Polinom Nedir? Polinom Olma Koşulları, Derece ve Katsayılar

Polinomun tanımı ve temel bileşenleri

Polinom, her biri bir katsayı ile değişkenin negatif olmayan tam sayı kuvvetinin çarpımından oluşan terimlerin toplama veya çıkarma işaretiyle birleştirilmesiyle elde edilen cebirsel ifadedir. Bir terimdeki sayı katsayı, harf değişken, değişkenin üzerindeki sayı ise üs olarak adlandırılır. Değişken içermeyen sayı terimlerine sabit terim denir. Örneğin P(x) = 4x^3 - 2x + 7 ifadesinde 4x^3, -2x ve 7 birer terimdir. Bu terimlerin katsayıları sırasıyla 4, -2 ve 7'dir; 7 aynı zamanda sabit terimdir. x değişken, 3 ise ilk terimdeki üssür. Bir terimde katsayı yazılmamışsa katsayının 1 olduğu, -x gibi bir ifadede ise katsayının -1 olduğu kabul edilir.

Terim sayısına göre özel adlandırmalar yapılır. Tek terimli polinom monom, iki terimli polinom binom, üç terimli polinom ise trinom olarak adlandırılır. Örneğin 5x^2 bir monom, x - 6 bir binom, 2x^2 + 3x + 1 bir trinomdur. Bu adlandırmalar polinom kavramından ayrı yapılar değildir; monom, binom ve trinom polinom ailesinin özel örnekleridir.

Polinomun yapısını belirleyen temel nokta, her terimin katsayı-değişken-üs ilişkisine uygun olmasıdır. Örneğin 3x^2 teriminde 3 katsayı, x değişken ve 2 üssür. Değişken bulunmayan 9 sayısı da polinom içinde tek başına bir terim olabilir; bu durumda sabit terim olarak değerlendirilir.

Bir ifadenin polinom olma koşulları

Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenlerin üsleri negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Bu nedenle 0, 1, 2, 3 gibi üsler kullanılabilir; ancak değişken paydada bulunamaz, değişkenin üssü negatif olamaz ve değişken kök içinde yer alamaz. Katsayılar pozitif veya negatif tam sayı, kesirli sayı ya da ondalık sayı olabilir. Önemli olan katsayının uygun olması değil, değişkenin üs koşulunu sağlamasıdır.

Örneğin 3x^4 - 1/2 x^2 + 7 ifadesi bir polinomdur. Çünkü x'in üsleri 4 ve 2'dir; bunların ikisi de negatif olmayan tam sayıdır. Katsayıların biri tam sayı, biri kesirli sayı olsa da bu durum polinom olmayı engellemez. 5x^2 + 2x - 9 ifadesi de aynı nedenle polinomdur.

Buna karşılık 1/x + 3 ifadesi polinom değildir; çünkü 1/x, x^(-1) biçiminde yazılır ve değişkenin üssü negatiftir. √x + 2 ifadesi de polinom değildir; çünkü √x, x^(1/2) anlamına gelir ve 1/2 negatif olmayan bir tam sayı değildir. x^(3/2) - 4 ifadesi de aynı sebeple polinom sayılmaz. Değişkenin paydada, kök içinde veya negatif ya da tam sayı olmayan bir üs ile bulunup bulunmadığını kontrol etmek, polinom olma kararının temel yoludur.

Bir ifadenin polinom olup olmadığını incelerken önce kök ve payda gibi yapılar kontrol edilir, ardından değişken üslerine bakılır. Sabit sayılar tek başına sorun oluşturmaz; örneğin -8 bir sabit polinomdur.

Standart biçim ve polinomun terimleri

Bir polinomun terimleri, değişkenin üsleri büyükten küçüğe doğru sıralandığında polinom standart biçimde yazılmış olur. Örneğin 2x^4 - 3x^2 + x - 6 ifadesi standart biçimdedir; çünkü üsler 4, 2, 1 ve 0 sırasıyla azalmaktadır. Standart biçimde yazmak, en yüksek dereceli terimi ve dolayısıyla polinomun derecesini hızlıca görmeyi sağlar.

Bir terimin polinom içinde yazılmamış olması onun değerinin olmadığı anlamına gelmez. Örneğin x^3 + 5 ifadesinde x^2 ve x terimleri eksiktir. Bu ifade istenirse x^3 + 0x^2 + 0x + 5 biçiminde düşünülebilir. Buradaki 0 katsayıları terimlerin bulunmadığını gösterir; fakat polinomun derecesini değiştirmez. Terimleri ayırırken toplama ve çıkarma işaretleri dikkate alınır. 4x^2 - 7x + 1 ifadesinin terimleri 4x^2, -7x ve 1 şeklindedir; eksi işareti ikinci terimin katsayısına dahildir.

