Önermeler Mantığı: Bağlaçlar, Doğruluk Tabloları ve Çıkarım

Önerme nedir ve kapsamı nedir?

Önerme, doğru ya da yanlış olduğu belirlenebilen anlamlı bir ifadedir. Klasik önermeler mantığında her önerme bu iki doğruluk değerinden yalnızca birine sahiptir. Soru, emir, dilek veya doğruluk değeri bağlama göre değişen belirsiz ifadeler ise bu anlamda önerme sayılmaz. Örneğin “Ankara Türkiye’nin başkentidir.” doğru bir önermedir; “2 + 3 = 6” yanlış bir önermedir. “Kapıyı kapat!” ise bir emir olduğu için doğru ya da yanlış olarak değerlendirilmez.

Bir ifadenin önerme olup olmadığını belirlerken önce onun bir yargı bildirip bildirmediğine, sonra da doğruluk değerinin belirlenebilir olup olmadığına bakılır. Önerme mantığı, önermelerin konusu veya içindeki nesnelerin ayrıntılarıyla ilgilenmez; önermelerin doğru-yanlış değerlerini ve aralarındaki ilişkileri inceler. Böylece uzun bir ifade, daha küçük önermelerin doğruluk değerleri üzerinden değerlendirilebilir.

Bir önermeyi biçimsel dilde genellikle p, q veya r gibi harflerle gösteririz. Örneğin p, “Ders başladı.” önermesini temsil edebilir. p’nin doğru veya yanlış olması, temsil ettiği cümlenin doğruluk durumuna bağlıdır. Bu gösterim, farklı cümlelerin mantıksal yapısını aynı sembollerle karşılaştırmayı sağlar. Ancak önermeler mantığı, bir önermenin kendi içindeki özne, yüklem veya niceleyici yapısını incelemez; bu tür yapılar daha ileri bir mantık alanının konusudur.

Basit ve bileşik önermeler

Basit önerme, başka önermelere ayrılmadan ele alınan ve mantıksal bir bağlaç içermeyen önermedir. “Ayşe çalışıyor.” ve “Sınav yarın.” bu tür ifadelere örnektir. Bileşik önerme ise iki veya daha fazla basit önermenin ya da daha önce kurulmuş önermelerin mantıksal bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşur. “Ayşe çalışıyor ve sınav yarın.” ifadesinde iki önerme “ve” bağlacıyla birleştiği için bileşik önerme vardır.

Bileşik önermenin doğruluk değeri, onu oluşturan parçaların doğruluk değerleri ile kullanılan bağlacın kurallarına göre belirlenir. Örneğin p “Ders çalışıyorum”, q “Sınava hazırlanıyorum” ise p ve q, “Ders çalışıyorum ve sınava hazırlanıyorum.” bileşik önermesini verir. Burada p’nin ve q’nun ayrı ayrı doğru veya yanlış olması, bütün ifadenin sonucunu etkiler. Bu yapı, önermeleri yalnızca yan yana getirmekten farklıdır; bağlaç, parçaların doğruluk değerleri arasında belirli bir ilişki kurar.

Mantıksal bağlaçlar ve sembolleştirme

Mantıksal bağlaçlar, önermeler arasında ilişki kuran ve bu ilişkinin doğruluk sonucunu belirleyen sembollerdir. Temel bağlaçlar “değil”, “ve”, “veya”, “ise” ile “ancak ve ancak” biçimindedir. p ve q iki önerme olsun:

• Değil: ¬p. p’nin doğruluk değerini tersine çevirir; p doğruysa ¬p yanlış, p yanlışsa ¬p doğrudur.
• Ve: p ∧ q. Yalnızca p ile q’nun ikisi de doğru olduğunda doğrudur.
• Veya: p ∨ q. En az bir parça doğru olduğunda doğrudur; iki parça da doğruysa yine doğrudur.
• İse: p → q. p doğru ve q yanlış olduğunda yanlıştır; diğer durumlarda doğrudur.
• Ancak ve ancak: p ↔ q. p ile q aynı doğruluk değerine sahip olduğunda doğrudur.

Sembolleştirmede önce cümleyi temel önermelerine ayırmak, ardından bağlacın yönünü ve kapsamını belirlemek gerekir. “Yağmur yağıyor ve hava serin.” cümlesinde p “Yağmur yağıyor”, q “Hava serin” seçilirse ifade p ∧ q olur. “Yağmur yağmıyor.” ise ¬p biçiminde yazılır. “Yağmur yağıyorsa zemin ıslaktır.” cümlesinde p “Yağmur yağıyor”, q “Zemin ıslaktır” alınarak p → q elde edilir.

Parantezler, bir bileşik önermenin hangi parçalarının birlikte işlendiğini gösterir. “Ders çalışıyorum veya kitap okuyorum ve not alıyorum.” gibi bir cümlede doğal dilde belirsizlik oluşabileceği için sembolleştirme sırasında yapı açıkça parantezlenmelidir: p ∨ (q ∧ r) veya (p ∨ q) ∧ r farklı ifadelerdir. Günlük dilden sembolik dile çeviride, bağlacın cümledeki gerçek işlevi ve kapsamı korunmalıdır.

