Kristal Yapı: Kafes, Birim Hücre ve Miller İndisleri

Kristal yapı, kristal kafes ve bazis ilişkisi

Kristal kafes, uzayda düzenli aralıklarla tekrarlanan matematiksel nokta kümeleridir. Kafesteki her nokta, fiziksel olarak tek bir atomu göstermek zorunda değildir; bu noktalar öncelikle kristalin öteleme simetrisini, yani aynı düzenin belirli vektörlerle tekrarlandığını ifade eder. Kristal yapı ise bu kafese bir bazis yerleştirilmesiyle elde edilir. Bazis, her kafes noktasına aynı konum ilişkileriyle bağlanan bir atom, iyon veya molekül grubudur.

Kafes ile bazis arasındaki ayrım, kristal yapıyı kurmanın temelidir. Kafes yalnızca tekrarın geometrisini verir; bazis ise hangi parçacıkların ve hangi göreli konumların tekrarlandığını belirler. Bir kafes noktası için öteleme vektörü T = n1a + n2b + n3c biçiminde yazılabilir. Burada a, b ve c kristalin temel öteleme vektörleri; n1, n2 ve n3 ise tam sayılardır. Bazisteki bir parçacığın konumu r ise, aynı parçacığın tüm eşdeğer konumları r' = r + T ile elde edilir.

Örneğin basit kübik bir kafesin her noktasına tek bir atom yerleştirilirse basit kübik kristal yapı oluşur. Aynı kafese iki atomdan oluşan bir bazis yerleştirildiğinde, kafes aynı kalırken kristal yapının içeriği değişir. Benzer biçimde, bir kafes noktasına iki farklı atomun belirli bir göreli konumla yerleştirilmesi, tek atomlu bazisten farklı bir kristal yapı meydana getirir. Bu nedenle “kafes” düzenin iskeletini, “bazis” ise bu iskelet üzerindeki fiziksel içeriği anlatır.

Birim hücre ve ilkel birim hücre

Birim hücre, kristal kafesin öteleme yoluyla tamamını oluşturabilecek seçilmiş geometrik tekrar bölgesidir. Hücrenin kenar uzunlukları ve aralarındaki açılar, kristalin geometrisini tanımlar. Birim hücreyi a, b ve c kenar vektörleriyle göstermek mümkündür. Bu hücre her üç yönde tekrarlandığında kristalin makroskopik düzeni ortaya çıkar.

İlkel birim hücre, kafesin öteleme simetrisini taşıyan ve net olarak yalnızca bir kafes noktası içeren en küçük hücredir. “Net olarak bir kafes noktası” denmesinin nedeni, hücre köşelerindeki ortak noktaların komşu hücreler arasında paylaşılmasıdır. Örneğin kübik bir hücrenin sekiz köşesinde nokta bulunuyorsa her köşe sekiz hücre tarafından paylaşıldığından toplam katkı 8 × 1/8 = 1 olur. İlkel hücrenin şekli her zaman küp olmak zorunda değildir; en küçük hacmi sağlarken kristalin öteleme simetrisini koruması gerekir.

Geleneksel veya konvansiyonel birim hücre, ilkel hücreden daha büyük seçilebilir; bunun karşılığında kristalin simetrisini ve geometrisini görmek daha kolay hale gelir. Yüzey merkezli kübik hücre buna örnektir: köşelerdeki ve yüz merkezlerindeki kafes noktaları birlikte sayıldığında net kafes noktası sayısı dört olur, ancak bu küp kristal simetrisini açıkça göstermesi bakımından kullanışlıdır. Dolayısıyla “en küçük hücre” ile “en kolay görselleştirilen hücre” her zaman aynı hücre değildir.

Kübik temel yapılar ve birim hücre hesapları

Kübik yapılarda üç temel örnek basit kübik, hacim merkezli kübik ve yüzey merkezli kübiktir. Basit kübik yapıda atomlar yalnızca köşelerde bulunur; sekiz köşe atomunun her biri sekiz hücre tarafından paylaşıldığı için hücre başına net atom sayısı 8 × 1/8 = 1'dir. Hacim merkezli kübik yapıda buna ek olarak hücrenin merkezinde bir atom vardır ve net atom sayısı 1 + 1 = 2 olur. Yüzey merkezli kübik yapıda ise köşe atomlarına ek olarak altı yüzün merkezinde atom bulunur; yüz atomlarının her biri iki hücre tarafından paylaşıldığından net sayı 8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4'tür.

