Karışım Problemleri: Yüzde, Saf Madde ve Denklem Kurma

Yüzde ile saf madde arasındaki ilişki

Bir karışımın yüzdesi, toplam karışımın ne kadarının istenen saf maddeden oluştuğunu gösterir. Örneğin %20 derişimli bir karışımın her 100 biriminde 20 birim saf madde, kalan 80 biriminde ise başka madde bulunur. Bu nedenle yüzdeyi saf madde miktarına çevirmek için toplam miktar yüzdeyle çarpılır.

Saf madde miktarı = toplam karışım miktarı × yüzde

Yüzdeyi hesaplamak içinse saf madde miktarı toplam karışım miktarına bölünür ve 100 ile çarpılır. Yüzdeyi ondalık biçimde kullanmak gerekir: %20 = 0,20, %35 = 0,35 gibi. Böylece 35 ons %20 derişimli temizleyicide saf temizleyici miktarı 35 × 0,20 = 7 ons olur. Geriye kalan 28 ons, karışımın diğer bölümüdür.

Bu ilişki, problemde verilen karışım miktarını doğrudan saf madde miktarına dönüştürür. Örneğin 10 litre %30’luk bir çözeltide 10 × 0,30 = 3 litre saf madde vardır. Karışımın geri kalan 7 litresi saf madde değildir. Yeni bir işlem yapıldığında önce toplam miktarın, sonra saf madde miktarının nasıl değiştiği incelenir; yüzde bu iki miktarın yeni oranından bulunur.

Karışıma su veya saf madde eklenmesi

Karışıma su eklendiğinde toplam karışım miktarı artar, fakat saf madde miktarı değişmez. Bu yüzden yüzde azalır. Örneğin 10 litre %20’lik karışımda 2 litre saf madde vardır. Buna 2 litre su eklenirse toplam 12 litre olur ve saf madde yine 2 litre kalır. Yeni oran 2 ÷ 12 = 1/6 olduğundan yeni karışım yaklaşık %16,7’dir.

Saf madde eklendiğinde ise hem toplam miktar hem de saf madde miktarı artar. Aynı 10 litre %20’lik karışıma 2 litre saf madde eklenirse saf madde miktarı 2 + 2 = 4 litre, toplam miktar 10 + 2 = 12 litre olur. Yeni yüzde 4 ÷ 12 × 100 = %33,3’tür. Bu iki durumun farkı, eklenen maddenin saf madde miktarına katkı yapıp yapmamasıdır. Soruda “su ekleniyor” deniyorsa saf madde miktarı sabit tutulur; “%100 saf madde ekleniyor” deniyorsa eklenen miktar saf maddeye dahil edilir.

Farklı yüzdelerdeki karışımların birleştirilmesi

Farklı yüzdelerdeki iki karışım birleştirildiğinde yüzdeler doğrudan toplanmaz veya ortalaması alınmaz. Her karışımın önce kendi saf madde miktarı bulunur. Daha sonra saf madde miktarları ve toplam karışım miktarları ayrı ayrı toplanır. Yeni yüzde, toplam saf madde miktarının toplam karışım miktarına oranıdır.

Örneğin 4 litre %10’luk karışım ile 6 litre %30’luk karışım birleştirilsin. İlk karışım 4 × 0,10 = 0,4 litre, ikinci karışım 6 × 0,30 = 1,8 litre saf madde içerir. Birleşimde saf madde miktarı 2,2 litre, toplam miktar 10 litre olur. Yeni yüzde 2,2 ÷ 10 × 100 = %22’dir. Sonucun %10 ile %30 arasında olması da işlemin mantıklı olduğunu gösterir. Miktarları eşit olmayan karışımlarda yüksek yüzdeli karışımın etkisi daha fazla olacağı için basit yüzde ortalaması kullanılamaz.

Bilinmeyen miktar için denklem kurma

Karışım probleminde bilinmeyen miktar, toplam miktar ve saf madde miktarı arasındaki ilişkiden yararlanılarak denklemle ifade edilir. Önce bilinmeyen için bir harf seçilir. Ardından toplam miktar denklemi ve saf madde denklemi yazılır. Bir karışımın saf madde miktarı, miktarı ile yüzde değerinin ondalık gösteriminin çarpımıdır.

Örneğin 70 litre %50’lik çözelti hazırlamak için %30’luk ve %80’lik çözeltiler kullanılacak olsun. %30’luk çözeltinin miktarı x litre seçilirse %80’lik çözeltinin miktarı 70 - x litre olur. Çünkü iki çözeltinin toplamı 70 litredir. Saf madde miktarlarını eşitleyen denklem şöyledir:

0,30x + 0,80(70 - x) = 0,50 × 70

Denklem çözüldüğünde 0,30x + 56 - 0,80x = 35, buradan 21 = 0,50x ve x = 42 bulunur. Demek ki %30’luk çözeltiden 42 litre, %80’lik çözeltiden 70 - 42 = 28 litre kullanılmalıdır. Kontrol edildiğinde toplam 42 + 28 = 70 litredir; saf madde miktarı da 42 × 0,30 + 28 × 0,80 = 12,6 + 22,4 = 35 litredir. Bu miktar, 70 litrenin %50’sine eşittir.

Bilinmeyen iki ayrı karışım miktarı olarak seçilirse iki denklem kurulabilir: biri toplam miktar, diğeri saf madde miktarı içindir. Örneğin x ve y miktarları için x + y = toplam miktar; a x + b y = hedef miktar × hedef yüzde biçiminde yazılır. Burada a ve b, karışımların ondalık yüzde değerleridir.

Sonucu birim ve mantık açısından kontrol etme

Denklem çözüldükten sonra yalnızca sayısal sonuca bakmak yeterli değildir. Önce bulunan miktarların birimi kontrol edilir. Litre verilen bir problemde sonuç litre, kilogram verilen bir problemde sonuç kilogram olmalıdır. Ayrıca miktarlar negatif olamaz ve iki miktarın toplamı soruda verilen toplamla uyuşmalıdır.

Yüzde kontrolünde de hedef değer, kullanılan karışımların yüzdeleri arasında olmalıdır. Örneğin %30 ve %80’lik çözeltilerle %50’lik çözelti hazırlanabilir; %90’dan büyük veya %20’den küçük bir sonuç bu verilerle mantıklı olmaz. Son olarak bulunan miktarlar denklemlerde yerine yazılır. Toplam miktar ve saf madde miktarı eşitliği sağlanıyorsa kurulum büyük ölçüde doğrulanır. Su eklenen sorularda saf madde miktarının değişmemesi, saf madde eklenen sorularda ise bu miktarın artması da ayrıca kontrol edilmelidir.