Standart olmayan bir gösterim, uygun terimler sıralanarak standart hâle getirilebilir. Örneğin 3 - 2x^3 + x ifadesi -2x^3 + x + 3 biçiminde yazılır. Bu düzenleme yeni bir polinom oluşturmaz; yalnızca aynı polinomun daha okunabilir bir gösterimini verir.

Polinomun derecesi ve katsayıları

Bir polinomun derecesi, polinomdaki değişkenli terimlerin üsleri arasındaki en büyük değerdir. Bu nedenle dereceyi bulmak için önce polinom standart biçimde yazılabilir, sonra en büyük üs belirlenir. En yüksek dereceli terime baş terim, bu terimin katsayısına ise baş katsayı denir. Derece, polinomdaki terim sayısı ile aynı şey değildir.

Örneğin P(x) = -5x^4 + 2x^3 - x + 9 polinomunda en büyük üs 4 olduğu için polinomun derecesi 4'tür. Baş terim -5x^4, baş katsayı -5'tir. Polinomun diğer katsayıları da terimlerin değişken kuvvetlerinin önündeki sayılardır: x^3 teriminin katsayısı 2, x teriminin katsayısı -1, sabit terimin katsayısı ise 9'dur. x'in önünde sayı bulunmadığı için x teriminin katsayısı 1 değil, burada eksi işareti nedeniyle -1'dir.

Bir başka örnekte Q(x) = 7x^2 - 4x + 11 için en büyük üs 2 olduğundan derece 2, baş terim 7x^2 ve baş katsayı 7'dir. Polinomun derecesini belirleyen şey en büyük üsse sahip terimdir; sabit terim 11, daha büyük bir sayı olsa bile dereceyi belirlemez. Ayrıca x^5 + 3x^2 - 1 ifadesinde x^5 terimi bulunduğu için derece 5'tir. x^4, x^3 ve x terimleri yazılmamış olsa da en büyük mevcut üs değişmez.

Sabit polinom ve sıfır polinomu

Değişken içermeyen ve sıfırdan farklı tek bir sayıdan oluşan polinomlara sabit polinom denir. Örneğin P(x) = 6, Q(x) = -3/4 ve R(x) = 0,25 sabit polinom örnekleridir. Sıfırdan farklı sabit polinomların derecesi 0 kabul edilir; çünkü sabit terim, değişkenin 0. kuvvetiyle ilişkilendirilebilir. Bu tür polinomlarda sabit sayı aynı zamanda tek terim ve katsayıdır.

Sıfır polinomu, bütün katsayıları sıfır olan ve yalnızca 0 ile gösterilen polinomdur. Sıfır polinomunda sıfırdan farklı bir terim bulunmadığı için derecesi tanımsız kabul edilir. Bu durum, sabit polinomla karıştırılmamalıdır: 8 gibi sıfırdan farklı bir sabit polinomun derecesi 0 iken 0 polinomunun derecesi 0 değildir. Örneğin 4x - 4x ifadesi sadeleştirildiğinde 0 olur ve sıfır polinomunu verir.

Eksik terimler, benzer terimler ve eşdeğer gösterimler

Eksik terim, belirli bir kuvvete ait katsayının 0 olduğu terimdir. Örneğin P(x) = 2x^5 - x^2 + 4 ifadesinde x^4, x^3 ve x terimleri yazılmamıştır. Bu polinom 2x^5 + 0x^4 + 0x^3 - x^2 + 0x + 4 biçiminde de gösterilebilir. Eksik terimleri sıfır katsayılı kabul etmek, özellikle dereceyi okurken yararlıdır; ancak polinomun derecesi en büyük mevcut üs olan 5 olarak kalır.

Aynı değişkenin aynı kuvvetini içeren terimler benzer terimlerdir. 3x^2 ile -5x^2 benzer, fakat 3x^2 ile 3x benzer değildir; çünkü üsleri farklıdır. Benzer terimler bir araya getirildiğinde aynı kuvvetin katsayıları birlikte düşünülebilir. Örneğin 4x^3 - 2x^3 ifadesi, x^3 türünden tek bir terime dönüşür. Bir ifadenin polinom olup olmadığını incelerken benzer terimleri birleştirmek, bazı terimlerin birbirini götürüp sıfır polinomuna dönüşebileceğini fark etmeyi sağlar.

Eşdeğer gösterimler aynı matematiksel ifadeyi farklı sırayla veya farklı yazım biçimiyle gösterebilir. x^2 + 3x + 2 ile 2 + 3x + x^2 aynı polinomu belirtir; ilk yazım standart biçimdedir. Ayrıca x, 1x; -x, -1x; 5 ise 5x^0 biçiminde düşünülebilir. Bu gösterim farkları dereceyi ve katsayıları doğru yorumlamak için dikkate alınmalıdır. Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile özdeşlikler ve çarpanlara ayırma farklı başlıklardır; polinom bölmesi ve kalan teoremi ile polinom denklemleri ve kökleri de bu temel kavramların ötesindeki konulardır.