Doğruluk tabloları

Doğruluk tablosu, bir bileşik önermenin bütün olası doğruluk durumlarını ve her durumda aldığı sonucu gösteren tablodur. Her önerme değişkeni iki değer alabileceği için n değişkenli bir ifadede 2^n satır bulunur. Önce değişkenlerin olası değerleri yazılır, ardından varsa ara bileşik ifadeler hesaplanır ve en son ana bağlacın sonucu bulunur.

Örneğin p ∧ q ifadesi için iki değişkenin dört olası durumu vardır:

p | q | p ∧ q D | D | D D | Y | Y Y | D | Y Y | Y | Y

Burada “D” doğruyu, “Y” yanlışı gösterir. “Ve” bağlacı, yalnızca iki önermenin de doğru olduğu ilk satırda doğru sonuç üretir. Aynı yöntem daha uzun ifadelerde de uygulanır; ancak her ara adım için ayrı bir sütun açmak hata yapma olasılığını azaltır.

“p → q” için tablo şu şekildedir:

p | q | p → q D | D | D D | Y | Y Y | D | D Y | Y | D

Koşullu önerme yalnızca öncül doğruyken sonuç yanlış olduğunda yanlıştır. Örneğin p “Ödev teslim edildi”, q “Öğretmen ödevi aldı” olsun. p → q ifadesinin yanlış olduğu tek durum, ödevin teslim edilmesine rağmen öğretmenin ödevi almamış olmasıdır. Ödev teslim edilmemişse, bu koşullu ifadenin yanlış olduğunu söylemek için gerekli karşı durum oluşmaz.

Bir tablonun sonunda elde edilen sütun, bileşik önermenin tüm doğruluk koşullarındaki davranışını gösterir. İki ifadenin son sütunları her satırda aynıysa aynı doğruluk koşullarına sahip oldukları anlaşılır. Tablodaki satırların tamamını sistemli biçimde yazmak, özellikle üç veya daha fazla değişken içeren ifadelerde sezgiye güvenmekten daha güvenilirdir.

Önerme değişkenleri ve işlem önceliği

Önerme değişkenleri, p, q ve r gibi harflerle gösterilen ve birer önermeyi temsil eden sembollerdir. Birden fazla bağlaç bulunduğunda parantezler işlem sırasını açıklar; genellikle önce değilleme, sonra “ve” ve “veya”, ardından koşullu ve çift koşullu yapılar değerlendirilir. Belirsizlik varsa parantez kullanmak gerekir.

Totoloji, çelişki ve olumsal önerme

Bir bileşik önerme, bütün olası doğruluk durumlarında doğruysa totoloji, bütün durumlarda yanlışsa çelişki olarak adlandırılır. Örneğin p ∨ ¬p, p doğru olduğunda ilk koldan, p yanlış olduğunda ise ¬p kolundan dolayı her durumda doğrudur. p ∧ ¬p ise p hangi değeri alırsa alsın parçalarından biri yanlış olacağı için her durumda yanlıştır. Bazı satırlarda doğru, bazı satırlarda yanlış olan ifadeler ise olumsal önermedir; p ∧ q buna örnektir. Bu sınıflandırma, doğruluk tablosunun son sütununa bakılarak yapılır: tümü doğruysa totoloji, tümü yanlışsa çelişki, karışık sonuç varsa olumsallık söz konusudur.

Mantıksal eşdeğerlik ve temel çıkarım

İki önerme, farklı sembolik biçimlerde yazılsa bile bütün olası doğruluk durumlarında aynı sonucu veriyorsa mantıksal olarak eşdeğerdir. Eşdeğerlik, iki ifadenin yalnızca birkaç örnekte aynı çıkmasına değil, doğruluk tablolarındaki tüm satırlarda aynı son sütuna sahip olmasına dayanır. Örneğin p ∧ q ile q ∧ p, “ve” bağlacının iki tarafı için aynı doğruluk koşulunu taşır. Bu nedenle bu ifadeler eşdeğer kabul edilir.

Temel çıkarımda öncüllerden bir sonuç elde edilir. Bir çıkarımın geçerli olup olmadığını değerlendirmek için öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu bir durum bulunup bulunmadığına bakılır. Böyle bir satır yoksa çıkarım geçerlidir; çünkü öncüllerin birlikte doğru olduğu hiçbir durumda sonuç yanlış kalmamaktadır. Örneğin p → q ve p öncüllerinden q sonucu önerilsin. p’nin ve p → q’nun aynı anda doğru olduğu satırlarda q’nun yanlış olması mümkün değildir; dolayısıyla bu çıkarım geçerlidir.

Bu değerlendirme, cümlelerin gerçek hayattaki içeriğinden bağımsız olarak sembolik biçimleri üzerinden yapılır. Önce öncüller ve sonuç sembolleştirilir, sonra ortak doğruluk tablosunda öncüllerin tümünün doğru olduğu satırlar incelenir. Biçimsel ispat sistemleri ve ayrıntılı çıkarım kuralları ise ayrı bir konudur.