Sayı Problemleri: Sözel İfadeleri Denkleme Dönüştürme ve Çözme

Sözel sayı ilişkilerini matematiksel ifadeye dönüştürme

Sayı problemindeki her sözcük, sayılar arasında belirli bir işlem veya ilişki kurar. Bir sayıya eklenen miktar toplama, çıkarılan miktar çıkarma, bir sayının katı çarpma, sayıların toplamı ise sayıların toplanması anlamına gelir. Önce hangi sayının bilinmeyen olduğunu belirlemek, ardından cümledeki ilişkiyi bu bilinmeyenle yazmak gerekir.

Temel ifadeler şu şekilde modellenir: Bir sayının 5 fazlası x + 5, 3 eksiği x - 3, 4 katı 4x, yarısı x/2 ve iki sayının toplamı x + y biçiminde yazılır. “Bir sayı diğerinden 7 fazladır” ifadesinde büyük sayı x seçilirse küçük sayı x - 7, küçük sayı x seçilirse büyük sayı x + 7 olur. Bu nedenle yalnızca sayıları değil, cümledeki karşılaştırma yönünü de dikkate almak gerekir.

Örneğin iki sayının toplamı 38 ve büyük sayı küçük sayıdan 6 fazla olsun. Küçük sayıya x denirse büyük sayı x + 6 olur. Toplam koşulu x + (x + 6) = 38 biçiminde yazılır. Burada “6 fazla” ifadesi, küçük sayıya 6 eklenerek büyük sayının oluşturulması nedeniyle x + 6 şeklindedir. “Büyük sayı küçük sayının 3 katıdır” denirse model x ve 3x olur; toplam koşulu da x + 3x şeklinde kurulur.

“Bir sayının 8 eksiğinin 2 katı” gibi iç içe ifadelerde işlem sırası korunmalıdır. Sayı x ise önce x - 8 yazılır, sonra bu ifadenin 2 katı alınır: 2(x - 8). Buna karşılık “bir sayının 2 katının 8 eksiği” 2x - 8 olur. Parantez kullanımı, sözel ifadenin hangi kısmının katının alındığını gösterdiği için modelleme sırasında önemlidir.

Bilinmeyen seçimi ve sayı problemini modelleme

Bilinmeyen seçimi, problemde doğrudan verilmeyen ve diğer sayıları ifade etmeyi kolaylaştıran bir değeri sembolle göstermektir. Genellikle en az işlemle diğer sayılara ulaşmayı sağlayan sayı seçilir. Ardından problemdeki her koşul, aynı bilinmeyen ve onunla kurulan ifadeler kullanılarak matematiksel bir modele dönüştürülür.

Modelleme yaparken problemde geçen sayıların neyi temsil ettiğini açıkça belirlemek gerekir. Örneğin “Bir sayının 4 katının 3 fazlası 27’dir” ifadesinde sayı x seçilir ve denklem 4x + 3 = 27 olur. “Bir sayının 5 eksiği, sayının yarısına eşittir” ifadesinde ise x - 5 = x/2 yazılır. Birden fazla koşul varsa her koşul ayrı ayrı okunur; ancak tek bilinmeyenli bir problemde bu koşulların ortak sonucunu veren uygun bir denklem seçilir.

Örnek olarak bir sayının 3 katının 5 fazlası, aynı sayının 2 katının 12 fazlasına eşit olsun. Sayı x seçildiğinde sol taraf 3x + 5, sağ taraf 2x + 12 olur. Böylece 3x + 5 = 2x + 12 denklemi elde edilir. Burada amaç cümleyi kelime kelime işlem sırasına çevirmek değil, iki tarafın hangi ifadeleri temsil ettiğini belirlemektir.

Model kurmadan önce şu sorular sorulabilir: Bilinmeyen hangi sayıyı temsil ediyor? Diğer sayılar bu bilinmeyen cinsinden nasıl yazılır? Problemde verilen toplam, fark, kat veya eşitlik hangi ifadeler arasında kuruluyor? Birim veya sayı türü koşulu var mı? İki bilinmeyenli denklem sistemleriyle çözülen sayı problemleri ayrı bir yöntem gerektirir; burada tek bilinmeyenle kurulabilen modellere odaklanılır.

