Vektör Uzayı Nedir? Tanımı, Aksiyomları ve Temel Örnekleri

Vektör uzayının tanımı ve temel bileşenleri

Bir vektör uzayı, V kümesi ile bu kümedeki elemanların birbirleriyle ve bir skaler cisimdeki sayılarla nasıl işleme gireceğini belirleyen iki işlemden oluşur. Skaler cisim genellikle F ile, vektör kümesi ise V ile gösterilir. Vektör toplaması V × V → V, skalerle çarpma ise F × V → V biçimindedir. İlk işlem iki vektörü yeni bir vektöre, ikinci işlem ise bir skaler ile bir vektörü yine V içindeki bir elemana dönüştürür. Bu nedenle tanımın üç temel bileşeni vektörler kümesi, skalerler cismi ve bu iki işlemdir.

Geometrik düzlemde vektörler yönlü doğru parçaları olarak düşünülebilir; bir vektörün büyüklüğü ve yönü vardır. Ancak üniversite düzeyindeki soyut tanımda vektör olmak için bir okun fiziksel olarak çizilebilmesi gerekmez. Örneğin R^2 içindeki (2, -1) ve (3, 4) ikilileri vektör kabul edilir. Toplama bileşen bileşen yapılır: (2, -1) + (3, 4) = (5, 3). Bir skalerle çarpma da bileşenlerin aynı skalerle çarpılmasıdır: 2(2, -1) = (4, -2). Bu işlemler, seçilen kümenin dışına çıkmadan yeni elemanlar üretir.

Vektör toplamının ardışık hareketlerin birleştirilmesi gibi yorumlanması işlemin neden doğal olduğunu gösterir: Önce u, ardından v yönünde ilerlemek, başlangıçtan son noktaya giden u + v bileşkesini verir. Soyut vektör uzayında bu geometrik yorum her zaman bulunmayabilir; buna karşılık işlemlerin cebirsel kurallara uygun olması zorunludur. Dolayısıyla vektör uzayı kavramı, okların geometrisinden daha geniş, işlemlerle tanımlanan bir yapıdır.

Vektör uzayı aksiyomları

Vektör uzayı aksiyomları, toplama ve skalerle çarpmanın rastgele işlemler olmadığını belirler. V ve F üzerinde tanımlanan işlemler, her u, v, w ∈ V ve her a, b ∈ F için aşağıdaki koşulları sağlamalıdır: Toplama kapalılığı u + v yine V içindedir; değişme özelliği u + v = v + u’dur; birleşme özelliği (u + v) + w = u + (v + w) biçimindedir; V içinde sıfır vektörü 0 vardır ve u + 0 = u olur; her u için toplamsal ters -u bulunur ve u + (-u) = 0’dır.

Skalerle çarpma için de dört temel uyumluluk gerekir. a(u + v) = au + av eşitliği, skaler çarpmanın vektör toplamına dağılmasını; (a + b)u = au + bu eşitliği, skaler toplamının vektör üzerindeki etkisini gösterir. (ab)u = a(bu) koşulu, art arda yapılan skaler çarpmaların tek bir çarpım gibi davranmasını sağlar. Son olarak 1u = u olmalıdır; burada 1, skaler cisim F’nin çarpımsal birimidir.

Bu koşulların çalışma biçimi, işlemlerin farklı sırayla yapıldığında çelişkili sonuçlar üretmesini engeller. Örneğin R^2’de u = (1, 2) ve v = (3, -1) seçilirse u + v = (4, 1) elde edilir ve toplam yine R^2’dedir. Ayrıca 2(u + v) = 2(4, 1) = (8, 2), öte yandan 2u + 2v = (2, 4) + (6, -2) = (8, 2) olur. Bu örnek, skaler çarpmanın toplama üzerindeki dağılma aksiyomunu somutlaştırır.

Bir yapıdaki elemanlar vektör adı taşısa bile bu koşullardan biri bozuluyorsa yapı vektör uzayı değildir. Örneğin toplama sonucunun kümeden çıkması kapalılığı, sıfır vektörünün bulunmaması ise toplama aksiyomlarını bozar. Bu yüzden bir aday yapıyı incelerken yalnızca elemanların görünüşüne değil, işlemlerin bütün aksiyomları sağlayıp sağlamadığına bakılır.

