Halka Yapısı: Aksiyomlar, Örnekler ve Temel Halka Türleri

Halkanın tanımı ve halka aksiyomları

Bir R kümesi üzerinde toplama (+) ve çarpma (·) işlemleri tanımlı olsun. R, şu koşulları sağlıyorsa halka olarak adlandırılır: Toplama işlemi altında R bir değişmeli gruptur; çarpma işlemi birleşmelidir; çarpma, toplama üzerine soldan ve sağdan dağılmalıdır. Yani her a, b, c ∈ R için (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, R içinde 0 adı verilen bir toplamsal etkisiz eleman ve her a için -a adı verilen bir toplamsal ters vardır. Çarpma için ayrıca (ab)c = a(bc), a(b + c) = ab + ac ve (a + b)c = ac + bc koşulları gerekir. Bu tanımda bir çarpımsal birim elemanın bulunması zorunlu tutulmayabilir; birimli halka denildiğinde ayrıca 1 ∈ R ve 1a = a1 = a koşulu istenir.

Bu aksiyomların çalışma biçimi iki işlemin farklı rollerinden kaynaklanır. Toplama, elemanları birbirine ekleyip geri çıkarabilmemizi sağlayan değişmeli grup yapısıdır. Çarpma ise elemanları birleştirir ve birleşme özelliği sayesinde parantezlerin yerini değiştirmek sonucu değiştirmez. Dağılma özelliği, çarpmanın toplamlarla uyumlu olmasını sağlar; örneğin a(b + c) ifadesi ab + ac biçiminde açılabilir. Bu nedenle bir yapıyı incelerken önce toplamanın değişmeli grup olup olmadığına, sonra çarpmanın birleşmeli olup olmadığına ve son olarak iki dağılma kuralına bakılır. Çarpmanın değişmeli olması veya her elemanın çarpımsal tersinin bulunması, halka tanımının zorunlu parçaları değildir.

Tam sayılar kümesi Z, alışılmış toplama ve çarpma işlemleriyle bir halkadır. İki tam sayının toplamı yine tam sayıdır; 0 toplamanın etkisiz elemanıdır ve her n tam sayısının toplamsal tersi -n’dir. Çarpma birleşmelidir ve çarpma toplama üzerine dağılır. Buna karşılık doğal sayılar kümesi N, toplama altında her elemanın tersini içermediği için bu tanıma göre halka değildir: 3 ∈ N iken -3 ∉ N. Böylece yalnızca işlemlerin kapalı olması yeterli değildir; özellikle toplama işlemi altında değişmeli grup koşulu da mutlaka kontrol edilmelidir.

Halka işlemlerinin temel sonuçları ve gösterimleri

Halka aksiyomlarından, ayrıca kanıtlamaya gerek kalmadan kullanılan önemli sonuçlar elde edilir. Her a ∈ R için 0a = a0 = 0 olur; çünkü 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a eşitliğinden toplamsal ters kullanılarak 0a = 0 sonucu çıkarılır. Benzer biçimde (-a)b = a(-b) = -(ab) ve (-a)(-b) = ab eşitlikleri geçerlidir. Bu kurallar, tam sayılardaki işaret hesaplarının halkalarda da neden çalıştığını açıklar. Dağılma özelliği kullanılarak (a - b)c = ac - bc ve a(c - d) = ac - ad yazılabilir; burada a - b, a + (-b) anlamındadır.

Bir halkanın çarpması değişmeli değilse ab ile ba farklı olabilir; bu nedenle çarpanların sırası her zaman korunmalıdır. Ayrıca genel bir halkada ab = ac eşitliğinden b = c sonucu çıkmaz. Böyle bir sadeleştirme için ilgili çarpanın sıfır bölen olmaması veya tersinin bulunması gibi ek koşullar gerekir. Elemanlar ve işlemler genellikle a, b, c gibi harflerle; toplamsal etkisiz eleman 0, varsa çarpımsal etkisiz eleman 1 ile gösterilir. Bir elemanın toplamsal tersi -a, çarpımsal tersi ise varsa a^(-1) biçiminde yazılır.

Temel halka örnekleri ve örnek olmayan yapılar

Tam sayılar halkası Z, en temel örnektir ve toplama ile çarpma değişmelidir. Modüler sınıflar kümesi Z/nZ de toplama ve çarpmanın kalan sınıfları üzerinden tanımlandığı bir halkadır. Örneğin modüler aritmetikte işlemler, sonuçları n’ye bölümden kalan sınıfa indirerek yürütülür; bu yüzden [a] + [b] = [a + b] ve [a][b] = [ab] biçiminde gösterilebilir. Z/6Z içinde [2][3] = [0] olduğundan, sıfır olmayan iki elemanın çarpımının sıfır olabildiği görülür. Bu yapı, halka olmak için sıfır bölenlerin bulunmamasının şart olmadığını gösterir.