Koordinasyon sayısı, bir atomun en yakın komşu atomlarının sayısıdır. Basit kübik yapıda bu sayı 6, hacim merkezli kübik yapıda 8, yüzey merkezli kübik yapıda 12'dir. Kübik hücrelerde atom yarıçapı r ile kenar uzunluğu a arasındaki ilişki, atomların temas ettiği doğrultuya göre bulunur: basit kübikte a = 2r, hacim merkezli kübikte √3a = 4r ve yüzey merkezli kübikte √2a = 4r. Birim hücre hacmi kübik yapılarda V = a^3'tür. Atomların hücre içinde kapladığı toplam hacim, bu değerle karşılaştırılarak paketlenme oranı hesaplanır; böylece aynı atom boyutları için yapıların ne kadar sıkı düzenlendiği belirlenir.

Yedi kristal sistemi ve 14 Bravais kafesi

Kristal sistemleri, birim hücrenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkilere ve kenarlar arasındaki açılara göre sınıflandırılır. Yedi sistem şunlardır: triklinik, monoklinik, ortorombik, tetragonal, trigonal, hekzagonal ve kübik. Örneğin kübik sistemde a = b = c ve α = β = γ = 90° iken tetragonal sistemde a = b ≠ c ve tüm açılar 90°'dir. Ortorombik sistemde üç kenar birbirinden farklı olabilir ancak açılar 90° olur; triklinik sistemde ise genel olarak kenarlar ve açılar birbirinden farklıdır. Bu geometrik koşullar, hücrenin hangi öteleme simetrilerini taşıyabileceğini sınırlar.

Bravais kafesi, üç boyutta öteleme simetrisi bakımından birbirinden farklı kafes türlerini ifade eder. Yedi kristal sistemi içinde toplam 14 Bravais kafesi vardır: triklinik sistemde 1 ilkel kafes; monoklinik sistemde 1 ilkel ve 1 taban merkezli kafes; ortorombik sistemde 1 ilkel, 1 taban merkezli, 1 hacim merkezli ve 1 yüzey merkezli kafes; tetragonal sistemde 1 ilkel ve 1 hacim merkezli kafes; trigonal sistemde 1 rombohedral kafes; hekzagonal sistemde 1 ilkel kafes; kübik sistemde ise 1 ilkel, 1 hacim merkezli ve 1 yüzey merkezli kafes bulunur. Böylece kristal sistemi hücrenin geometrik biçimini, Bravais türü ise kafes noktalarının hücre içindeki merkezlenme düzenini belirtir.

Kristal yönleri ve kristal düzlemleri

Kristal yönü, kristal kafesinde bir noktadan başka bir noktaya uzanan doğrultudur. Yönler, seçilen temel öteleme vektörlerine göre ifade edilir ve aynı doğrultudaki paralel vektörler aynı kristal yönünü temsil eder. Bir yönü belirlemek için başlangıç noktası genellikle koordinat başlangıcına taşınır; uç noktanın koordinat farkları a, b ve c eksenleri cinsinden yazılır, kesirler en küçük tam sayılara dönüştürülür ve köşeli parantez içinde gösterilir. Örneğin bir kübik hücrede başlangıçtan bir kenar boyunca ilerleme [100], iki eksen boyunca eşit ilerleme [110] yönünü verir. Negatif bileşenler, ilgili indis üzerinde çizgiyle veya metin içinde eksi işaretiyle gösterilir.

Kristal düzlemi, kristal içindeki atomik düzenin düşünülebileceği iki boyutlu bir yüzeydir. Aynı yönde ve eşit aralıklarla tekrarlanan paralel düzlemler bir düzlem ailesi oluşturur. Düzlem kavramı, yüzey üzerinde yer alan atomların düzenini, kesitleri ve kristalin geometrik ilişkilerini ifade etmekte kullanılır. Bir düzlemin yönelimi, kristal eksenlerini hangi noktalarda kestiğine göre belirlenebilir; düzlem bir eksene paralelse o eksenle kesişim sonsuz kabul edilir ve ilgili Miller indisi sıfır olur.