Ardışık tam, çift ve tek sayıların modellenmesi

Ardışık sayılar, belirli bir artış miktarıyla sıralanan sayılardır. Ardışık tam sayılar arasındaki fark 1 olduğu için ilk sayı x seçildiğinde sayılar x, x + 1, x + 2 biçiminde yazılır. İlk sayının nasıl adlandırıldığı önemli değildir; önemli olan tüm sayıların aynı başlangıç değerinden ve sabit artıştan oluşturulmasıdır.

Ardışık çift sayılar arasındaki fark 2, ardışık tek sayılar arasındaki fark da 2’dir. Bu nedenle üç ardışık çift sayı x, x + 2, x + 4 şeklinde modellenebilir. Üç ardışık tek sayı da x, x + 2, x + 4 şeklinde yazılabilir; fakat x’in çift veya tek olması, sayıların türünü belirler. Daha güvenli bir model kurmak için ardışık çift sayılar 2x, 2x + 2, 2x + 4; ardışık tek sayılar ise 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5 biçiminde de gösterilebilir.

Örneğin üç ardışık tam sayının toplamı 42 olsun. Sayılar x, x + 1 ve x + 2 seçilir. Toplam koşulu x + (x + 1) + (x + 2) = 42 olur. Benzer biçimde üç ardışık çift sayının toplamı 30 ise sayılar x, x + 2 ve x + 4 alınarak x + (x + 2) + (x + 4) = 30 denklemi kurulur. Bu modelde x’in çift olması gerektiği, çözümden sonra ayrıca kontrol edilir.

İki ardışık tek sayının toplamı 28 ise sayılar x ve x + 2 biçiminde yazılır; denklem x + (x + 2) = 28 olur. Eğer “ardışık üç çift sayı” denirken ilk sayı 2x ile gösterilirse denklem 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 30 şeklini alır ve x’in tam sayı olması beklenir. Bu yaklaşım, sayı türü koşulunu modelin içine doğrudan yerleştirir.

Ardışık sayı modelinde en sık hata, çift veya tek sayılar arasındaki farkı 1 almaktır. Çift sayılar arasında bir tek sayı bulunduğu için ardışık çiftlerin farkı 2’dir; aynı durum tek sayılar için de geçerlidir. Problemde “ardışık üç sayı” deniyorsa artış 1, “ardışık üç çift sayı” veya “ardışık üç tek sayı” deniyorsa artış 2 kullanılmalıdır.

Kesir, yüzde ve bölüm içeren sayı ilişkileri

Bir sayının belirli bir kesri, o sayının kesirle çarpılmasıyla ifade edilir. Sayı x ise sayının 3/5’i (3/5)x veya 3x/5 biçiminde yazılır. “Bir sayının dörtte biri ile 6’nın toplamı 14’tür” ifadesi x/4 + 6 = 14 denklemini verir. “Bir sayının 2/3’ü, sayının 5 eksiğine eşittir” ifadesi ise (2/3)x = x - 5 şeklindedir.

Yüzde, yüz üzerinden bir oranı gösterir. Bir sayının %20’si 20x/100, yani x/5 olarak yazılabilir. “Bir sayının %30 fazlası” x + 0,30x veya 1,30x; “%30 eksiği” ise x - 0,30x veya 0,70x biçimindedir. “Sayının %20’si 12’dir” denklemi 0,20x = 12 olur.

Bölüm içeren ifadelerde bölümün hangi sayıya ait olduğu dikkatle belirlenmelidir. “Bir sayının 4’e bölümü” x/4, “bir sayının 4 fazlasının 2’ye bölümü” (x + 4)/2 şeklindedir. Parantez, bölme işleminin yalnızca x’e mi yoksa x + 4 ifadesinin tamamına mı uygulandığını gösterir.