Bir halka R üzerindeki polinomlar kümesi R[x], katsayıların toplama ve çarpma işlemleri polinom kurallarına göre yapıldığında halka oluşturur. Matrisler de sabit boyutlu, örneğin 2 × 2 gerçek matrisler, matris toplaması ve matris çarpmasıyla halka oluşturur. Ancak matris çarpması genel olarak değişmeli değildir ve bazı sıfır olmayan matrislerin çarpımı sıfır matris olabilir. Bu nedenle matris halkaları, halka aksiyomlarının değişmeli çarpma gerektirmediğini somut biçimde gösterir. Polinom ve matris halkalarının ayrıntılı özellikleri ayrı bir inceleme konusudur.

Örnek olmayan yapıları belirlemek için aksiyomlardan birinin başarısız olduğu noktayı bulmak gerekir. N doğal sayılar kümesi, toplamsal tersler bulunmadığı için halka değildir. Pozitif reel sayılar da aynı nedenle halka olamaz. Bir kümede işlemlerin sonuçlarının yine kümede bulunması tek başına yeterli değildir; etkisiz eleman, tersler, birleşme ve dağılma koşulları birlikte değerlendirilmelidir. Bir halkanın işlemlerle kapalı bir alt kümesi, uygun koşulları sağladığında alt halka olarak adlandırılır; bu kavram, daha büyük bir halka içindeki daha küçük halka yapılarının tanıtılmasını sağlar.

Değişmeli, birimli, tamlık bölgesi ve cisim

Halkalar, ek özelliklerine göre sınıflandırılır. Çarpma işlemi her a, b için ab = ba koşulunu sağlıyorsa halka değişmelidir. Çarpımsal birim 1’e sahip halkaya birimli halka denir. Bu iki özellik birbirinden bağımsızdır: Bir halka değişmeli olup birimsiz olabilir; birimli olup değişmeli olmayabilir. Örneğin Z hem değişmeli hem birimlidir. Matris halkası birimli olmasına rağmen genel olarak değişmeli değildir. Birimli halka tanımı 1 = 0 durumunu dışlamaz; tek elemanlı sıfır halka da birimli bir halkadır. 0 ≠ 1 koşulu ise tamlık bölgesi ve cisim tanımlarında ayrıca aranır.

Tamlık bölgesi, 0 ≠ 1 olan değişmeli ve birimli bir halkada sıfır bölen bulunmamasıyla tanımlanır. Sıfır bölen, kendisi sıfır olmadığı hâlde başka bir sıfır olmayan elemanla çarpıldığında 0 veren elemandır. Tamlık bölgesinde ab = 0 ise a = 0 veya b = 0 olmak zorundadır; bu özellik çarpma işleminde sadeleştirme yapılabilmesinin temel nedenlerinden biridir. Z tamlık bölgesine örnektir. Buna karşılık Z/6Z tamlık bölgesi değildir; çünkü [2] ve [3] sıfır olmayan sınıflar olduğu hâlde [2][3] = [0] olur.

Cisim, 0 ≠ 1 olan değişmeli birimli bir halkadır ve her sıfır olmayan elemanın çarpımsal tersi vardır. Bu nedenle her cisim bir tamlık bölgesidir; her tamlık bölgesi ise cisim olmak zorunda değildir. Örneğin Z bir tamlık bölgesidir fakat 2’nin Z içinde çarpımsal tersi bulunmadığı için cisim değildir. Rasyonel sayılar Q ve reel sayılar R, alışılmış işlemlerle cisim örnekleridir. Temel kapsama ilişkisi şöyle özetlenebilir: cisimler ⊆ tamlık bölgeleri ⊆ değişmeli birimli halkalar ⊆ halkalar. Bu zincirdeki her ok, soldaki sınıfın sağdaki sınıfa ait olduğunu gösterir; ters yöndeki ifadeler genel olarak doğru değildir.

İdealler, halkaların özel alt kümeleri ve bunların türleriyle ilgili daha ileri bir konudur. Bölüm halkaları da bir halkadan belirli bir ideal kullanılarak yeni bir halka oluşturma fikrini inceler. Halka homomorfizmaları ve çekirdekleri ile polinom ve matris halkalarının ayrıntılı incelenmesi ise bu temel sınıflandırmanın ötesinde ayrı başlıklardır.