Kümeler: Gösterim Biçimleri, Alt Kümeler ve Temel İşlemler

Küme kavramı ve iyi tanımlılık

Bir küme, ortak bir özelliği taşıyan nesnelerin veya sayıların oluşturduğu topluluktur. Bir topluluğun küme sayılabilmesi için hangi nesnelerin topluluğa ait olduğunun kesin biçimde belirlenebilmesi gerekir. Bu özelliğe iyi tanımlılık denir. Örneğin, “10’dan küçük doğal sayılar” iyi tanımlıdır; çünkü 0, 1, 2, ..., 9 sayılarının topluluğa ait olduğu açıkça belirlenebilir. Buna karşılık “güzel sayılar” ifadesi kişiden kişiye değişebileceği için iyi tanımlı bir küme oluşturmaz.

Kümenin elemanları sayı, harf, nesne veya başka matematiksel varlıklar olabilir. Bir eleman kümede yalnızca bir kez yazılır; aynı elemanın tekrar edilmesi kümeyi değiştirmez. Örneğin A = {a, b, c} ile A = {a, a, b, c} aynı kümeyi ifade eder. Kümelerde elemanların sırası da önemli değildir; {1, 2, 3} ile {3, 1, 2} aynı kümeye karşılık gelir. Sayı kümeleri de doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar gibi belirli özelliklerle tanımlanabilir. Doğal sayılardan daha geniş sayı kümelerine geçildikçe kapsama ilişkisi ortaya çıkar.

Kümelerin gösterim biçimleri

Kümeler en yaygın olarak liste yöntemi ve ortak özellik yöntemiyle gösterilir. Liste yönteminde kümenin bütün elemanları süslü parantez içinde yazılır. Örneğin, 10’dan küçük çift doğal sayılar A = {0, 2, 4, 6, 8} biçiminde gösterilir. Eleman sayısı çok fazla olduğunda veya belirli bir kurala göre devam ettiğinde üç nokta kullanılabilir: B = {1, 2, 3, ..., 20}.

Ortak özellik yöntemi, kümenin elemanlarını tek tek sıralamak yerine bu elemanların ortak özelliğini belirtir. Örneğin A = {x | x, 10’dan küçük çift doğal sayıdır} ifadesinde dikey çizginin solundaki x, kümenin genel elemanını; sağındaki açıklama ise x’in taşıması gereken özelliği gösterir. Aynı küme A = {x ∈ N | x < 10 ve x çifttir} biçiminde de yazılabilir. Burada N doğal sayılar kümesini belirtir. Bir gösterimin doğru olması için liste yönteminde yazılan her eleman ortak özellik yöntemindeki koşulu sağlamalı, koşulu sağlayan her eleman da listede yer almalıdır.

Kümeler arasındaki ilişkiler ve işlemler kapalı bölgeler kullanılarak Venn şemasıyla da gösterilebilir. Örneğin A = {1, 2, 3} kümesi, A harfiyle etiketlenmiş bir kapalı şeklin içine 1, 2 ve 3 yazılarak temsil edilir. Venn şeması özellikle iki kümenin ortak veya farklı elemanlarını görmeyi kolaylaştırır; ancak kümenin kesin tanımı için liste ya da ortak özellik gösterimi daha doğrudandır.

Elemanlık, eşit küme ve denk küme

Bir x elemanı A kümesinde bulunuyorsa x ∈ A, bulunmuyorsa x ∉ A yazılır. Örneğin A = {2, 4, 6} için 4 ∈ A, 5 ∉ A olur. Elemanlık sembolü bir elemanın kümeye ait olup olmadığını gösterir; bir kümenin başka bir kümeyle ilişkisini tek başına ifade etmez.

İki kümenin bütün elemanları aynıysa bu kümeler eşit kümelerdir. Elemanların sırası ve tekrar yazılması eşitliği değiştirmez; {1, 2, 3} ve {3, 2, 1} eşit kümelerdir. Denk kümelerde ise elemanların kendilerinin aynı olması gerekmez; yalnızca eleman sayıları aynıdır. Örneğin {a, b, c} ile {4, 7, 9} denk, fakat eşit olmayan kümelerdir. Bu ayrımda eşitlik “aynı elemanlara sahip olmayı”, denklik ise “aynı sayıda elemana sahip olmayı” ifade eder.

Bir kümenin eleman sayısı, o kümede bulunan farklı elemanların sayısıdır ve s(A) veya |A| ile gösterilebilir. Örneğin A = {2, 4, 6, 8} için |A| = 4’tür; tekrar eden elemanlar sayıyı artırmaz.

Boş küme, evrensel küme ve alt küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme ∅ veya { } sembolleriyle gösterilir. Örneğin doğal sayılar içinde hem 3’ten büyük hem de 2’den küçük olan sayıları ararsak böyle bir sayı bulunamaz; bu koşulu sağlayan küme boştur. Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır. Boş küme, her kümenin alt kümesidir; çünkü boş kümenin her elemanı, herhangi bir kümenin elemanı olma koşulunu sağlamak zorundadır ve boş kümede bu koşulu bozacak bir eleman yoktur.

