Fibonacci Dizisi Nedir? Kuralı ve Terim Bulma

Fibonacci dizisinin tanımı

Fibonacci dizisi, ardışık terimleri arasında özel bir toplama ilişkisi bulunan sayı dizisidir. Dizi, 1 ve 1 ile başlar; bundan sonra gelen her terim, kendisinden hemen önceki iki terimin toplamı olur. Bu özellik, Fibonacci dizisini yalnızca art arda yazılmış sayılardan oluşan bir liste olmaktan çıkarır ve onu belirli bir kuralla devam eden bir örüntü hâline getirir.

Bir dizideki her sayıya terim denir. Fibonacci dizisinde üçüncü terim, ilk iki terimin toplamıdır: 1 + 1 = 2. Dördüncü terim, kendisinden önceki 1 ve 2'nin toplamından oluşur: 1 + 2 = 3. Aynı işlem her adımda tekrarlandığı için yeni bir terim bulmak için dizinin önceki iki tererimine bakılır.

Örneğin dizinin ilk kısmı 1, 1, 2, 3, 5, 8 şeklindedir. Burada 5 sayısı, 2 ile 3'ün; 8 sayısı ise 3 ile 5'in toplamıdır. Yani bir terimi değerlendirirken yalnızca bir önceki sayıya bakmak yeterli değildir; iki önceki terimin birlikte kullanılması gerekir. Bu nedenle Fibonacci dizisi, her terimin kendisinden önce gelen terimlere bağlı olduğu özyinelemeli bir dizi olarak tanımlanır.

Ardışık Fibonacci terimlerinin oranı ilerleyen terimlerde belirli bir değere yaklaşır; bu özellik dizinin dikkat çeken başka bir yönüdür ve burada yalnızca tanıtılmaktadır. Fibonacci dizisinin altın oranla matematiksel ilişkisi ise ayrı bir konudur; ilgili ayrıntılar için altın oran ve Fibonacci dizisinin ilişkisini anlatan makaleye bakılabilir.

Dizinin başlangıç terimleri ve oluşturulma kuralı

Fibonacci dizisini oluşturmak için iki başlangıç terimine ihtiyaç vardır. Bu başlangıç terimleri 1 ve 1'dir. Daha sonra her yeni terim, önceki iki terim toplanarak hesaplanır. Bu iki parçalı yapı, özyinelemeli kuralın temelidir: önce başlangıç değerleri verilir, ardından sonraki terimlerin nasıl üretileceği açıklanır.

Kuralı sembolle göstermek için ilk iki terimi F1 = 1 ve F2 = 1 biçiminde yazabiliriz. İkinci terimden sonraki her terim için kural şöyledir: Fn = F(n-1) + F(n-2). Buradaki n, terimin sıra numarasını; F(n-1) ve F(n-2) ise ondan önceki iki terimi gösterir. Örneğin beşinci terimi bulmak için üçüncü ve dördüncü terimler toplanır. Üçüncü terim 2, dördüncü terim 3 olduğundan beşinci terim 2 + 3 = 5 olur.

Kuralı adım adım uygulayalım. İlk iki terim 1 ve 1'dir. Üçüncü terim 1 + 1 = 2, dördüncü terim 1 + 2 = 3, beşinci terim 2 + 3 = 5 ve altıncı terim 3 + 5 = 8 olarak bulunur. Böylece her hesaplamada bir önceki iki sayı birlikte kullanılır. Örneğin 13 sayısından sonra gelecek terimi bulmak için 13'ten önceki 8 sayısı ile 13 toplanır ve 21 elde edilir.

Bu yöntemde önceki terimler bilinmeden sonraki terim hesaplanamaz. Bu yönüyle Fibonacci dizisi, yalnızca terim sırasına bakılarak doğrudan işlem yapılabilen bazı dizilerden farklıdır. Fibonacci dizisinin açık bir formülle yazılması kolay değildir; temel düzeyde sonraki terimleri bulmak için özyinelemeli toplama kuralını kullanmak en uygun yoldur.

İlk Fibonacci terimleri ve dizinin ilerleyişi

Fibonacci dizisinin ilk terimleri doğru sırayla şöyledir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Her terim için kendisinden önceki iki terim toplanır. Örneğin 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3 ve 8 = 3 + 5 biçiminde ilerler. Üç nokta, dizinin aynı kuralla devam ettiğini gösterir.

Terimleri sıra numaralarıyla yazmak kuralı izlemeyi kolaylaştırır: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3 ve F5 = 5. Buna göre F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8 olur. Burada sıra numarası ile terimin değerini karıştırmamak gerekir; örneğin altıncı terimin değeri 6 değil, 8'dir.

Belirli bir terimi bulma

Fibonacci dizisinde belirli bir terimi bulmanın temel yolu, başlangıçtan başlayarak terimleri sırayla hesaplamaktır. Çünkü her terim, kendisinden önceki iki terime bağlıdır. Önce ilk iki terim yazılır, sonra bu iki terim toplanarak üçüncü terim bulunur; ardından ikinci ve üçüncü terim toplanarak dördüncü terim elde edilir. Bu işlem istenen sıra numarasına ulaşıncaya kadar sürdürülür.

Örneğin 8. terimi bulmak için sıra şu şekilde ilerler: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13. Son adımda F8 = F7 + F6 yapılır. Bu nedenle F8 = 13 + 8 = 21'dir. Daha ileri bir terim istenirse aynı yöntem sürdürülür; örneğin F9 = 21 + 13 = 34 ve F10 = 34 + 21 = 55 olur.

İşlem sırasında iki sayıyı yan yana takip etmek hata yapmayı azaltır. Her yeni toplamdan sonra daha eski sayı bırakılır, yeni bulunan sayı ikinci sayı olarak kullanılır. Örneğin 5 ve 8 ile başlandıysa sonraki toplam 13 olur; bir sonraki toplamı bulmak için artık 8 ve 13 toplanır. Böylece hem terimlerin sırası korunur hem de her adımda doğru iki terim seçilir.

Fibonacci dizisinde belirli bir terimi bulurken yalnızca tek bir önceki terimi toplamak yanlıştır. Örneğin 8'den sonraki terim 8 + 1 değil, 8'in hemen önündeki 5 ile 8'in toplamı olan 13'tür.

Fibonacci dizisinin günlük hayattaki ve doğadaki kullanımlarına giriş

Fibonacci dizisi, bazı bitkilerin yaprak veya dal düzenlerinde, çiçeklerin taç yaprak sayılarında ve kozalak gibi doğal yapılardaki büyüme örüntülerinde ilişkilendirilir. Papatyanın bazı çeşitlerinde 21 veya 34 taç yaprağı bulunması ve siyah gözlü susanda 13 taç yaprağı görülmesi bu ilişkiye verilen örnekler arasındadır. Nautilus kabuğunun bölme düzeni ile çam kozalağı ve dalların büyüme örüntüleri de dizinin doğayla birlikte anılmasına neden olur.