Nicelikler ve Değişimler: Tablo, Grafik ve Fonksiyonlarla Modelleme

Nicelikleri, değişkenleri ve sabitleri ayırt etme

Nicelik, ölçülebilen veya sayısal olarak ifade edilebilen bir özelliktir. Uzunluk, süre, ücret ve sıcaklık birer niceliğe örnektir. Bir problemde değeri değişebilen nicelik değişken, incelenen süreç boyunca değeri değişmeyen nicelik ise sabit olarak adlandırılır. Değişkenlerden biri genellikle bağımsız değişkendir; bu değişkenin değeri değiştikçe diğer niceliğin, yani bağımlı değişkenin değeri incelenir.

Bu ayrım, nicelikler arasındaki ilişkiyi doğru kurmayı sağlar. Örneğin bir aracın sabit hızla ilerlediği durumda zaman bağımsız değişken, alınan yol bağımlı değişkendir. Hız ise model boyunca sabit kabul edilen niceliktir. Zaman arttıkça yol da artar; ancak her bir zaman aralığında alınan yolun aynı olması, sabit hız varsayımından kaynaklanır. Aynı problem farklı bir amaçla ele alınırsa roller değişebilir: Belirli bir mesafeyi tamamlama süresi incelenirken mesafe bağımsız değişken, süre bağımlı değişken olarak seçilebilir.

Bir otopark ücretinde ilk iki saat için sabit bir giriş ücreti ve sonraki her saat için aynı ek ücret olduğunu düşünelim. Geçen süre değişken, toplam ücret bağımlı değişken olabilir. Otoparkın giriş ücreti ve saat başına ek ücret ise verilen koşullar içinde sabit kabul edilir. Böylece hangi niceliğin girdiyi, hangisinin sonucu temsil ettiği açıkça görülür. Bir niceliğin gerçek hayatta değişebilmesi, onun mutlaka bu problemde değişken olarak seçileceği anlamına gelmez; seçim, sorulan ilişkiye göre yapılır.

Değişim miktarı ve değişim oranı

Değişim miktarı, bir niceliğin son değeri ile ilk değeri arasındaki farktır. Başlangıç değeri y1, son değer y2 ise değişim miktarı Δy = y2 - y1 biçiminde yazılır. Sonuç pozitifse artış, negatifse azalış vardır. Bu fark yalnızca toplam değişimi gösterir; değişimin hangi sürede veya ne kadar bağımsız değişken değişimine karşılık geldiğini tek başına söylemez.

Değişim oranı, bağımlı niceliğin değişim miktarının bağımsız niceliğin değişim miktarına oranıdır. İki nokta arasındaki ortalama değişim oranı Δy/Δx = (y2 - y1)/(x2 - x1) olarak hesaplanır. Birimi, bağımlı niceliğin birimi bölü bağımsız niceliğin birimidir. Bu nedenle oran, yalnızca sayısal bir sonuç değil, “bağımsız nicelik bir birim arttığında bağımlı nicelik ortalama olarak ne kadar değişiyor?” sorusunun cevabıdır. Pozitif oran artışı, negatif oran azalışı gösterir; sıfır oran ise iki nokta arasında toplam değişim olmadığını belirtir. Bir fonksiyon artan olduğunda ortalama değişim oranı pozitiftir, azalan olduğunda negatiftir. Sabit kalan bir aralıkta ise değişim oranı sıfırdır.

Örneğin bir bisikletlinin konumu 2. dakikada 300 metre, 5. dakikada 900 metre olsun. Konumdaki değişim miktarı 900 - 300 = 600 metredir. Zaman değişimi 5 - 2 = 3 dakika olduğundan ortalama değişim oranı 600/3 = 200 metre/dakikadır. Bu sonuç, bisikletlinin her dakikada tam 200 metre ilerlediğini zorunlu olarak göstermez; yalnızca belirtilen üç dakikalık aralık için ortalama hızı ifade eder. Oran yorumlanırken yön ve birim birlikte yazılmalıdır. Örneğin bir hesabın bakiyesi 4 ayda 800 lira azalıyorsa değişim oranı -800/4 = -200 lira/aydır; eksi işareti azalmanın yönünü belirtir.

Tablo, grafik ve fonksiyonla ilişki gösterimi

Aynı değişim ilişkisi tablo, grafik veya fonksiyonla gösterilebilir. Tablo, bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin eşleşmiş değerlerini düzenli biçimde sunar. Grafikte bağımsız değişken yatay eksene, bağımlı değişken dikey eksene yerleştirilir; her satırdaki eşleşme bir nokta olarak gösterilir. Fonksiyon gösteriminde ise her uygun x değerine karşılık gelen y değeri f(x) ile yazılır. Böylece tablo, grafik ve fonksiyon farklı bilgiler değil, aynı ilişkinin farklı anlatımlarıdır.

