Temel Geometrik Şekiller: Özellikleri, Alanı ve Çevresi

Geometrik şekilleri tanıma ve temel özellikleri

Bir geometrik şekli tanırken önce sınırının nasıl oluştuğuna bakılır. Düz çizgi parçalarıyla kapanan şekiller çokgen olarak adlandırılır. Üçgen ve dörtgen bu gruba girer. Çizgi parçalarının birleştiği noktalar köşe, iki kenarın bir köşede oluşturduğu açıklık ise açıdır. Örneğin bir karede dört düz kenar, dört köşe ve dört açı vardır. Bir şeklin iç bölgesi, onu çevreleyen sınırın içinde kalan alandır.

Bazı şekillerin sınırı düz değil, eğridir. Çember, düz kenarlar yerine sürekli eğri bir sınırla oluşur. Daire ise bu sınırın çevrelediği iç bölgeyle birlikte düşünülür. Bu nedenle bir şekli adlandırırken yalnızca görünüşüne değil, kenar sayısına, köşe sayısına ve sınırının düz ya da eğri olmasına bakmak gerekir. Kareyi dikdörtgenden ayırmak için kenar uzunluklarına ve açılarına; üçgeni dörtgenden ayırmak için kenar ve köşe sayılarına bakılır.

Şeklin sayfadaki yeri, büyüklüğü veya döndürülmüş olması temel türünü değiştirmez. Örneğin eğik duran bir kare yine karedir; yalnızca yönü değişmiştir. Aynı şekilde küçük ve büyük iki dikdörtgen, ölçüleri farklı olsa da kenar ve açı özellikleri bakımından aynı türdedir. Bir trafik levhasının üçgen biçiminde olması, bir pencerenin dikdörtgen olması ve bir madeni paranın dairesel görünmesi, günlük nesneleri geometrik şekillerle tanımlamaya örnektir. Şekilleri sınıflandırırken renk veya yapıldığı madde yerine geometrik sınır ve özellikler kullanılır.

Üçgenlerin temel özellikleri ve sınıflandırılması

Üçgen, üç doğru parçasının birleşerek kapalı bir şekil oluşturmasıyla meydana gelir. Üç kenarı, üç köşesi ve üç açısı vardır. Bir üçgeni incelerken iki farklı ölçüt kullanılabilir: kenar uzunlukları ve açıların büyüklükleri. Kenarlarına göre sınıflandırmada kenarların birbirine eşit olup olmadığına bakılır. Üç kenarı eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. İki kenarı eşit olan üçgen ikizkenar üçgendir. Üç kenarının uzunluğu da birbirinden farklı olan üçgen çeşitkenar üçgendir.

Örneğin üç kenarı da 5 santimetre olan bir üçgen eşkenardır. Kenarları 4, 4 ve 6 santimetre olan üçgen ikizkenardır; 3, 4 ve 5 santimetrelik kenarlara sahip bir üçgen ise çeşitkenardır. Bu sınıflandırmada kenar uzunlukları karşılaştırılır. Aynı üçgen, açılarına bakılarak da başka bir adla sınıflandırılabilir; yani kenarlarına göre bir tür, açılarına göre başka bir tür özelliği taşıyabilir.

Açılarına göre üçgenlerde en büyük açının durumuna bakılır. Üç açısı da dar açı olan üçgen dar açılı, bir açısı dik açı olan üçgen dik açılı, bir açısı geniş açı olan üçgen geniş açılıdır. Dar açı 90 dereceden küçük, dik açı 90 derece, geniş açı ise 90 dereceden büyüktür. Örneğin bir köşesinde kare köşesi gibi dik açıklık bulunan üçgen dik açılıdır. Bir üçgeni doğru adlandırmak için önce hangi ölçüte göre konuşulduğu belirtilmelidir: “ikizkenar” kenarlara, “dik açılı” ise açılara göre yapılan sınıflandırmayı gösterir. Böylece bir üçgenin hem kenar hem açı özellikleri birlikte okunabilir.

Kare, dikdörtgen, paralelkenar ve yamuğun özellikleri

Kare, dört kenarlı bir şekildir. Dört kenarı eşit uzunluktadır ve dört açısı da diktir. Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. Bu özellikler, karenin farklı yönlerde çizilse bile tanınmasını sağlar. Örneğin kenar uzunluğu 6 santimetre olan eğik bir çizim, açıları dik ve bütün kenarları eşitse yine karedir.

Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit uzunluktadır, karşılıklı kenarları paraleldir ve dört açısı diktir. Ancak bütün kenarlarının eşit olması gerekmez. Kısa kenarı 3, uzun kenarı 7 santimetre olan bir şekil dikdörtgendir; kare değildir. Kare, bütün kenarları eşit olan özel bir dikdörtgen gibi düşünülebilir. İki şekli ayırırken önce açıların dik olup olmadığına, sonra kenarların eşitlik durumuna bakmak işe yarar.

Paralelkenarda karşılıklı kenar çiftleri paraleldir ve karşılıklı kenarlar eşit uzunluktadır. Karşılıklı açıları da eşittir; fakat her açısının dik olması zorunlu değildir. Bu nedenle eğik görünen bir paralelkenar, dikdörtgenden farklıdır. Bir yamukta ise en az bir çift karşılıklı kenar paraleldir. Paralel kenarlar taban olarak düşünülebilir; diğer iki kenar aynı uzunlukta olmak zorunda değildir. Örneğin alt ve üst kenarları paralel, yan kenarları farklı eğimde olan bir şekil yamuk olabilir.

