminde ölçek seçilirse bileşkenin uzunluğu cetvelle ölçülüp ölçeğe göre fiziksel birime çevrilebilir.

Vektörün dik koordinat eksenlerindeki bileşenlerine ayrılması

Bir vektörün dik koordinat eksenlerindeki bileşenlerine ayrılması, vektörü birbirine dik iki doğrultudaki etkilerinin toplamı olarak yazmaktır. Genellikle yatay eksen x, düşey eksen y olarak seçilir. Vektörün başlangıç ve bitiş noktalarından eksenlere paralel çizgiler oluşturulduğunda vektör ile iki bileşeni bir dik üçgen meydana getirir. Bu üçgende vektörün kendisi hipotenüs, eksenler üzerindeki parçalar ise bileşenlerdir.

Vektörün x ekseniyle yaptığı açı θ ise bileşenlerin büyüklükleri dik üçgen bağıntılarıyla bulunur: Ax = A cos θ ve Ay = A sin θ. Burada A vektörün büyüklüğüdür. Açı başka bir eksene göre verilmişse sinüs ve kosinüsün hangi bileşene karşılık geldiği şekle göre belirlenmelidir. Temel trigonometri ilişkileri, bu dik üçgende açı ile kenar uzunluklarını ilişkilendirmek için kullanılır.

İşaretler eksen yönlerine göre verilir. Sağa ve yukarı yönler pozitif, sola ve aşağı yönler negatif seçilirse sola yönlü x bileşeni negatif, aşağı yönlü y bileşeni negatif yazılır. Örneğin 10 birimlik bir vektör +x ekseniyle 60° açı yapıyorsa Ax = 10 cos 60° = 5 birim ve Ay = 10 sin 60° birim olur. Vektör ikinci bölgede olsaydı x bileşeni negatif, y bileşeni pozitif alınırdı.

Bileşenlere ayırmada vektörün yalnızca büyüklüğünü değil, yönünü de korumak gerekir. Bu yüzden bileşenlerin cebirsel işaretleri önemlidir. Bileşenlerin yeniden birleştirilmesiyle ilk vektör elde edilmelidir; yalnızca bileşen büyüklüklerini toplamak, farklı eksenlerdeki yön bilgisini yok eder.

Bileşenlerden bileşke vektörün büyüklük ve yönünün bulunması

Birden fazla vektör aynı koordinat sisteminde bileşenlerine ayrıldığında, aynı eksendeki bileşenler kendi aralarında toplanır. Böylece toplam vektörün x ve y bileşenleri bulunur: Rx = ΣAx ve Ry = ΣAy. Zıt yönlü bileşenler işaretleri nedeniyle birbirini azaltır. Örneğin sağ yönlü bileşen pozitif, sol yönlü bileşen negatif seçilmişse cebirsel toplam, o eksendeki net etkiyi gösterir.

Bileşke vektörün bileşenleri dik eksenlerde olduğundan büyüklük Pisagor bağıntısıyla hesaplanır: R = √(Rx² + Ry²). Bileşkenin yönü ise seçilen eksene göre açıyla ifade edilir. +x eksenine göre açı için tan θ = Ry / Rx bağıntısı kullanılır; açının hangi bölgede olduğu Rx ve Ry işaretleriyle kontrol edilir. Bir bileşen negatifse açı, yalnızca sayısal orana bakılarak yanlış bölgeye yerleştirilmemelidir.

Örneğin bir sistemde toplam x bileşeni Rx = 6 birim sağa ve toplam y bileşeni Ry = 8 birim yukarı olsun. Bileşke büyüklüğü R = √(6² + 8²) = 10 birimdir. Yönü birinci bölgede, yani sağ-yukarı yönündedir. Açı için tan θ = 8/6 kullanılır; böylece bileşkenin +x ekseninden ne kadar yukarı saptığı bulunur. Eğer Ry = -8 birim olsaydı büyüklük yine 10 birim olur, fakat bileşke aşağı yönlü olurdu. Bu örnek, büyüklüğün tek başına yönü belirlemeye yetmediğini gösterir.

Bileşen yönteminin temel avantajı, farklı doğrultulardaki vektörleri iki bağımsız eksende toplamasıdır. Sonuçta bulunan Rx ve Ry, grafiksel olarak çizildiğinde aynı bileşke oku verir. Vektör bileşenleri arasındaki ilişki, yalnızca büyüklüklerin toplamıyla değil, yön ve işaret bilgisiyle kurulmalıdır.