Bir problemde ele alınan bütün nesneleri veya sayıları içeren kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir. Evrensel küme problemin bağlamına göre değişir. Örneğin bir sınıftaki öğrenciler inceleniyorsa E sınıftaki tüm öğrenciler olabilir; doğal sayılarla ilgili bir soruda ise E doğal sayılar kümesi olarak seçilebilir. Bir kümenin tümleyeni evrensel kümeye göre belirlendiğinden, evrensel kümenin ne olduğu açıkça bilinmelidir.

A kümesinin her elemanı B kümesinde de bulunuyorsa A, B’nin alt kümesidir ve A ⊆ B şeklinde yazılır. Örneğin A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3, 4} için A ⊆ B’dir. B kümesinde A’da bulunmayan 3 ve 4 elemanları olsa da bu durum alt küme ilişkisini bozmaz; önemli olan A’daki hiçbir elemanın B’nin dışında kalmamasıdır. Eğer A, B’nin alt kümesi olduğu hâlde A ile B eşit değilse A ⊂ B yazılabilir ve A, B’nin öz alt kümesi olarak adlandırılır. Örneğin {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} olur.

Alt küme ilişkisi, sayı kümeleri arasında da görülür. Doğal sayılar kümesi tam sayıların, tam sayılar kümesi rasyonel sayıların içinde yer alır; bu nedenle kümeler bir kapsama zinciri oluşturabilir. Bir kümenin alt küme olup olmadığını kontrol etmek için önce küçük olduğu düşünülen kümenin elemanları tek tek incelenir. Örneğin {0, 2, 4} kümesinin {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümesi olduğu bu yöntemle görülür. Alt kümelerin sayısını hesaplama konusu ise ayrı bir başlıkta incelenir.

Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleyen işlemleri

Kümeler üzerinde yapılan işlemler, yeni kümeler oluşturur. A ve B kümelerinin birleşimi A ∪ B ile gösterilir ve A’da veya B’de bulunan bütün elemanlardan oluşur. Aynı eleman iki kümede de bulunuyorsa birleşim kümesine yalnızca bir kez yazılır. Örneğin A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} ise A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} olur.

A ve B kümelerinin kesişimi A ∩ B ile gösterilir. Kesişim, her iki kümede ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur. Aynı kümeler için A ∩ B = {3} elde edilir; çünkü 3 hem A’da hem B’dedir. Kümelerin ortak elemanı yoksa kesişimleri boş kümedir. Örneğin {1, 2} ve {4, 5} kümelerinin kesişimi ∅ olur.

A kümesinin B’ye göre farkı A \ B ile gösterilir ve A’da bulunup B’de bulunmayan elemanlardan oluşur. Örneğin A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} için A \ B = {1, 2}, B \ A = {4, 5} olur. Fark işleminde kümelerin sırası önemlidir; genellikle A \ B ile B \ A aynı değildir. Bu nedenle hangi kümeden hangi kümenin çıkarıldığı dikkatle izlenmelidir.

Bir A kümesinin evrensel küme E’ye göre tümleyeni A' veya Aᶜ ile gösterilir. Tümleyen, E’de bulunup A’da bulunmayan elemanlardan oluşur. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A = {2, 4, 6} ise Aᶜ = {1, 3, 5} olur. Tümleyen işlemini yapabilmek için önce evrensel kümenin bilinmesi gerekir; çünkü A’nın dışında kalan elemanlar, seçilen evrensel kümeye göre değişebilir.

İşlemler birden fazla kümeyle de uygulanabilir. Örneğin önce ortak elemanları bulmak için kesişim, en az bir kümede bulunanları bulmak için birleşim kullanılır. Bir ifadeyi çözerken parantez içindeki işlemler ve işlem sembollerinin anlamı takip edilmelidir. Kartezyen çarpım ve bağıntılar, kümelerle ilişkili başka konulardır ve burada ele alınmaz.

Küme işlemlerinin Venn şemasıyla gösterimi

Venn şemasında evrensel küme genellikle bir dikdörtgenle, kümeler ise bu dikdörtgenin içindeki kapalı bölgelerle gösterilir. İki kümenin ortak kısmı, kesişimi temsil eden üst üste binmiş bölgedir. A ve B kümeleri için bu ortak bölge A ∩ B’yi gösterir. Her iki kapalı bölgenin tamamı, yani A’da veya B’de kalan tüm alanlar A ∪ B’yi ifade eder.

Fark işleminde yalnızca bir kümeye ait olan bölge boyanır. A \ B için A bölgesinin B ile çakışmayan kısmı; B \ A için B bölgesinin A ile çakışmayan kısmı seçilir. Tümleyen gösteriminde ise evrensel dikdörtgenin A kümesinin dışında kalan bölgesi dikkate alınır. Örneğin dikdörtgen sınıftaki tüm öğrencileri, A ve B da iki farklı etkinliğe katılan öğrencileri temsil ediyorsa, iki dairenin kesişimi her iki etkinliğe katılan öğrencileri gösterir. Böylece işlem sonucunda hangi bölgenin seçileceği görsel olarak kontrol edilebilir.