Gerçek Sayılar: Rasyonel, İrrasyonel Sayılar ve Sayı Doğrusu

Gerçek sayıların tanımı ve kapsamı

Gerçek sayılar, sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelen bütün sayılardır. Bu küme genellikle R sembolüyle gösterilir. Pozitif sayılar, negatif sayılar ve 0 gerçek sayı kapsamındadır. Örneğin -7, 0, 3/5 ve √2 sayı doğrusunda bir konuma sahip olduğu için gerçek sayıdır.

Gerçek sayıların kapsamını belirleyen temel ayrım, sayıların rasyonel veya irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayılar iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilir; irrasyonel sayılar ise bu biçimde yazılamaz. Bu iki grup birlikte bütün gerçek sayıları oluşturur. Örneğin 4 sayısı rasyoneldir çünkü 4 = 4/1 biçiminde yazılabilir; √2 ise irrasyoneldir, fakat sayı doğrusunda bir noktaya karşılık geldiği için yine de gerçek sayıdır.

Bir ifadenin gerçek sayı olması için karmaşık sayılara başvurmadan sayı doğrusunda yerinin bulunabilmesi gerekir. Bu nedenle gerçek sayılar yalnızca tam sayılardan veya kesirlerden ibaret değildir; kesir biçiminde yazılamayan bazı sayılar da bu kümenin içindedir.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların gerçek sayılar içindeki yeri

Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı olmak üzere b ≠ 0 koşuluyla a/b biçiminde yazılabilen sayılardır. Tam sayılar, doğal sayılar ve sonlu ya da devirli ondalık gösterimler rasyonel sayılara örnektir. 3/4, -2, 0, 1,25 ve 0,333... rasyoneldir; çünkü bunların her biri iki tam sayının oranı olarak ifade edilebilir. Örneğin -2 = -2/1 ve 1,25 = 125/100 şeklinde yazılabilir.

İrrasyonel sayılar ise iki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçek sayılardır. Ondalık açılımları sonsuz sürer ve düzenli bir devir oluşturmaz. √2, π ve √3 bu gruba örnek verilebilir. Bu sayıların ondalık gösterimleri yaklaşık olarak yazılabilse de yaklaşık değer, sayının kendisiyle aynı değildir; örneğin √2 için 1,41 yazmak bir yaklaşık gösterimdir.

Rasyonel ve irrasyonel sayılar birbirinden farklı iki gruptur, ancak ikisi de gerçek sayı kümesinin içindedir. Bu nedenle bir sayı rasyonel değilse, gerçek sayı olabilmesi için irrasyonel olması gerekir. Örneğin 5/2 rasyonel, √5 irrasyonel ve her ikisi de gerçektir.

Ondalık gösterimlerde sonlu veya devirli bir tekrar varsa sayı rasyoneldir; sonsuz ve devirsiz bir ondalık gösterim ise irrasyoneldir. Ondalık gösterimlerin gerçek sayılarla ilişkisi, sayının bu iki türden hangisine ait olduğunu belirlemede kullanılır.

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisi

Temel sayı kümeleri iç içe geçmiş bir yapı oluşturur. Doğal sayılar, tam sayıların; tam sayılar, rasyonel sayıların; rasyonel sayılar da gerçek sayıların alt kümesidir. Bu ilişki sembolik olarak N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R biçiminde gösterilir. İrrasyonel sayılar ise R kümesinin içinde bulunur, fakat Q kümesinde bulunmaz.

Örneğin 6 doğal sayıdır; doğal sayı olduğu için aynı zamanda tam, rasyonel ve gerçek sayıdır. -3 doğal sayı değildir, ancak tam sayı, rasyonel sayı ve gerçek sayıdır. 2/7 rasyonel ve gerçek sayıdır; √7 ise irrasyonel ve gerçek sayıdır. Böylece bir sayının ait olduğu daha küçük küme bilindiğinde, onun ait olduğu daha geniş kümeler de belirlenebilir. Doğal sayıların hangi tanımla başladığına bağlı olarak 0’ın doğal sayılar kümesine dahil edilmesi değişebilse de 0 her durumda tam, rasyonel ve gerçek sayıdır.

Gerçek sayıların sayı doğrusu üzerindeki gösterimi

Sayı doğrusu, gerçek sayıları düz bir çizgi üzerindeki noktalarla eşleştiren bir modeldir. Bir başlangıç noktası seçilir ve bu nokta 0 ile gösterilir. Birim aralıklar eşit alınır; 0’ın sağındaki noktalar pozitif, solundaki noktalar negatif sayıları gösterir. Sayı büyüdükçe nokta sayı doğrusunda sağa doğru ilerler.

