Gerçek Sayılar Nedir? Sayı Kümeleri ve Sınıflandırma

Gerçek sayıların tanımı ve kapsamı

Gerçek sayı, rasyonel ya da irrasyonel olan her sayıdır. Rasyonel sayılar iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilir; irrasyonel sayılar ise bu biçimde yazılamaz. Bu iki küme birlikte bütün gerçek sayıları oluşturur ve bir sayı aynı anda hem rasyonel hem irrasyonel olamaz.

Gerçek sayılar pozitif gerçek sayılar, negatif gerçek sayılar ve sıfır olarak da sınıflandırılabilir. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir. Bu sınıflandırma, sayının işaretine göre yapılır; örneğin 3/4 pozitif bir gerçek sayı, -2,5 negatif bir gerçek sayı ve 0 ayrı bir gruptadır. Böylece kesir, ondalık veya irrasyonel biçimde yazılmış olması, sayının gerçek sayı olmasına engel değildir.

Gerçek sayıların kapsamını anlamanın bir başka yolu sayı doğrusunu düşünmektir. Sayı doğrusunda her gerçek sayıya yalnızca bir konum karşılık gelir; aynı şekilde her konum da tek bir gerçek sayıyı gösterir. Örneğin 1, -1, 0, 2/3 ve √2 sayı doğrusunda farklı konumlara sahip gerçek sayılardır.

Sayı kümelerinin iç içe yapısı

Sayı kümeleri, daha geniş kümelerin içinde yer alan alt kümeler şeklinde düzenlenir. Doğal sayılar 1, 2, 3, 4, ... biçimindeki sayma sayılarıdır. Sıfır doğal sayılara eklenince negatif olmayan tam sayılar kümesi, yani 0, 1, 2, 3, ... elde edilir. Tam sayılar ise doğal sayıların negatif karşılıklarının da eklenmesiyle oluşur: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Her tam sayı, paydası 1 olan bir kesir şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayıdır. Bu nedenle temel iç içe yapı şöyle gösterilir: Doğal sayılar ⊂ Tam sayılar ⊂ Rasyonel sayılar ⊂ Gerçek sayılar. Burada doğal sayılar, tam sayıların; tam sayılar da rasyonel sayıların içindedir. İrrasyonel sayılar ise rasyonel sayıların içinde değildir, fakat gerçek sayıların başka bir alt kümesidir. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi gerçek sayılar kümesini verir.

Örneğin 5 doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı ve gerçek sayıdır. -5 tam sayı, rasyonel sayı ve gerçek sayıdır; doğal sayı değildir. 3/8 rasyonel ve gerçek sayıdır, fakat tam sayı değildir. √2 ise rasyonel olmayan bir gerçek sayıdır. Köklü bir ifadenin rasyonel veya irrasyonel olması, kökün içindeki sayıya ve ifadenin biçimine göre değişebilir; köklü ifadelerde sadeleştirme ve işlemler ayrı bir konudur.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların ayırt edilmesi

Rasyonel sayılar, payı ve paydası tam sayı olan ve paydası 0 olmayan kesir biçiminde yazılabilen sayılardır. Genel gösterimleri a/b şeklindedir; burada a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmalıdır. Bir doğal sayı, tam sayı veya kesir bu koşulu sağlıyorsa rasyoneldir. Örneğin 7 = 7/1, -3 = -3/1 ve 4/9 rasyonel sayılardır.

İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılamayan gerçek sayılardır. Rasyonel ve irrasyonel olma durumları birbirinin dışındadır; bir sayıyı sınıflandırırken önce kesir biçiminde yazılıp yazılamadığına bakılır. √2, rasyonel kesir biçiminde yazılamadığı için irrasyonel bir gerçek sayıdır. Buna karşılık √9 = 3 olduğundan √9 rasyoneldir. Bu örnek, köklü görünen her sayının irrasyonel olmadığını gösterir.

