Kesirlerde Dört İşlem: Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme

Kesirlerin temel gösterimleri

Bir kesir, bir bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını ve bu parçalardan kaçının ele alındığını gösterir. Kesir çizgisinin üstündeki sayı pay, altındaki sayı paydadır. Payda bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, pay ise bu parçalardan kaç tanesinin alındığını belirtir. Paydanın sıfır olması mümkün değildir; çünkü sıfıra bölme tanımlı değildir.

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Örneğin 3/5 basit kesirdir. Payı paydasına eşit veya büyük olan kesirler bileşik kesir olarak adlandırılır; 7/5 ve 5/5 buna örnektir. Bir tam sayı ile bir basit kesrin birlikte yazıldığı 2 1/3 gösterimi ise tam sayılı kesirdir. İşlem yapmadan önce karşılaşılan kesrin bu türlerden hangisi olduğunu belirlemek, uygulanacak adımların karıştırılmasını önler.

Denk kesirler ve ortak payda oluşturma

Aynı değeri gösteren kesirlere denk kesirler denir. Bir kesrin payı ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılırsa kesrin değeri değişmez; yalnızca gösterimi değişir. Örneğin 1/2 kesrinin payını ve paydasını 3 ile çarparak 3/6 elde ederiz. Bu iki kesir farklı görünse de aynı miktarı ifade eder.

Toplama ve çıkarma işleminde kesirlerin parçalarının aynı büyüklükte olması gerekir. Bu nedenle farklı paydalı kesirler önce ortak paydalı, yani denk kesirlere dönüştürülür. En uygun ortak payda, paydaların ortak katları içindeki en küçük değerdir. Örneğin 2/3 ve 1/4 için paydaların en küçük ortak katı 12’dir. 3’ü 12 yapmak için 4, 4’ü 12 yapmak için 3 kullanılır: 2/3 = 8/12 ve 1/4 = 3/12. Her kesirde payda hangi sayıyla çarpıldıysa pay da aynı sayıyla çarpılır; böylece kesrin değeri korunur.

Ortak paydaya geçerken izlenecek yol şöyledir: Önce ortak paydayı belirle, sonra her paydanın bu sayıya ulaşması için gereken çarpanı bul ve pay ile paydayı aynı çarpanla çarp. Örneğin 5/6 ve 3/8 için ortak payda 24’tür. İlk kesir 4 ile, ikinci kesir 3 ile genişletilerek 20/24 ve 9/24 biçimine gelir. Bundan sonra toplama veya çıkarma yapılabilir.

Kesirlerde toplama ve çıkarma

Paydaları aynı olan kesirleri toplarken veya çıkarırken paylar üzerinde işlem yapılır, ortak payda aynen korunur. Örneğin 3/8 + 2/8 = 5/8 ve 7/9 - 4/9 = 3/9 = 1/3 olur. Paydaların aynı olması, parçaların aynı büyüklükte olduğunu gösterdiği için yalnızca kaç parçanın bulunduğu değiştirilir.

Paydalar farklıysa önce ortak payda oluşturulur. Örneğin 2/3 + 5/6 işleminde ortak payda 6’dır. 2/3 kesri 4/6’ya dönüştürülür ve işlem 4/6 + 5/6 biçimini alır. Paylar toplandığında 9/6 elde edilir; bu sonuç 3/2 ya da 1 1/2 olarak yazılabilir. Çıkarma işleminde de aynı yöntem kullanılır: 7/12 - 2/12 = 5/12. Farklı paydalı bir çıkarma örneğinde 3/4 - 1/6 için ortak payda 12 seçilir; kesirler 9/12 ve 2/12 olur, sonuç 7/12’dir.

Toplama veya çıkarma sırasında paydalar kesinlikle doğrudan toplanmaz ya da çıkarılmaz. Örneğin 1/3 + 1/4 işlemi 2/7 değildir; önce ortak payda bulunmalı, işlem 4/12 + 3/12 = 7/12 şeklinde yapılmalıdır. İşlemden sonra elde edilen kesir sadeleştirilebiliyorsa sonuç en sade biçimine indirilir.

Kesirlerde çarpma

Kesirleri çarpmak için birinci kesrin payı ile ikinci kesrin payı, birinci kesrin paydası ile ikinci kesrin paydası çarpılır. Yani paylar birbiriyle, paydalar birbiriyle işlem görür. Bu işlemde ortak payda bulmaya gerek yoktur; çünkü çarpılan parçaların aynı paydaya dönüştürülmesi şartı bulunmaz.

