Bir Sayı Neden Sıfıra Bölünemez? 0 ÷ 0 Neden Farklıdır?
Bölme, böleniyle çarpıldığında bölüneni veren sayıyı bulma işlemidir. Sıfırla çarpılan her sayı 0 olduğu için sıfır olmayan bir sayıyı sıfıra bölmek mümkün değildir. 0 ÷ 0 işleminde ise tek bir sonuç bulunamaz; bu nedenle tanımsız sonuç ile belirsiz biçim birbirinden ayrılmalıdır.
Bu yazıda (4)
Bir bölme işleminin anlamını çarpma işlemi üzerinden düşündüğümüzde sıfıra bölmenin neden yapılamadığını görebiliriz. 0 ÷ 0 da aynı nedenle sıradan bir sonuç vermez; ancak diğer sıfıra bölme işlemlerinden farklı olarak burada hiçbir sonuç yerine birden fazla olası sonuç söz konusudur.
Bölme işlemi çarpma işlemiyle nasıl ilişkilidir?
Bölme, bir sayının başka bir sayıya kaç kez ayrıldığını bulmanın yanı sıra, çarpma işleminin tersini bulma işlemidir. a ÷ b = c yazıldığında aranan c sayısı, bölen b ile çarpıldığında bölünen a sayısını vermelidir. Yani bölmenin kontrolü b × c = a eşitliğiyle yapılır. Bu ilişki, bölme işleminin hangi durumlarda anlamlı olduğunu anlamamızı sağlar.
Örneğin 12 ÷ 3 = 4 işlemi, 3 × 4 = 12 olduğu için doğrudur. Burada 4, 3 ile çarpıldığında 12 veren sayıdır. Benzer biçimde 20 ÷ 5 işleminin sonucu, 5 ile çarpıldığında 20 veren sayıdır ve bu sayı 4'tür. Bölme sonucunu bulmak, aslında böyle bir çarpan aramaktır.
Bölen sıfır olduğunda aynı kontrolü yaparız: a ÷ 0 işleminin sonucu c olsaydı 0 × c = a olması gerekirdi. Fakat sıfırla hangi sayı çarpılırsa çarpılsın sonuç 0 olur. Bu yüzden bölme işlemi, bölenin sıfır olduğu durumda bölünen sayıya göre ya hiçbir uygun sonuç ya da birden fazla olası sonuç verir. Bu durum, sıfıra bölmenin neden olağan bir sayı sonucu üretmediğinin temelidir.
Sıfır olmayan bir sayının sıfıra bölünmesi
Sıfır olmayan bir sayıyı sıfıra bölme işleminde tek bir sonuç bulunamaz. Örneğin 7 ÷ 0 işleminin sonucuna x diyelim. Bölmenin çarpma ilişkisine göre 0 × x = 7 olması gerekir. Ancak x hangi sayı olursa olsun 0 × x = 0'dır. Dolayısıyla 0 ile çarpıldığında 7 veren hiçbir sayı yoktur.
Aynı durum 5 ÷ 0, -3 ÷ 0 veya herhangi bir sıfır olmayan sayı ÷ 0 için de geçerlidir. Her birinde, bölme işlemini doğrulayacak bir çarpma eşitliği kurulamaması sorunun kaynağıdır. Örneğin 5 ÷ 0 = x denirse 0 × x = 5 beklenir; fakat sol taraf her zaman 0 kalır. Bu nedenle işlem sonucuna bir sayı yazılamaz ve sonuç tanımsız denir.
Burada tanımsız ifadesi, işlemin sonucunun çok büyük bir sayı olduğu anlamına gelmez. İşlemin kuralları içinde kabul edilebilir tek bir sonuç bulunmadığını belirtir. Sıfıra yaklaşmak ile sıfıra eşit olmak da aynı şey değildir: çok küçük sıfır olmayan sayılarla yapılan bölmeler, paydanın tam olarak 0 olduğu işlemle özdeşleştirilemez. Bu nedenle 7 ÷ 0 ifadesi için sonsuzluğu doğrudan sonuç olarak yazmak doğru değildir.
0 ÷ 0 işleminin özelliği
0 ÷ 0 işleminde durum, sıfır olmayan bir sayının sıfıra bölünmesinden farklıdır. Sonucun x olduğunu varsayarsak bölme ile çarpma arasındaki ilişki bize 0 × x = 0 koşulunu verir. Bu koşulu yalnızca tek bir sayı değil, bütün sayılar sağlar; çünkü her sayı sıfırla çarpıldığında 0 elde edilir.
