Rasyonel Sayılar Nedir? Gösterimi, Karşılaştırılması ve İşlemleri

Rasyonel sayının tanımı ve gösterimi

Rasyonel sayı, iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayıdır. Genel gösterimi p/q şeklindedir; burada p ve q tam sayıdır ve q sıfır olamaz. p payı, q ise paydayı gösterir. Pay veya sayı negatif olabilir; bu nedenle pozitif ve negatif kesirlerin ikisi de rasyonel sayıdır.

Örneğin 3/5, -7/2 ve 4/1 rasyonel sayılardır. Tam sayılar da bu kümenin içindedir çünkü her tam sayı, paydaya 1 yazılarak kesir biçiminde gösterilebilir: 6 = 6/1 ve -3 = -3/1. Bu tanım, rasyonel sayıları yalnızca kesir çizgisiyle yazılan sayılarla sınırlamaz; bir tam sayı veya uygun bir ondalık gösterim de aynı sayının başka bir gösterimi olabilir.

Bir rasyonel sayının kesir biçiminden ondalık biçimine geçmek için pay, paydaya bölünür. Örneğin 3/4 işleminde 3, 4'e bölündüğünde 0,75 elde edilir. Tersine, sonlu bir ondalık gösterim basamak değerinden yararlanılarak kesre çevrilebilir: 0,8 = 8/10 = 4/5. Böylece farklı yazılışların aynı sayıyı gösterebildiği anlaşılır.

Paydanın sıfır olamaması ve eşdeğer kesirler

Rasyonel sayı gösteriminde payda sıfır olamaz; çünkü sıfıra bölme tanımlı değildir. Bu yüzden 5/0 bir rasyonel sayı gösterimi değildir. Buna karşılık payın sıfır olması mümkündür: 0/7 = 0'dır.

Aynı rasyonel sayı, pay ve paydayı sıfırdan farklı aynı tam sayıyla çarparak farklı kesirlerle gösterilebilir. Örneğin 2/3 kesrinin payını ve paydasını 4 ile çarparsak 8/12 elde ederiz; bu iki kesir eşdeğerdir ve sayı doğrusunda aynı noktayı gösterir. İşlemleri kolaylaştırmak için pay ve payda ortak bir böleni varsa aynı sayıya bölünerek kesir sadeleştirilir: 8/12 = 2/3. Sadeleştirme sayının değerini değiştirmez, yalnızca gösterimini daha yalın hâle getirir.

Kesir, ondalık ve yüzde gösterimleri arasındaki ilişki

Bir kesri ondalık gösterime çevirmek için pay paydaya bölünür. Bölme işlemi bitiyorsa sonlu ondalık gösterim oluşur; 1/4 = 0,25 gibi. Bölme işlemi belirli bir basamak grubunu sürekli tekrar ediyorsa devirli ondalık gösterim elde edilir; 1/3 = 0,333... örneğinde 3 rakamı tekrar eder. Bu nedenle rasyonel sayılar kesir biçiminin yanı sıra sonlu veya devirli ondalık biçimde de yazılabilir.

Ondalık gösterimi kesre çevirirken virgülden sonra kaç basamak bulunduğuna bakılır. 0,45 = 45/100 = 9/20 olur. Yüzde gösterimi de paydası 100 olan bir kesir biçimidir; örneğin 1/4 = 25/100 = %25. Böylece kesir, ondalık ve yüzde gösterimleri aynı miktarı farklı biçimlerde ifade edebilir. Devirli ondalık gösterimlerde ise tekrar eden basamaklar sona ermediği için ondalık yazım kesre dönüştürülürken ilgili cebirsel yöntem gerekir; burada temel ilişki, bu gösterimin de bir rasyonel sayıya ait olmasıdır.

Rasyonel sayıların sayı doğrusunda gösterimi ve karşılaştırılması

Sayı doğrusu üzerindeki her nokta bir sayıyı temsil eder. Sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir; sağa gidildikçe sayılar büyür, sola gidildikçe küçülür. Bir rasyonel sayıyı göstermek için önce tam sayılar arasındaki aralık belirlenir. Payda, bu aralığın kaç eş parçaya ayrılacağını; pay ise sıfıra veya ilgili tam sayıya göre kaç parçalık uzaklık alınacağını belirtir.