Bu dörtgenleri sınıflandırmak için kenarları tek tek saymak yeterli değildir. Paralellik ilişkisi, kenarların eşitliği ve açıların dik olup olmaması birlikte incelenir. Dört kenarlı şekillerin açılarını hesaplamaya yönelik daha ileri iç ve dış açı çalışmaları bu konunun dışındadır.

Daire ve çemberle ilgili temel kavramlar

Çember, bir merkez noktasından aynı uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu eğri sınırdır. Daire ise çemberin iç bölgesiyle birlikte ele alınan düzlemsel şekildir. Merkez, şeklin tam ortasında kabul edilen noktadır. Merkezden çember üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçasına yarıçap denir. Aynı çemberde bütün yarıçapların uzunluğu eşittir.

Çember üzerindeki iki noktayı birleştirip merkezden geçen doğru parçasına çap denir. Çap, çemberin bir tarafından diğer tarafına uzanır ve merkezden geçer. Bu nedenle çapın uzunluğu iki yarıçap uzunluğuna eşittir. Örneğin yarıçapı 4 santimetre olan bir çemberin çapı 8 santimetredir. Bir madeni paranın dış sınırı çembere, madeni paranın kapladığı yuvarlak bölge ise daireye örnek olarak düşünülebilir.

Geometrik şekillerde çevre hesaplama

Bir şeklin çevresi, dış sınırını oluşturan uzunlukların toplamıdır. Düz kenarlı şekillerde bütün kenar uzunlukları toplanır. Karede dört kenar eşit olduğu için bir kenar uzunluğu dörtle çarpılır. Örneğin bir kenarı 5 santimetre olan karenin çevresi 5 + 5 + 5 + 5 = 20 santimetredir. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğundan uzun kenar ile kısa kenarın toplamı ikiyle çarpılır. Uzun kenarı 8 santimetre, kısa kenarı 3 santimetre olan dikdörtgenin çevresi 2 × (8 + 3) = 22 santimetredir.

Üçgenin çevresi üç kenarının toplamıdır. Kenarları 4, 5 ve 6 santimetre olan bir üçgenin çevresi 4 + 5 + 6 = 15 santimetredir. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşit olduğundan iki farklı kenar uzunluğu toplanıp ikiyle çarpılabilir. Tabanları ve yan kenarları verilen yamukta ise dört kenarın tamamı toplanır. Çevre hesabında şeklin iç bölgesine değil, yalnızca dış sınırına dikkat edilir. Bir kenarın uzunluğu verilmemişse, çevreyi bulmadan önce verilen bilgilerle bu kenarın bulunup bulunamayacağı kontrol edilmelidir.

Geometrik şekillerde alan hesaplama

Alan, bir şeklin düzlemde kapladığı bölgenin ölçüsüdür. Alanı hesaplarken şeklin iç kısmına odaklanılır. Karede bütün kenarlar eşit olduğu için bir kenar uzunluğu kendisiyle çarpılır. Kenarı 4 santimetre olan karenin alanı 4 × 4 = 16 santimetrekaredir. Dikdörtgenin alanı uzun kenar ile kısa kenarın çarpılmasıyla bulunur. Uzun kenarı 7 santimetre, kısa kenarı 3 santimetre olan dikdörtgenin alanı 7 × 3 = 21 santimetrekaredir.

Üçgenin alanında taban ve bu tabana ait yükseklik kullanılır. Yükseklik, tabana dik olarak indirilen uzunluktur; eğik duran bir kenar her zaman yükseklik değildir. Üçgenin alanı, taban ile yüksekliğin çarpımının ikiye bölünmesiyle bulunur. Tabanı 8 santimetre, bu tabana ait yüksekliği 5 santimetre olan üçgenin alanı (8 × 5) / 2 = 20 santimetrekaredir. Aynı taban ve yüksekliğe sahip üçgenlerin yönleri farklı çizilse bile alan hesabında kullanılan ölçüler değişmez.

Paralelkenar alanında taban ile o tabana ait dik yükseklik çarpılır. Yamukta ise paralel iki tabanın toplamı, yükseklikle çarpılır ve sonuç ikiye bölünür. Bu formüllerde eğik yan kenarlar değil, tabana dik yükseklik kullanılır. Bir şekli parçalara ayırmak da alan bulmayı kolaylaştırabilir; örneğin bazı karmaşık düzlemsel şekiller dikdörtgen ve üçgenlere ayrılarak parçaların alanları ayrı ayrı hesaplanabilir. Daire alanı ve çember uzunluğu gibi ileri hesaplamalar bu temel kavramların ötesindeki ayrı bir konudur.

Alan ile çevre arasındaki fark

Çevre, şeklin etrafındaki toplam uzunluğu; alan ise şeklin kapladığı iç bölgeyi gösterir. Bu yüzden çevrede santimetre ve metre gibi uzunluk birimleri, alan ölçülerinde ise santimetrekare ve metrekare gibi kareli birimler kullanılır.

Şekillerde ölçü birimleri

Kenar ve çevre uzunlukları santimetre veya metre gibi uzunluk birimleriyle, alanlar ise santimetrekare veya metrekare gibi kareli birimlerle ifade edilir.