Örneğin x = 2 seçilirse 0 × 2 = 0 olur. x = 10 seçilirse yine 0 × 10 = 0, x = -4 seçilirse de 0 × (-4) = 0 olur. Bu örnekler, 0 ÷ 0 için tek bir sonucun neden seçilemediğini gösterir. Sıfır olmayan bir sayıyı sıfıra bölerken uygun sonuç hiç yokken, 0 ÷ 0 işleminde uygun görünen sonuçlar birden fazladır.
Bu yüzden 0 ÷ 0 da belirli bir sayı olarak tanımlanmaz. Bir ifadenin tek ve tutarlı bir sonucunun bulunmaması, onu hesaplanabilir sıradan bir bölme olmaktan çıkarır. 0 ÷ 0 ifadesi bazı limit çalışmalarında belirsiz biçim adıyla karşımıza çıkabilir; limitlerde bu biçimin nasıl incelendiği ayrı bir konudur. Buradaki temel aritmetik işlem açısından ise 0 ÷ 0 için belirli bir sayı sonucu yoktur.
Tanımsız sonuç ile belirsiz biçim arasındaki fark
Tanımsız sonuç, işlemin kendi içinde izin verilen tek bir değer üretmemesi demektir. Sıfır olmayan bir sayının 0'a bölünmesinde uygun sonuç hiç bulunmaz; 0 ÷ 0 işleminde ise çarpma koşulunu sağlayan birçok sayı vardır. Her iki durumda da bölme işlemi tek bir sayı olarak tanımlanamaz, fakat bunun nedeni aynı değildir.
Belirsiz biçim ise özellikle bir ifadenin belirli bir yaklaşım veya dönüşüm içinde tek başına yeterli bilgi vermediğini anlatır. 0 ÷ 0 ifadesini yalnızca görüp sonucunu 0, 1 ya da sonsuzluk olarak seçemeyiz. Farklı durumlarda pay ve paydanın nasıl değiştiği sonucu etkileyebilir; bu nedenle ifade ek bilgi olmadan belirli bir sonuca götürmez. Bu ayrıntılı inceleme limit konusuna aittir ve burada yalnızca kavramların karıştırılmaması önemlidir.
Sonsuzluk da 0'a bölmenin otomatik sonucu değildir. Paydanın sıfıra yaklaşması, paydanın gerçekten sıfır olduğu anlamına gelmez; bu iki durum arasında işlem açısından temel bir fark vardır. Fonksiyonların tanım kümelerinde sıfıra bölme konusu da ayrıca ele alınan bir başlıktır.
Bir tarifte toplam 12 litre içeceği 3 eşit kaba paylaştırmak 12 ÷ 3 = 4 ile modellenebilir; ancak 12 litreyi 0 kaba paylaştırmak, çarpma ilişkisine uygun bir paylaşım sonucu vermez. Bu nedenle sıfıra bölme günlük bir paylaşım işlemi olarak da anlamlı değildir.
0 ÷ 0 ile 7 ÷ 0 aynı gerekçeyle açıklanmaz: 7 ÷ 0 işleminde uygun sonuç yoktur, 0 ÷ 0 işleminde ise birden fazla sayı çarpma koşulunu sağlar. Her ikisi de tek bir sayı sonucu olarak tanımsızdır.
Sık sorulan sorular
Bölme işlemi neden çarpma ile kontrol edilir?
a ÷ b = c ise b × c = a olmalıdır. Bölme sonucu, bölenle çarpıldığında bölüneni veren sayıdır.
7 ÷ 0 neden tanımsızdır?
Sonuç x olsaydı 0 × x = 7 gerekirdi. Oysa sıfır, hangi sayıyla çarpılırsa çarpılsın 0 verir; uygun bir x yoktur.
0 ÷ 0 neden 0 değildir?
0 × 0 = 0 olsa da 0 × 1, 0 × 2 ve başka birçok çarpım da 0'dır. Bu nedenle tek bir sonuç seçilemez.
0 ÷ 0 sonsuz mudur?
Hayır. Sonsuzluk doğrudan bölme sonucu değildir; 0 ÷ 0 işleminde tek bir sayı sonucu bulunmadığı için ifade tanımsızdır.
Tanımsız ile belirsiz biçim aynı şey midir?
Hayır. Tanımsızlık, işlemin tek bir izin verilen sonucu olmamasıdır. Belirsiz biçim ise bir ifadenin ek bilgi olmadan sonucu belirlemeye yetmemesini anlatır.
- •Prealgebra — Solve Equations Using the Division and Multiplication Properties of Equality / Solve Equations Using the Division and Multiplication Properties of Equalityopenstax.org
- •Elementary Algebra — Solve Equations using the Division and Multiplication Properties of Equality / Solve Equations Using the Division and Multiplication Properties of Equalityopenstax.org
- •Prealgebra — Solve Equations Using Integers; The Division Property of Equality / Model the Division Property of Equalityopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org