Bir sayının açıkça kesir biçiminde verilmesi rasyonel olduğunu gösterir. Örneğin -11/6 rasyoneldir. Bir sayının rasyonel kesir biçimine dönüştürülememesi ise irrasyonel olduğunu gösterir. İrrasyonelliği kanıtlama yöntemleri daha ileri ve ayrı bir konudur; burada amaç, sayıların tanım ve gösterim özelliklerinden yararlanarak temel sınıflandırmayı yapmaktır.

Ondalık gösterim ile sayı türü arasındaki ilişki

Rasyonel sayıların ondalık gösterimi ya sonlu ya da devirlidir. Ondalık gösterim belirli bir basamakta bitiyorsa sonlu ondalık gösterimdir; 0,75 gibi bir sayı 75/100 biçiminde yazılabildiği için rasyoneldir. Ondalık basamaklar belirli bir düzen içinde tekrar ediyorsa devirli ondalık gösterim oluşur; 0,333... gibi bir gösterim de rasyoneldir.

Sonsuz ve devirsiz ondalık gösterimler irrasyonel sayıları belirtir. Bu tür gösterimlerde basamaklar sonsuza kadar devam eder, ancak tekrar eden sabit bir blok oluşturmaz. Böylece ondalık gösterim, sayı türünü belirlemede pratik bir ipucu verir: sonlu veya devirli gösterim rasyonel, sonsuz ve devirsiz gösterim irrasyoneldir.

Gerçek sayıların sayı doğrusunda gösterimi ve karşılaştırılması

Gerçek sayı doğrusu yatay bir doğru üzerinde 0 noktası seçilerek oluşturulur. Sıfırın solunda negatif sayılar, sağında pozitif sayılar bulunur. Eşit aralıklarla işaretlenen tam sayılar temel referans noktalarıdır; kesirler, ondalıklar ve irrasyonel sayılar da değerlerine karşılık gelen konumlara yerleştirilir. Her gerçek sayı sayı doğrusunda tek bir noktaya karşılık gelir.

Sayı doğrusunda sağda bulunan sayı daha büyük, solda bulunan sayı daha küçüktür. Örneğin -2 < -1 < 0 < 1/2 < 1 sıralaması, sayıların doğru üzerindeki konumlarından okunur. Negatif sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür; bu nedenle -3 < -1 olur. √2 sayısı 1 ile 2 arasında bulunduğundan 1 < √2 < 2 şeklinde karşılaştırılabilir. Aralıkların sayı doğrusu üzerinde gösterimi, bu konumlandırma fikrinin devamıdır; aralıklarla yapılan işlemler ise ayrı bir konudur.

Gerçek sayılarla temel işlemlerde küme özellikleri

Gerçek sayılar toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde kapalıdır. Yani iki gerçek sayı üzerinde bu işlemler yapıldığında sonuç yine gerçek sayıdır. Bölme işleminde de sonuç gerçektir; ancak bölen sayı 0 olamaz. Örneğin -2 ile 5'in toplamı 3, farkı -7 ve çarpımı -10 gerçek sayıdır; 5/0 ise tanımsızdır.

Gerçek sayılarda toplama ve çarpma değişme özelliğine sahiptir: a + b = b + a ve a · b = b · a. Birden fazla sayı için gruplama da sonucu değiştirmez: (a + b) + c = a + (b + c) ve (a · b) · c = a · (b · c). Çarpma, toplama üzerine dağılır: a · (b + c) = a · b + a · c. Toplamada etkisiz eleman 0, çarpmada etkisiz eleman 1'dir; her gerçek sayının toplamsal tersi -a, sıfırdan farklı her gerçek sayının çarpmaya göre tersi 1/a'dır.

Bu özellikler, işlemleri düzenlemeyi ve ifadeleri sade biçimde değerlendirmeyi sağlar. Örneğin 4 · (2 + 3) ifadesi dağılma özelliğiyle 4 · 2 + 4 · 3 biçiminde yazılır ve sonuç yine gerçek sayı kümesinde kalır. Bölmede yalnızca sıfıra bölme kuralına dikkat edilmelidir.