Bölme İşlemi Nedir? Kalansız ve Kalanlı Bölme Nasıl Yapılır?

Bölme İşleminin Anlamı

Bölme, bir bütünü eşit parçalara ayırma işlemidir. Bu anlamda elimizdeki toplam miktar bölünür ve kaç eşit paya ayrılacağına göre her payın miktarı bulunur. 20 elmayı 5 kişiye eşit paylaştırırsak her kişiye 4 elma düşer. İşlem 20 ÷ 5 = 4 şeklindedir.

Bölmenin bir başka anlamı da belirli büyüklükte kaç grup oluşturulabileceğini bulmaktır. 20 elmayı her grupta 5 elma olacak şekilde dizersek 4 grup oluşur. Burada toplam elma sayısı, grup sayısı ve her gruptaki elma sayısı arasındaki ilişki bölme işlemiyle açıklanır.

Bu nedenle bölme yaparken iki soru sorulabilir: “Bu miktarı kaç eşit kişiye paylaştırıyorum?” veya “Bu miktarın içinde kaç tane eşit grup var?” 18 ÷ 6 işleminde hem 18 nesne 6 eşit gruba ayrıldığında her grupta 3 nesne bulunur hem de 18’in içinde 6’şar nesneden 3 grup vardır.

Bölme İşleminin Temel Terimleri

Bir bölme işleminde dört temel terim bulunur: bölünen, bölen, bölüm ve kalan. Bölünen, paylaştırılan veya gruplara ayrılan toplam sayıdır. Bölen, kaç eşit gruba ayrıldığını ya da her grubun kaç nesneden oluştuğunu gösteren sayıdır. Bölüm, bölme işleminin sonucudur. Bölünen sayı bölen sayıya tam olarak ayrılamazsa artan miktara kalan denir.

Örneğin 17 ÷ 5 = 3 kalan 2 işleminde 17 bölünen, 5 bölen, 3 bölüm ve 2 kalandır. İşlem “17’nin içinde 5’ten 3 grup vardır, 2 artar” şeklinde okunabilir. Bölme işleminin sonucu, matematikte bölüm olarak adlandırılır.

Kalansız ve Kalanlı Bölme

Bölünen sayı bölen sayıya tam olarak ayrılıyorsa kalansız bölme yapılır. Bu durumda kalan 0’dır. Örneğin 24 ÷ 6 = 4 işleminde 24, 6’şar 4 eşit gruba ayrılır ve hiç nesne artmaz. Bu yüzden işlem kalansızdır.

Bölünen sayı bölen sayıya tam olarak ayrılamıyorsa kalanlı bölme yapılır. Örneğin 26 ÷ 4 işleminde 4’ün 6 katı 24 olduğu için 6 tam grup oluşturulur ve 2 artar. Sonuç 26 ÷ 4 = 6 kalan 2 biçiminde yazılır. Buradaki kalan, yeni bir tam grup oluşturacak kadar büyük değildir.

Kalanlı bölmede amaç, bölüneni aşmayan en büyük bölen katını bulmaktır. 26 sayısında 4’ün 7 katı olan 28’e ulaşılamaz; çünkü bu, bölünen sayıdan büyük olur. Bu nedenle bölüm 6, kalan 2 olur.

Bölme İşleminin Uygulanışı

Bölme işlemine başlarken bölünen sayının içinde bölenin kaç kez bulunduğu belirlenir. Ardından bulunan sayı bölüm olarak yazılır, bölen ile bölüm çarpılır ve bu çarpım ilgili sayıdan çıkarılır. Kalan varsa sonraki basamakla birlikte değerlendirilir. Her adımda bölenden büyük ya da ona eşit bir miktar seçilmeli, işlem sonunda kalan kontrol edilmelidir.

84 ÷ 4 işlemini ele alalım. Önce 8’in içinde 4’ün 2 kez bulunduğu görülür ve bölüme 2 yazılır. 2 ile 4 çarpılır, sonuç 8’den çıkarılır ve 0 bulunur. Sonraki basamak olan 4 aşağı alınır. 4’ün içinde 4 bir kez bulunduğu için bölüme 1 yazılır. Böylece sonuç 84 ÷ 4 = 21 olur.

Üç basamaklı bir sayıda da aynı sıra izlenir. 156 ÷ 12 işleminde 12, 15’in içinde 1 kez bulunur; 15’ten 12 çıkarılınca 3 kalır ve 6 aşağı alınarak 36 elde edilir. 12, 36’nın içinde 3 kez bulunduğu için sonuç 13 olur ve kalan 0’dır. Kontrol için 12 × 13 = 156 yapılır.

Bölme işleminde sıfır ve birin kullanımında özel durumlar vardır: Sıfır, sıfır olmayan bir sayıya bölündüğünde sonuç 0 olur; bir sayıyı 1’e bölmek sayıyı değiştirmez. Sıfıra bölme ise bu düzeyde yapılabilecek bir işlem olarak kabul edilmez.

Bölme ile Çarpma Arasındaki İlişki

Çarpma ve bölme birbirinin ters işlemleridir. Çarpma, eşit grupların toplamını bulmaya; bölme ise toplam miktardan bir grubun büyüklüğünü veya grup sayısını bulmaya yarar. Bu yüzden bir bölme işleminde bulunan bölüm, bölenle çarpıldığında kalansız bölmede bölünen sayıya ulaşılır.

Örneğin 7 × 8 = 56 ise 56 ÷ 7 = 8 ve 56 ÷ 8 = 7 işlemleri kurulabilir. 45 ÷ 5 = 9 sonucunu kontrol etmek için 9 × 5 = 45 yapılır. Kalanlı bölmede ise bölen ile bölüm çarpılır ve kalan eklenir: 26 ÷ 4 = 6 kalan 2 için 4 × 6 + 2 = 26 olur. Böylece bölümün doğru olup olmadığı anlaşılır.

Kalanın Bölenden Küçük Olması

Kalanlı bir bölme işleminde kalan her zaman bölen sayısından küçük olmalıdır. Çünkü kalan bölen sayısına eşit veya ondan büyük olursa bir grup daha oluşturulabilir ve bölüm henüz tamamlanmamış demektir.

Örneğin 29 ÷ 6 işleminde 6 × 4 = 24 ve 29 − 24 = 5 olduğu için sonuç 4 kalan 5’tir. 5, 6’dan küçük olduğu için kalan uygundur. “4 kalan 7” sonucu ise doğru olamaz; çünkü 7, 6’dan büyüktür ve bir 6 daha çıkarılarak bölüm 5 yapılabilir. Bölme sonucunu kontrol ederken bölünen = bölen × bölüm + kalan bağıntısı kullanılabilir.