Örneğin 3/4 sayısı 0 ile 1 arasındadır. Bu aralık dört eş parçaya bölünür ve üçüncü işaretli noktaya karşılık gelir. -3/4 ise -1 ile 0 arasında, sıfırdan sola doğru üçüncü çeyrek noktadadır. Bu iki sayının mutlak uzaklıkları eşit olsa da -3/4, 3/4'ten küçüktür; çünkü sayı doğrusunda daha soldadır.

Kesirleri karşılaştırırken paydaları eşitlemek kullanışlıdır. 2/3 ile 3/5'i karşılaştırmak için eşdeğer kesirler yazalım: 2/3 = 10/15 ve 3/5 = 9/15. Aynı pozitif paydaya sahip bu kesirlerde payı büyük olan daha büyüktür; dolayısıyla 2/3 > 3/5. Negatif sayılarda ise sayı doğrusundaki konum unutulmamalıdır: -2/3, -1/3'ten küçüktür çünkü -2/3 daha soldadır.

Birden fazla rasyonel sayıyı sıralarken önce işaretlerine bakılır; negatif sayılar pozitiflerden küçüktür. Aynı işaretli kesirler için paydalar eşitlenebilir veya ondalık gösterimler karşılaştırılabilir. Örneğin -1/2, 1/4 ve 0,6 sayılarının sıralaması -1/2 < 1/4 < 0,6 şeklindedir. Sayı doğrusunda bu sıra soldan sağa doğru okunur.

Rasyonel sayılarda işaret ve dört işlem

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yaparken önce işaretler, sonra kesirlerin payda ilişkisi dikkate alınır. Paydalar aynıysa paylar toplanır veya çıkarılır; farklıysa eşdeğer kesirlerle ortak payda bulunur. Örneğin 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Çıkarma işlemi, çıkarılan sayının işaretini değiştirip toplama olarak da düşünülebilir: 2/5 - 3/5 = -1/5.

Aynı işaretli sayılar toplanırken sayıların büyüklükleri toplanır ve ortak işaret korunur. Farklı işaretli sayılarda büyük mutlak değerden küçük mutlak değer çıkarılır ve sonuç, mutlak değeri büyük olan sayının işaretini alır. Çarpma ve bölmede mutlak değerler ayrı işlem görür; iki sayının işareti aynıysa sonuç pozitif, farklıysa sonuç negatiftir. Örneğin (-2/3) × (3/4) = -6/12 = -1/2 ve (-5/6) ÷ (-10/9) = (-5/6) × (-9/10) = 3/4 olur. Bir sayıya bölmek, o sayının çarpmaya göre tersini almakla gerçekleştirilir; sıfıra bölme yapılamaz.

İşlem önceliğinde parantez içi işlemler önce yapılır; ardından çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma gelir. Aynı öncelikteki işlemler soldan sağa yürütülür. İşlem sırasında ortak çarpanlar varsa sadeleştirme yapılabilir: (2/9) × (3/4) işleminde 2 ile 4 veya 3 ile 9 çapraz sadeleştirilerek sonuç 1/6 bulunur. Rasyonel sayılarla denklem ve eşitsizlik çözümü ayrı bir konudur; rasyonel sayıların kullanıldığı günlük yaşam problemleri de ayrıca ele alınır.

Rasyonel sayıların diğer sayı kümeleriyle ilişkisi

Rasyonel sayılar, tam sayıları ve kesirleri kapsayan daha geniş bir kümedir. Her tam sayı paydaya 1 yazılarak rasyonel biçimde gösterilebilir: -8 = -8/1. Bu nedenle doğal sayılar ve tam sayılar rasyonel sayıların içindedir. Kesir biçiminde yazılabilen sonlu ve devirli ondalıklar da aynı kümeye aittir.

İrrasyonel sayılar ise iki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri ne sona erer ne de düzenli olarak tekrar eder. Örneğin π'nin ondalık gösterimi bitmez ve devirli değildir; bu nedenle rasyonel değildir. Böylece bir sayının rasyonel olup olmadığını ayırt etmede kesir biçiminde yazılabilme ve ondalık gösterimin sona ermesi ya da tekrar etmesi temel ölçütlerdir.