Skaler cisim ve vektör uzayının cisme bağlılığı

Skaler cisim, vektörleri çarpmakta kullanılan sayıların oluşturduğu cisimdir. Cisim olabilmesi için toplama, çıkarma, çarpma ve sıfırdan farklı elemanlarla bölme işlemleri tutarlı biçimde tanımlanmalıdır. Vektör uzayının skalerleri bu cisimden geldiği için aynı V kümesi, farklı skaler cisimleri altında farklı vektör uzayı yapıları kazanabilir.

En yaygın seçenekler reel sayılar R, rasyonel sayılar Q ve karmaşık sayılar C’dir. R^2, R üzerinde bir vektör uzayıdır; çünkü skaler olarak kullanılan her reel sayı, (x, y) biçimindeki bir vektörü yine R^2 içinde tutar. Aynı R^2 kümesi, Q skalerleriyle de bir vektör uzayı oluşturur. Fakat bu iki yapının izin verdiği skalerler aynı değildir: R üzerinde √2 ile çarpma yapılabilirken Q üzerinde √2 skaler olarak kullanılamaz.

Bu ayrım boyut gibi sonraki kavramların anlamını da etkiler; ancak burada temel nokta, vektör uzayının yalnızca V kümesiyle değil, (V, F) çiftiyle düşünülmesidir. Bir kümenin vektör uzayı olup olmadığı sorusu her zaman “hangi cisim üzerinde?” sorusuyla birlikte ele alınır. Örneğin tam sayıların oluşturduğu Z kümesi, R üzerinde vektör uzayı değildir; çünkü 1 ∈ Z ile √2 ∈ R çarpıldığında √2 elde edilir ve bu eleman Z’de değildir. Ayrıca skaler kümesi olarak Z seçildiğinde, Z bir cisim olmadığı için standart anlamda vektör uzayı tanımı kullanılmaz.

Standart vektör uzayı örnekleri ve karşı örnekler

Standart örneklerden biri F^n kümesidir. F bir cisim olduğunda, n bileşenli tüm sıralı listeler bileşen bileşen toplanır ve bir skalerle bileşenlerin tamamı aynı skalerle çarpılır. Böylece F^n, F üzerinde vektör uzayı olur. Örneğin R^3 içindeki (1, 0, -2) ile (2, 3, 1) toplanarak (3, 3, -1) elde edilir. Geometrik olarak düzlemdeki veya uzaydaki yönlü doğru parçaları bu koordinat vektörleriyle temsil edilebilir.

Bunun yanında derecesi belirli bir sayıyı aşmayan polinomların kümesi, katsayıları F’den alınan sabit boyutlu matrislerin kümesi ve F’den F’ye tanımlanan fonksiyonların kümesi de uygun işlemlerle vektör uzayı örnekleridir. Her durumda toplama, aynı türden nesneleri birleştirir; skalerle çarpma ise nesnenin bütün katsayılarını ya da değerlerini aynı skalerle ölçeklendirir. Karşı örnek olarak pozitif reel sayılar kümesi, olağan toplama altında vektör uzayı değildir; çünkü sıfır vektörünü içermez ve bir pozitif sayının toplamsal tersi pozitif değildir. Benzer biçimde Z, R üzerinde skalerle çarpma işlemine göre kapalı değildir.

Vektör uzayları arasındaki temel yapı ilişkileri

Bir vektör uzayının işlemlere göre kapalı bir alt kümesi alt uzay olarak incelenir; seçilen vektörlerin germe işlemiyle oluşturduğu küme ise üretilen alt uzay fikrini verir. Lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık, vektörlerin birbirleriyle gereksiz tekrar olmadan ilişkilendirilebilmesini değerlendirir. Taban ve boyut ise bir uzayın hangi vektörlerle bütünüyle ve benzersiz katsayılarla ifade edildiğini ve bu temel kümenin eleman sayısını çerçeveler.