Dizi Nedir? Terim, İndeks, Genel Terim ve Dizi Türleri

Dizinin tanımı ve temel gösterimi

Dizi, sayıların belirli bir sıraya göre yazıldığı sıralı listedir. Matematiksel olarak dizi, tanım kümesi sayma sayılarının bir alt kümesi olan bir fonksiyon gibi düşünülebilir. Diziler genellikle küçük harflerle ve alt indis kullanılarak gösterilir: a_1, a_2, a_3, ... Burada alt indis, sayının listedeki yerini belirtir. Üç nokta, yazımın aynı kurala göre devam ettiğini gösterir.

Örneğin 2, 4, 8, 16, 32, ... dizisinde sayılar belirli bir sırayla verilmiştir. Her sayı bir öncekinin iki katıdır. Bu listedeki sayıların yerlerini değiştirmek, aynı sayıların bulunduğu başka bir liste oluştursa da aynı diziyi vermez; çünkü dizide sıralama önemlidir. Sıradan bir kümede ise elemanların yazılış sırası temel özellik değildir. Bu nedenle {2, 4, 8} kümesi ile 2, 4, 8, ... biçimindeki dizi aynı matematiksel nesne olarak değerlendirilmez.

Bir dizinin bütün terimlerini tek tek yazmak, özellikle dizi uzunsa, kullanışlı olmayabilir. Bunun yerine terimleri üreten bir kural yazılır. Örneğin yukarıdaki dizinin terimleri 2'nin ardışık kuvvetleriyle ilişkilidir ve her terimin konumuna göre hesaplanabilir. Dizi ayrıca tablo veya grafikle de gösterilebilir: tabloda indeksler ve karşılık gelen terimler yan yana yazılır, grafikte ise indeks-terim çiftleri nokta olarak işaretlenir.

Terim, indeks ve tanım kümesi ilişkisi

Dizideki her sayı bir terimdir. Terimin listedeki yerini gösteren sayıya indeks denir. Birinci terim a_1, ikinci terim a_2, üçüncü terim a_3 biçiminde yazılır; genel olarak n. terim a_n ile gösterilir. Böylece a_n gösterimi hem belirli bir terimi hem de onun dizideki sırasını ifade eder.

Dizinin hangi indeksler için tanımlı olduğunu belirleyen küme, dizinin tanım kümesidir. Lise düzeyinde diziler çoğunlukla pozitif tam sayılar ya da sayma sayıları üzerinde tanımlanır. Bu durumda indeksler 1, 2, 3, ... şeklinde ilerler. Örneğin a_n = n + 3 kuralına sahip dizide tanım kümesi pozitif tam sayılar seçilirse a_1 = 4, a_2 = 5 ve a_3 = 6 olur. Burada 4, 5 ve 6 terim; 1, 2 ve 3 ise bu terimlerin indeksleridir.

İndeks ile terimin değerini karıştırmamak gerekir. a_5 ifadesindeki 5, beşinci terimin değerinin mutlaka 5 olduğu anlamına gelmez; yalnızca terimin sırasını belirtir. Örneğin a_n = 2^n dizisinde a_3 = 8 olur. Bu örnekte indeks 3, terim değeri ise 8'dir. Dizi bir fonksiyon olarak düşünüldüğünde indeks girdiyi, terim değeri ise bu girdiye karşılık gelen çıktıyı temsil eder.

Genel terim ve belirli terim ilişkisi

Bir dizinin n. terimini indeks n üzerinden veren kurala genel terim denir. Genel terim çoğunlukla a_n biçiminde yazılır ve a_n'nin sağ tarafında n bulunur. Bu gösterim, dizinin herhangi bir konumundaki terimi doğrudan bulmayı sağlar. Belirli bir terimi bulmak için genel terimde n yerine istenen indeks yazılır.

Örneğin a_n = 3n - 1 dizisinde beşinci terimi bulmak için n yerine 5 yazılır: a_5 = 3 · 5 - 1 = 14. Aynı kural ilk terimi de verir: a_1 = 3 · 1 - 1 = 2. Böylece dizinin terimleri 2, 5, 8, 11, 14, ... şeklinde oluşur. Genel terim, önceki bütün terimleri tek tek hesaplamadan belirli bir terime ulaşmayı mümkün kılar.