Örneğin bir taksi ücretinin başlangıçta 50 lira olduğu ve gidilen her kilometre için 12 lira arttığı kabul edilsin. 0, 1, 2 ve 3 kilometre için ücretler sırasıyla 50, 62, 74 ve 86 liradır. Bu değerler tabloya yazıldığında, grafikte (0, 50), (1, 62), (2, 74) ve (3, 86) noktaları elde edilir. Fonksiyonla ilişki f(x) = 12x + 50 biçiminde ifade edilir. Tablodaki ardışık ücret farklarının 12 olması, grafikteki noktaların aynı doğrultuda bulunması ve fonksiyondaki 12 katsayısı aynı sabit değişim oranını gösterir. Tablo bir değeri bulmayı, grafik değişimin yönünü ve eğimini görmeyi, fonksiyon ise herhangi bir uygun x değeri için hesap yapmayı kolaylaştırır.

Doğrusal değişim modeli ve başlangıç değeri

Bir nicelik, başka bir nicelikteki eşit artışlara her seferinde aynı miktarda karşılık veriyorsa doğrusal değişim modeli kullanılabilir. Bu model f(x) = ax + b biçimindedir. Burada x bağımsız değişkeni, f(x) bağımlı değişkeni, a sabit değişim oranını, b ise x = 0 olduğundaki başlangıç değerini gösterir. x bir birim arttığında f(x), a kadar değişir; dolayısıyla a’nın işareti ilişkinin artan mı azalan mı olduğunu belirtir.

Örneğin bir depodaki su miktarı başlangıçta 120 litre olsun ve depoya dakikada 8 litre su eklensin. t dakika sonraki miktar M(t) = 8t + 120 ile modellenir. Burada 8 litre/dakika değişim oranıdır; 120 litre ise t = 0 anındaki başlangıç değeridir. 5 dakika sonraki model değeri M(5) = 8 · 5 + 120 = 160 litredir. Başlangıç değeri, değişkenin sıfır olduğu anda bağımlı niceliğin değerini verir; bu nedenle yalnızca katsayıya bakarak başlangıç miktarı yorumlanamaz.

Doğrusal fonksiyonların ayrıntılı özellikleri ve cebirsel analizi ayrı bir konudur; burada yalnızca sabit değişim oranı ve başlangıç değerinin gerçek durumdaki anlamı kullanılır.

Modelin gerçek duruma uygulanması ve geçerlilik aralığı

Bir modelin matematiksel olarak hesap yapılabilmesi, her değer için gerçek durumu doğru temsil ettiği anlamına gelmez. Geçerlilik aralığı, modelin kurulduğu koşulların sürdüğü bağımsız değişken değerlerini belirtir. Bu aralık belirlenirken zamanın negatif olamayacağı, miktarların fiziksel sınırları ve problemde verilen çalışma koşulları dikkate alınır. Modelden elde edilen sonuç, bu koşulların dışına taşarsa sayı matematiksel olarak bulunsa bile gerçek bir anlam taşımayabilir.

Örneğin 120 litrelik bir depoya dakikada 8 litre su ekleniyor ve deponun kapasitesi 200 litre ise M(t) = 8t + 120 modeli yalnızca depo dolana kadar kullanılmalıdır. Depo 200 litreye 10 dakikada ulaşır; bu nedenle t için 0 ≤ t ≤ 10 aralığı anlamlıdır. Model t = 20 için 280 litre sonucunu verse de depo kapasitesi nedeniyle bu sonuç gerçek durumu temsil etmez. Benzer biçimde, bir ücret modelinde kilometre değişkeni yalnızca hizmetin sunulduğu mesafeler için; bir üretim modelinde ise üretim miktarı, kapasite ve çalışma süresi sınırları içinde değerlendirilmelidir.

Uygulama sırasında önce değişkenleri ve sabitleri belirlemek, sonra verilen koşullardan değişim oranı ile başlangıç değerini çıkarmak gerekir. Ardından tablo, grafik veya fonksiyonla bir sonuç hesaplanır ve son olarak sonucun geçerlilik aralığı içinde kalıp kalmadığı kontrol edilir. Değişim oranı sabit değilse doğrusal model, o durum için uygun bir yaklaşım olmayabilir.