Birinci Dereceden Eşitsizlikler Nasıl Çözülür?

Eşitsizlik sembolleri ve anlamları

Eşitsizliklerde iki sayının veya ifadenin birbirine göre küçük, büyük ya da eşit olma durumu gösterilir. < sembolü “küçüktür”, > sembolü “büyüktür”, ≤ sembolü “küçük veya eşittir”, ≥ sembolü ise “büyük veya eşittir” anlamına gelir. Örneğin 3 < 7, 3 sayısının 7’den küçük olduğunu; 9 ≥ 9 ise 9’un 9’dan büyük veya eşit olduğunu belirtir.

Sembolün açık tarafı büyük olan sayıya, sivri ucu küçük olan sayıya bakar. Ancak eşitsizliğin yönünü yalnızca sembolün şekline göre değil, ifadenin anlamına göre okumak gerekir. 5 < x ifadesi “x, 5’ten büyüktür” demektir. Aynı durum x > 5 biçiminde de yazılabilir; iki ifade aynı sayıları anlatır.

≤ ve ≥ sembollerindeki eşitlik çizgisi, sınır değerinin de kabul edildiğini gösterir. x ≤ 4 ifadesinde 4 çözümün içindedir; x < 4 ifadesinde ise 4 çözümün içinde değildir. Örneğin bir sınıfa girmek için yaşın en az 12 olması gerekiyorsa yaş ≥ 12 yazılır. Yaşın 12’den büyük olması istenseydi yaş > 12 yazılması gerekirdi. Böylece “eşit olma” durumunun dahil edilip edilmediği sembolden anlaşılır.

Eşitsizliğin çözüm kümesi

Bir eşitsizliğin çözüm kümesi, eşitsizliği doğru yapan bütün değerlerin oluşturduğu kümedir. Tek bir sayıdan farklı olarak çoğu eşitsizlikte birçok sayı çözüm olabilir. Çözüm kümesini bulmak için önce bilinmeyeni içeren ifadeyi sadeleştirir, ardından hangi sayıların karşılaştırmayı sağladığını belirleriz.

Örneğin x > 4 eşitsizliğinde 5, 6 ve 10 gibi 4’ten büyük bütün sayılar çözümdür. 4 çözüm değildir; çünkü ifade “4’ten büyük” demekte, 4’ü kabul etmemektedir. Bu nedenle çözüm kümesi 4’ün sağındaki sayılardan oluşur. x ≥ 4 olsaydı 4 de çözüme katılırdı.

Çözüm kümesi yalnızca tam sayılarla sınırlı değildir. Tanım kümesi olarak hangi sayıların kullanılacağı belirtilmişse çözüm o kümeye göre değerlendirilir; belirtilmemişse ortaokul düzeyindeki temel örneklerde gerçek sayılar düşünülür. Sayı kümeleri ve tanım kümesi, bir çözümün hangi sayılar arasından seçileceğini belirleyen daha genel bir konudur.

Bir değerin gerçekten çözüm olup olmadığını anlamanın yolu, onu eşitsizlikte bilinmeyenin yerine yazıp iki tarafı karşılaştırmaktır. x > 4 için x = 7 yazılırsa 7 > 4 doğru olur; x = 2 yazılırsa 2 > 4 yanlış olur. Böylece çözüm kümesinin hangi değerleri içerdiği kontrol edilebilir.

Birinci dereceden eşitsizlikleri işlem yaparak çözme

Birinci dereceden eşitsizlik, bilinmeyenin en büyük kuvvetinin 1 olduğu eşitsizliktir. Genel olarak ax + b < c, ax + b ≥ c gibi ifadeler bu türdendir. Burada amaç, denklem çözerken olduğu gibi bilinmeyeni tek başına bırakmaktır.

Toplama ve çıkarma işlemleri eşitsizliğin iki tarafına da aynı şekilde uygulandığında eşitsizliğin yönü değişmez. Örneğin 4x + 3 ≤ 19 eşitsizliğinde önce her iki taraftan 3 çıkarılır: 4x ≤ 16. Ardından her iki taraf 4’e bölünür: x ≤ 4. Çözüm, 4’ten küçük veya 4’e eşit olan sayılardır.

İşlemlerin sırası, ifadedeki işlemlerin tersine çevrilmesiyle belirlenir. Bilinmeyenin yanında toplama veya çıkarma varsa önce bu terim kaldırılır; bilinmeyenin katsayısı varsa daha sonra katsayıya bölünür. Örneğin 5x - 8 > 12 için önce 8 eklenir ve 5x > 20 elde edilir. Pozitif 5’e bölündüğünde x > 4 sonucuna ulaşılır. Pozitif bir sayıyla yapılan bölme, eşitsizlik yönünü değiştirmez.

Sonuç bulunduktan sonra seçilen bir değerle kontrol yapmak işlem hatasını yakalamaya yardımcı olur. x > 4 sonucunda x = 5 seçilirse başlangıçtaki 5 · 5 - 8 > 12 ifadesi 17 > 12 olur ve doğrudur. Eşitsizlik çözme kuralları denklemlere benzer; temel farklılık, negatif sayıyla çarpma veya bölme sırasında eşitsizlik yönünün değiştirilmesidir.