Başka bir örnekte a_n = 2^n olsun. Bu durumda a_1 = 2, a_2 = 4 ve a_4 = 16 elde edilir. Burada genel terim, terimlerin indeksle nasıl değiştiğini açıkça gösterir. Genel terim ile belirli terim arasındaki ilişki şu şekilde özetlenebilir: a_n kuralın genel gösterimidir, a_7 ise bu kuralın n = 7 için aldığı özel değerdir.

Bir dizi, her terimi önceki terimlerden yararlanılarak tanımlanan özyinelemeli bir kuralla da verilebilir; bu gösterim burada yalnızca farklı bir tanımlama biçimi olarak anılmaktadır.

Sonlu ve sonsuz diziler

Terim sayısına göre diziler sonlu ve sonsuz olarak sınıflandırılır. Terimleri belirli bir noktada biten dizilere sonlu dizi denir. Örneğin 4, 7, 10, 13 dizisi dört terimlidir ve tanım kümesi {1, 2, 3, 4} olarak düşünülebilir. Üç nokta kullanılmadığı için bu listenin aynı kuralla devam ettiği varsayılmaz.

Terimleri belirli bir son noktaya ulaşmadan devam eden dizilere sonsuz dizi denir. 2, 4, 8, 16, ... dizisindeki üç nokta, dizinin sürmekte olduğunu gösterir. Böyle bir dizinin tanım kümesi sayma sayılarının tamamı olabilir ve bu durumda indeksler 1, 2, 3, ... şeklinde sonsuza kadar devam eder. Sonlu bir dizi ise tanım kümesinde yalnızca sınırlı sayıda indeks bulundurur.

Aritmetik dizinin temel tanımı

Ardışık iki terim arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit sayıya ortak fark adı verilir ve genellikle d ile gösterilir. Bir terimden sonraki terime geçerken her defasında aynı sayı eklenir; geriye doğru giderken de aynı sayı çıkarılır. Bu nedenle aritmetik dizide terimler arasındaki değişim miktarı sabittir.

Örneğin 5, 9, 13, 17, ... dizisinde ardışık farklar 4'tür. Her adımda önceki terime 4 eklendiği için bu dizi aritmetiktir. 12, 10, 8, 6, ... dizisi de aritmetiktir; bu kez ortak fark -2'dir. Farkın pozitif olması dizinin artmasını, negatif olması azalmasını sağlar; ortak farkın sıfır olması durumunda ise tüm terimler aynı kalır.

Aritmetik diziyi ayırt etmek için ardışık terimler arasındaki farklar karşılaştırılır. Farklar eşitse dizi aritmetiktir. Örneğin 2, 4, 8, 16 dizisinde farklar 2, 4 ve 8 olduğundan bu dizi aritmetik değildir. Aritmetik dizilerde ayrıntılı terim ve toplam hesapları, bu temel tanımdan ayrı olarak incelenen bir konudur.

Geometrik dizinin temel tanımı

Ardışık iki terim arasındaki oranın sabit olduğu dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan ya da ortak oran denir ve genellikle r ile gösterilir. Bir terimden sonraki terime geçerken her defasında aynı sayıyla çarpılır. Bu yönüyle geometrik dizide sabit kalan büyüklük fark değil, bölme sonucudur.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... dizisinde her terim bir öncekinin 2 katıdır. Ardışık terimlerin oranı 6/3 = 2, 12/6 = 2 ve 24/12 = 2 olduğundan dizi geometriktir. 81, 27, 9, 3, ... dizisinde ise ortak oran 1/3'tür. Ortak oran negatif olduğunda terimlerin işaretleri sırayla değişebilir; sıfırdan farklı sabit bir oran, dizinin nasıl ilerlediğini belirler.

Bir dizinin geometrik olup olmadığını kontrol etmek için ardışık terimleri birbirine bölmek gerekir. Oranlar aynıysa dizi geometriktir. 2, 5, 8, 11, ... dizisinde oranlar sabit olmadığı için bu dizi geometrik değil, sabit farkı nedeniyle aritmetiktir. Geometrik dizilerde ayrıntılı terim ve toplam hesapları ayrı bir inceleme konusudur; dizi toplamları ve seriler için ilgili kaynakta daha geniş açıklamalar bulunur. Dizilerde limit ve yakınsaklık ise burada ele alınmayan başka bir konudur.