Kurulan denklemi çözme ve sonuca ulaşma

Model doğru kurulduktan sonra amaç, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Bunun için eşitliğin iki tarafına aynı işlem uygulanır. Önce parantezler açılır ve benzer terimler birleştirilir; ardından bilinmeyenli terimler bir tarafa, sabit terimler diğer tarafa taşınır. Bir terim eşitliğin karşı tarafına geçirilirken işareti değişir.

Örneğin 3x + 5 = 2x + 12 denklemini çözelim. Her iki taraftan 2x çıkarılırsa x + 5 = 12 elde edilir. Her iki taraftan 5 çıkarıldığında x = 7 bulunur. Buradaki işlem sırası, bilinmeyenli terimleri birleştirip sabitleri ayırmaya dayanır; eşitliği korumak için yapılan işlem mutlaka iki tarafa da uygulanır.

Kesirli bir denklemde paydalardan kurtulmak işlemleri kolaylaştırabilir. x/3 + 4 = 10 denkleminde her iki taraf 3 ile çarpılırsa x + 12 = 30 olur ve x = 18 bulunur. Daha genel olarak birden fazla payda varsa, denklemin her iki tarafı paydaların ortak katıyla çarpılabilir. Bu işlemde parantezleri doğru dağıtmak gerekir.

Ardışık üç çift sayının toplamı 30 örneğinde x + (x + 2) + (x + 4) = 30 yazılır. Benzer terimler birleştirilince 3x + 6 = 30, buradan 3x = 24 ve x = 8 bulunur. Sayılar 8, 10 ve 12’dir. Böylece denklem yalnızca x’i vermekle kalmaz; problemde istenen diğer sayılar da x’in modeldeki karşılıkları kullanılarak elde edilir.

Sonuca ulaşırken bulunan değerin problemde hangi niceliği temsil ettiği unutulmamalıdır. x küçük sayı olarak seçilmişse x’in değeri doğrudan büyük sayı değildir; büyük sayı x + 6 gibi ayrıca hesaplanmalıdır. Problem “sayıların toplamını” soruyorsa yalnızca bilinmeyeni değil, modeldeki sayıların tamamını kullanmak gerekir.

Sonucu problem koşullarına göre doğrulama

Denklemi çözerek bulunan değer, çözümün son noktası değil, kontrol edilmesi gereken aday sonuçtur. Önce sayının problemde istenen türde olup olmadığına bakılır: doğal sayı, tam sayı, çift sayı veya tek sayı koşulu varsa sonuç buna uymalıdır. Ardından bulunan sayılar, toplam, fark, kat, kesir ve yüzde ilişkilerinde yerine konur.

Örneğin ardışık üç çift sayının toplamı 30 probleminde x = 8 bulunmuştu. Modeldeki sayılar 8, 10 ve 12’dir. Bunların her biri çifttir, aralarındaki farklar 2’dir ve toplamları 30’dur. Bu üç kontrol birlikte sağlandığı için sonuç problem koşullarıyla uyumludur. Eğer x = 9 bulunsaydı toplam koşulu sağlansa bile sayıların çift olma şartı sağlanmayacaktı.

Kontrol sırasında sözel ilişkinin yönü de yeniden incelenmelidir. “Büyük sayı küçük sayıdan 6 fazladır” denmişse bulunan sayılarda büyük sayı gerçekten küçük sayı + 6 olmalıdır. Kesir ve yüzde sorularında da hesaplanan bölüm veya yüzde, problemde belirtilen sayıya uygulanmalıdır. Sonuç kesirli çıkıyorsa bu her zaman hata anlamına gelmez; ancak problem doğal veya tam sayı istiyorsa model ve işlem adımları yeniden değerlendirilmelidir.

Sayı türlerinin problem çözümüne etkisi

Problemde doğal sayı, tam sayı, çift sayı veya tek sayı denmesi çözüm kümesini sınırlar. Bu nedenle denklemi sağlayan her değer otomatik olarak kabul edilmez; bulunan sonucun belirtilen sayı türüne uyup uymadığı kontrol edilir. Sayı problemlerinde ileri düzey bölünebilme ve sayı teorisi yöntemleri ayrı bir inceleme alanıdır.