Negatif sayıyla çarpma veya bölmede eşitsizlik yönünün değişmesi

Bir eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse sembolün yönü tersine çevrilir. Bu kural, eşitsizlikleri denklemlerden ayıran en önemli işlem kuralıdır. Örneğin 2 < 5 eşitsizliğinin iki tarafı -1 ile çarpılırsa -2 > -5 olur. Sayılar negatif olduğu için sayı doğrusundaki sıralama ters yönde görünür: -2, -5’ten büyüktür.

Bunun nedeni negatif sayıyla çarpmanın sayıların yönünü ters çevirmesidir. Pozitif sayılarla çarpıldığında sayı doğrusundaki sıralama korunur; negatif sayılarla çarpıldığında sağdaki sayı sola, soldaki sayı sağa taşınır. Bu yüzden eski eşitsizlik sembolü aynı bırakılırsa yanlış bir sonuç elde edilir. Negatif sayıya bölme de aynı nedenle yön değişikliğini gerektirir.

Örneğin -2x + 3 > 7 eşitsizliğini çözelim. Önce her iki taraftan 3 çıkarılır ve -2x > 4 bulunur. Şimdi her iki taraf -2’ye bölündüğü için sembol ters döner: x < -2. Sonuçta x’in -2’den küçük olması gerekir. x = -3 başlangıçta -2 · (-3) + 3 > 7, yani 9 > 7 koşulunu sağlar; x = -1 ise 5 > 7 koşulunu sağlamaz.

Bu nedenle çözüm sırasında negatif katsayıyı kaldırırken eşitsizlik sembolünü mutlaka ters çevirmek gerekir. Örneğin -6x ≤ 18 ifadesinde -6’ya bölünürken sonuç x ≥ -3 olur. Yön değiştirilmez ve x ≤ -3 yazılırsa, sınama için x = 0 seçildiğinde başlangıç eşitsizliği sağlandığı hâlde sonuç bunu dışarıda bırakır; hata böylece fark edilir.

Çözüm kümesinin sayı doğrusunda gösterimi

Çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken önce sınır değerini, sonra çözümün hangi yöne uzandığını belirleriz. Sınır değeri çözümün içindeyse o noktada dolu nokta kullanılır; sınır değer çözümün içinde değilse açık nokta kullanılır. x ≥ 3 için 3’te dolu nokta çizilir ve doğru sağa doğru taranır. x < 3 için 3’te açık nokta çizilir ve doğru sola doğru taranır.

Doluluk, eşitsizlik sembolündeki eşitlik çizgisine bağlıdır: ≤ ve ≥ dolu nokta; < ve > açık nokta gerektirir. Yön ise sayıların sınır değerinden küçük mü yoksa büyük mü olduğuna göre seçilir. Örneğin 4x + 3 ≤ 19 eşitsizliğinin sonucu x ≤ 4 olduğundan 4 kapalı noktayla gösterilir ve 4’ün solu işaretlenir. Negatif sayıyla işlem sonunda x < -2 bulunmuşsa -2 açık nokta olur ve işaretleme sola doğru yapılır.

Günlük ifadeleri eşitsizliğe dönüştürme

Günlük dildeki büyüklük ve sınır bildiren ifadeler eşitsizlik sembollerine çevrilebilir. “Büyük”, “küçük”, “en az” ve “en çok” ifadeleri farklı sınır koşulları taşır: “x, 8’den büyük” x > 8; “x, 8’den küçük” x < 8; “x en az 8” x ≥ 8; “x en çok 8” x ≤ 8 şeklinde yazılır. “En az” ve “en çok” ifadelerinde sınır değeri dahil olduğu için eşitlik çizgisi kullanılır.

Problemi eşitsizliğe dönüştürürken önce bilinmeyenin neyi temsil ettiğini seçmek gerekir. Örneğin bir telefon paketinde aylık sabit ücret 20 lira, 60 dakikayı aşan her dakika için ücret 0,30 lira ve ödenebilecek en yüksek tutar 50 lira olsun. 60 dakikadan sonraki dakika sayısı m ise koşul 20 + 0,30m ≤ 50 biçiminde yazılır. Buradaki ≤ işareti, faturanın 50 liraya eşit olmasına da izin verildiğini gösterir.

Benzer biçimde “Bir sayının 5 fazlası 12’den küçüktür” ifadesi x + 5 < 12 şeklinde kurulur. “Bir sayının 3 katı en az 18’dir” ifadesi ise 3x ≥ 18 olur. Önce cümledeki bilinmeyeni ve sınırı belirlemek, ardından “eşit olabilir mi?” sorusunu sormak doğru sembolü seçmeyi kolaylaştırır.

Sınır değerlerinin ve eşitlik durumunun kontrolü

Çözümden sonra sınır değerini başlangıç eşitsizliğinde denemek, bu değerin çözüme dahil olup olmadığını gösterir. ≤ veya ≥ varsa sınır değeri eşitsizliği sağlar ve kapalı noktayla gösterilir; < veya > varsa sınır değeri çözüm değildir ve açık noktayla gösterilir. Yön değiştiren negatif bölme işlemi de seçilen başka bir değerle ayrıca kontrol edilebilir.