0! Neden 1’e Eşittir?
0! = 1 sonucu rastgele seçilmiş bir kural değildir. Faktöriyel bağıntısının sınır durumda bozulmaması, çarpan içermeyen çarpımın 1 kabul edilmesi ve boş kümenin tek düzenlenişinin bulunması bu sonucu birlikte açıklar.
Bu yazıda (4)
Faktöriyel, pozitif bir tam sayının kendisinden 1’e kadar olan sayıların çarpımıdır. İlk bakışta 0! ifadesinde çarpılacak sayı yokmuş gibi görünür; ancak matematiksel bağıntıların tutarlı kalması için bu değer 1 olmalıdır.
Faktöriyel tanımı ve ardışık faktöriyel bağıntısı
n pozitif bir tam sayı olmak üzere n!, n’den 1’e kadar olan ardışık sayıların çarpımını gösterir: n! = n · (n−1) · (n−2) · ... · 2 · 1. Örneğin 4! = 4 · 3 · 2 · 1’dir. Faktöriyel yalnızca bir çarpım listesi değildir; ardışık değerler arasında da düzenli bir bağıntı vardır: n! = n · (n−1)!.
Bu bağıntıyı n = 1 için yazalım: 1! = 1 · 0!. Tanıma göre 1! = 1 olduğundan 1 = 1 · 0! elde edilir. Bir sayıyı 1 ile çarpmak onu değiştirmediği için buradan 0! = 1 sonucu zorunlu olarak çıkar. 0! başka bir değer, örneğin 0 olsaydı, 1! = 1 · 0! bağıntısı 1! = 0 anlamına gelirdi ve faktöriyel tanımıyla çelişirdi.
Aynı durum daha büyük faktöriyellerde de görülür. Örneğin 3! = 3 · 2 · 1’dir ve bağıntıyla 3! = 3 · 2! biçiminde yazılabilir. Ardışık olarak 2! = 2 · 1! ve 1! = 1 · 0! denir. Bu zincirin son halkasının doğru çalışabilmesi için 0! değerinin 1 olması gerekir.
Boş çarpımın 1 kabul edilmesi
Bir çarpımda hiç çarpan bulunmuyorsa buna boş çarpım denir. Boş çarpımın değeri 1 kabul edilir; çünkü 1, çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. Bir sayıyı 1 ile çarpmak sayıyı değiştirmez. Bu nedenle çarpan eklenmemiş bir çarpımın, çarpım zincirini değiştirmeyen değerle, yani 1’le temsil edilmesi gerekir.
Faktöriyel tanımını çarpım biçiminde düşünürsek n! ifadesi n’den başlayıp 1’e kadar inen çarpanlardan oluşur. Örneğin 3! = 3 · 2 · 1’dir. 1! ise yalnızca 1’den oluşur ve 1! = 1’dir. 0! için 0’dan 1’e kadar pozitif bir çarpan kalmaz. Dolayısıyla 0!, hiç çarpan içermeyen bu çarpımı temsil eder ve boş çarpım kuralı gereği 1 olur.
Bu kabul, “hiçbir şey yoksa sonuç sıfırdır” düşüncesiyle karıştırılmamalıdır. Sıfır, toplamanın etkisiz elemanıdır: bir sayıya 0 eklemek sayıyı değiştirmez. Çarpmanın etkisiz elemanı ise 1’dir. 0! bir toplam değil, çarpım anlamına geldiği için boş durumda uygun değer 0 değil, 1’dir. Böylece faktöriyel çarpımları hem tanımda hem de bağıntıda aynı kurala göre ilerler.
0 elemanlı bir kümenin tek düzenlenişi
Faktöriyel, nesnelerin farklı sıralanışlarının sayısını da ifade eder. n farklı nesnenin tamamı sıralanacaksa ilk yere n, ikinci yere n−1 ve devam eden yerlere giderek azalan sayıda seçenek gelir; toplam düzenleniş sayısı n! olur. Hiç nesne içermeyen bir kümede ise yerleştirilecek nesne veya doldurulacak sıra yoktur. Bu durumun bir düzenlenişi vardır: hiçbir nesne koymama, yani boş düzenleniş.
0! = 1 seçiminin formüllerle tutarlılığı
0! = 1 kabulü, permütasyon ve kombinasyon formüllerinin sınır durumlarında da aynı sonucu vermesini sağlar. n farklı nesneden r tanesini seçip sıralama sayısı nPr = n! / (n−r)! biçiminde yazılır. Tüm n nesne seçildiğinde r = n olur ve paydada 0! bulunur: nPn = n! / 0!. 0! = 1 olduğunda bu ifade n! olur; yani bütün nesneleri sıralamanın sayısı, faktöriyel yorumuyla tam olarak eşleşir.
Kombinasyonlarda sıralama dikkate alınmaz ve temel formül nCr = n! / (r! · (n−r)!) şeklindedir. Hiç nesne seçilmediğinde r = 0 olur: nC0 = n! / (0! · n!). 0! = 1 seçilirse sonuç 1 çıkar. Bu, n elemanlı bir kümeden hiç eleman seçmenin tek yolu olduğu fikriyle uyumludur. Benzer biçimde bütün nesneler seçildiğinde nCn = n! / (n! · 0!) = 1 olur; bütün kümeyi seçmenin de tek yolu vardır.
Dolayısıyla 0! = 1 seçimi yalnızca tek bir bağıntıyı kurtarmaz. Faktöriyel tanımı, boş çarpım ve temel sayma formülleri aynı sınır değer üzerinde birleşir. 0 yerine 1 alınması, bu formüllerin özel durumlarda da genel anlamlarını korumasını sağlar.
Bir etkinlik programında hiç etkinlik bulunmadığında, etkinlikleri farklı biçimlerde sıralamanın tek yolu vardır: boş programı oluşturmak. Bu, günlük bir planlama durumunun kombinatorik modelinde “hiç seçim yapmama” hâlinin neden 1 sonuç sayıldığını gösterir.
0! ifadesi 0 olarak alınmaz. Özellikle nPn = n! / 0! ve nC0 = n! / (0! · n!) gibi sınır durumlarında 0! = 1 kullanılmalıdır.
Sık sorulan sorular
0! neden 0 değil?
Çünkü faktöriyel çarpma işlemine dayanır ve boş çarpımın etkisiz elemanı 1’dir. Ayrıca 1! = 1 · 0! bağıntısının doğru kalması için 0! = 1 olmalıdır.
0! bir tanım mı, yoksa matematiksel olarak zorunlu mu?
Boş çarpımın 1 kabul edilmesi bir tanımdır; fakat bu tanım faktöriyel bağıntısını ve kombinatorik formülleri tutarlı hâle getirir. Bu nedenle 0! için 1 seçimi matematiksel yapı içinde zorunlu ve uyumlu seçimdir.
0 elemanlı bir kümenin neden tek düzenlenişi vardır?
Çünkü hiçbir elemanı seçmeme veya sıralamama durumu tek bir sonuçtur: boş düzenleniş. Sıfır farklı düzen değil, bir tane boş düzenleniş vardır.
0! kombinasyon formülünde nerede kullanılır?
Hiç eleman seçmeme durumunda nC0 = n! / (0! · n!) ifadesi kullanılır. 0! = 1 olduğunda sonuç 1 çıkar ve hiç eleman seçmenin tek yolu olduğu fikriyle uyuşur.