Örneğin 3/4 × 2/5 işleminde paylar 3 × 2 = 6, paydalar 4 × 5 = 20 olur. Sonuç 6/20’dir. Pay ve payda 2’ye bölünerek sonuç 3/10 biçiminde sadeleştirilir. Sadeleştirme, çarpma tamamlandıktan sonra yapılabileceği gibi çapraz sadeleştirme ile işlemden önce de yapılabilir. Aynı örnekte 2 ile 4 sadeleştirilirse 3/2 × 1/5 elde edilir ve sonuç yine 3/10 çıkar.

Bir kesir bir tam sayıyla çarpılacaksa tam sayı paydası 1 olan kesir gibi düşünülebilir. Örneğin 3 × 2/7 = 3/1 × 2/7 = 6/7 olur. Tam sayılı kesirlerle işlem yaparken ise önce bileşik kesre dönüştürmek gerekir.

Kesirlerde bölme

Bir kesri başka bir kesre bölmek için birinci kesir, ikinci kesrin çarpmaya göre tersiyle çarpılır. Sıfırdan farklı bir kesrin tersi, pay ile paydanın yer değiştirmesiyle bulunur. Örneğin 4/7 kesrinin tersi 7/4’tür. Bölen kesir sıfır olamayacağı için sıfır kesrine bölme yapılamaz.

Örneğin 2/3 ÷ 4/5 işleminde ikinci kesir ters çevrilir ve işlem 2/3 × 5/4 biçimine gelir. Paylar ve paydalar çarpıldığında 10/12 elde edilir. Bu sonuç 2’ye bölünerek 5/6’ya sadeleştirilir. Burada yalnızca bölen kesir ters çevrilir; bölünen kesir aynı kalır.

Bir tam sayıya bölme işleminde tam sayı paydası 1 olan kesir olarak yazılır. Örneğin 3/5 ÷ 2 = 3/5 ÷ 2/1 = 3/5 × 1/2 = 3/10 olur. Bölme işleminde ortak payda aranmaz; önce ters çevirme, sonra çarpma kuralı uygulanır.

Tam sayılı ve bileşik kesirlerle işlem yapma

Tam sayılı kesirler dört işlemden önce bileşik kesre çevrilirse işlemler daha düzenli yapılır. Bir tam sayılı kesri bileşik kesre dönüştürmek için tam sayı, payda ile çarpılır; bulunan sonuca pay eklenir ve sonuç paya yazılır. Payda değişmez. Örneğin 2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3 ve 1 1/2 = (1 × 2 + 1)/2 = 3/2 olur.

Bileşik kesirler işlem sırasında doğrudan kullanılabilir. Örneğin 1 1/2 + 2 1/3 işlemi 3/2 + 7/3 biçimine dönüştürülür. Ortak payda 6 seçildiğinde 9/6 + 14/6 = 23/6 elde edilir. Bu sonuç istenirse 3 5/6 tam sayılı kesrine çevrilir. Böylece tam sayılı kesirleri ayrı ayrı işlemeye çalışmaktan doğabilecek hatalar önlenir.

Sonuçları sadeleştirme ve uygun biçimde yazma

Bir kesrin payı ve paydası 1’den büyük aynı sayıya bölünebiliyorsa kesir sadeleştirilebilir. Sadeleştirme, kesrin değerini değiştirmez; yalnızca daha kısa ve anlaşılır bir gösterim sağlar. Örneğin 12/18 kesrinin payı ve paydası 6’ya bölünür ve 2/3 elde edilir. Çarpma, bölme, toplama veya çıkarma sonunda pay ile paydanın ortak böleni olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Sonuç basit kesir biçimindeyse pay paydadan küçüktür. Sonuç bileşik kesirse pay, paydaya bölünerek tam sayılı kesre dönüştürülebilir. Bölme işleminde 23/6 için 6’nın 23’te 3 kez bulunduğu ve 5 kaldığı görülür; bu nedenle sonuç 3 5/6’dır. Kalan pay, ilk payda ile aynı paydayı kullanır. Bir kesir zaten sade durumdaysa daha fazla bölme yapılmaz.

İşlem sonucunu yazarken önce gerekiyorsa sadeleştir, sonra bileşik kesrin tam sayılı gösterime çevrilip çevrilmeyeceğini kontrol et. Soruda özellikle bileşik kesir isteniyorsa 3 5/6 yerine 23/6, tam sayılı gösterim isteniyorsa 23/6 yerine 3 5/6 yazılır. Birden fazla işlem içeren kesirli ifadelerde işlem sırası ayrıca değerlendirilir; bu konu ayrı bir başlıkta ele alınır.