Tam sayılar doğrudan işaretlenebilir. Kesirler ise birim aralıkların uygun parçalara bölünmesiyle gösterilir. Örneğin 1 ile 2 arasındaki aralık dört eş parçaya ayrılırsa ikinci bölme noktası 3/2’yi gösterir. İrrasyonel sayılar da sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelir; yalnızca bu noktanın konumu genellikle yaklaşık olarak belirlenir. √2, 1 ile 2 arasında yer alır ve yaklaşık konumu 1,41 civarındadır.

Sayı doğrusundaki iki farklı nokta iki farklı gerçek sayıyı temsil eder. Ayrıca sağda bulunan sayı daha büyük kabul edilir: -1, 0’ın solunda olduğu için -1 < 0; 3/2 ise 1’in sağında olduğu için 3/2 > 1’dir. Bu model, hem sayıların sıralanmasını hem de aralarındaki uzaklığın anlaşılmasını sağlar.

Bir sayının gerçek sayı olup olmadığını belirleme

Bir sayının gerçek olup olmadığını belirlemek için önce ifadenin sayı doğrusunda bir değere karşılık gelip gelmediği incelenir. Doğal sayılar, tam sayılar ve iki tam sayının oranı biçimindeki sayılar doğrudan gerçektir. Kesir biçiminde yazılamayan fakat sayı doğrusunda konumu bulunan sayılar da irrasyonel gerçek sayılardır. Bu nedenle yalnızca kesir biçiminde yazılabilmek, gerçek sayı olmanın tek koşulu değildir.

Sınıflandırma yaparken şu yol izlenebilir: Sayı bir kesir olarak yazılabiliyorsa rasyoneldir ve gerçek sayıdır. Tam sayı veya doğal sayıysa yine rasyonel ve gerçek sayıdır. Kök, π veya benzeri bir ifade varsa değerin sayı doğrusunda tanımlı olup olmadığı kontrol edilir. Örneğin √9 = 3 olduğundan √9 gerçek sayıdır. √2 de gerçek sayıdır, ancak rasyonel değildir. Buna karşılık lise düzeyinde tanımlı olmayan bir ifadenin gerçek sayı olduğu söylenemez.

Örnekleri sınıflandıralım. -8 tam sayı olduğu için gerçektir. 7/10 rasyonel olduğu için gerçektir. √11 irrasyoneldir, fakat gerçek sayıdır. 0,272727... devirli olduğu için rasyoneldir ve gerçektir. Böylece bir sayının rasyonel olmaması, onun gerçek olmadığı anlamına gelmez; irrasyonel sayılar da gerçek sayıların bir bölümüdür.

Köklü ifadelerde kökün derecesi ve kök içindeki değer, ifadenin gerçek sayı olup olmadığını belirlemede önemlidir; bu koşullar köklü ifadeler konusunun ayrıntılı inceleme alanına girer. Karmaşık sayılar ise gerçek sayı kümesinden daha geniş bir sayı sistemiyle ilgilidir.

Gerçek sayılarda temel sıralama ve işlemlere ilişkin özellikler

Gerçek sayılar sayı doğrusunda sıralanabilir. İki gerçek sayıdan biri diğerinden küçük, biri diğerinden büyük olabilir veya ikisi birbirine eşit olabilir. Sayı doğrusunda sağda olan sayı daha büyüktür. Sıralama işlemlerinde eşitsizliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenirse yön değişmez; her iki taraf pozitif bir gerçek sayıyla çarpılırsa da yön değişmez. Negatif bir sayıyla çarpma veya bölme yapılırsa eşitsizlik yön değiştirir.

Gerçek sayılar toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; yani iki gerçek sayının sonucu yine gerçek sayıdır. Bölmede ise bölenin 0 olmaması gerekir. Örneğin √2 + 1, √2 - 3 ve 2√2 gerçek sayıdır. Buna karşılık 5/0 tanımlı olmadığı için gerçek sayı olarak kabul edilmez. Toplama ve çarpma işlemlerinde değişme ve birleşme özellikleri, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği geçerlidir. Bu özellikler işlemleri düzenlemeyi ve ifadeleri karşılaştırmayı kolaylaştırır.