Örneğin kübik hücrede bir yüzey yalnızca x ve y eksenlerini kesip z eksenine paralel olabilir. Bu durumda düzlem, z yönünde değişmeyen bir yüzey olarak düşünülebilir. Bir doğrultu ile bir düzlem aynı şey değildir: [100] bir yönü, (100) ise bir düzlem ailesini belirtir. Kristal eksenlerinin ve birim hücrenin seçimi, yön ve düzlem indislerinin yorumunu doğrudan etkiler. Kristal kusurları ve gerçek kristaller ise bu ideal düzenin bozulduğu durumları ayrı bir konu olarak ele alır.

Miller indisleriyle yön ve düzlem gösterimi

Miller indisleri, kristal yönlerini ve düzlemlerini kısa bir tam sayı gösterimine dönüştürür. Bir yön için koordinat farkları doğrudan kullanılır. Örneğin bir vektörün bileşenleri 1, 0 ve 1 ise yön [101] biçiminde yazılır. Aynı doğrultudaki orantılı yönler, en küçük tam sayılı gösterime indirgenir; bu nedenle [200] ile gösterilebilecek bir doğrultu [100] olarak yazılır. Birden fazla eşdeğer yön, açı parantezleriyle <uvw> ailesi şeklinde ifade edilir.

Bir düzlemin Miller indislerini bulmak için düzlemin kristal eksenlerini kestiği noktalar belirlenir. Kesişimler a, b ve c birimleriyle yazılır; bu kesişimlerin tersleri alınır ve sonuçlar en küçük tam sayılara dönüştürülür. Eksenlerden biriyle paralel olan düzlemin o eksendeki kesişimi sonsuz olduğundan ters değer sıfır olur. Düzlem indisleri yuvarlak parantezle (hkl), eşdeğer düzlem ailesi ise süslü parantezle {hkl} gösterilir.

Örneğin bir düzlem x eksenini a uzaklığında, y eksenini b uzaklığında kesiyor ve z eksenine paralel kalıyorsa kesişimler 1, 1, ∞; tersleri 1, 1, 0 olur. Bu düzlem (110) ile gösterilir. Kübik kristallerde (hkl) düzlemine dik yön [hkl] doğrultusudur; dolayısıyla (110) düzleminin normali [110] yönündedir. Bu özellik kübik sistemin yüksek simetrisinden kaynaklanır ve her kristal sisteminde aynı biçimde uygulanmaz. Kristal anizotropisi ve fiziksel özelliklerin yöne bağlılığı ise bu geometrik gösterimlerin fiziksel sonuçlarını ele alan ayrı bir başlıktır.

Düzlemler arası uzaklık ve kristal geometrisi

Düzlemler arası uzaklık, aynı Miller indislerine sahip ardışık ve paralel kristal düzlemleri arasındaki dik uzaklıktır. Bu uzaklık d_hkl ile gösterilir ve birim hücrenin kenar uzunluklarıyla düzlemin yönelimini ilişkilendirir. Kübik kristaller için temel bağıntı d_hkl = a / √(h^2 + k^2 + l^2) biçimindedir. Burada a kübik hücrenin kenar uzunluğu, (hkl) ise düzlemin Miller indisleridir.

Örneğin kübik bir kristalde (100) düzlemleri için d_100 = a, (110) düzlemleri için d_110 = a/√2 ve (111) düzlemleri için d_111 = a/√3 olur. İndislerin büyümesi, aynı kenar uzunluğu için düzlemlerin daha sık aralıklarla yerleştiğini gösterir. Bu hesap, kristal geometrisini yalnızca çizimle değil, ölçülebilir uzunluklarla da ifade etmeyi sağlar.

Kristal düzlemlerinin X-ışını kırınımıyla incelenmesinde ölçülen kırınım açıları, düzlemler arası uzaklık hakkında bilgi verebilir. Bragg yasası bu bağlantıyı nλ = 2d sinθ bağıntısıyla kurar; burada d düzlemler arası uzaklık, λ dalga boyu, θ gelen ışın ile kristal düzlemi arasındaki açı ve n tam sayı mertebesidir. Kristal yapı tayini, X-ışını kırınımı ve Bragg yasasının ayrıntılı uygulamaları ayrı bir konudur.