Hareket Problemleri Nasıl Çözülür? Hız, Yol ve Zaman İlişkisi

Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişki

Hız (yön dikkate alınmadığında sürat), alınan yolun bu yolu almak için geçen zamana oranıdır. Bir cisim aynı hızla hareket ediyorsa aldığı yol zaman arttıkça artar; aynı yolu daha yüksek hızla alıyorsa gereken zaman azalır. Bu üç büyüklük arasındaki temel ilişkiler şöyledir: yol = hız × zaman, hız = yol / zaman ve zaman = yol / hız.

Bir soruda önce hangi büyüklüğün arandığını belirlemek gerekir. Örneğin bir araç 60 km/sa hızla 3 saat hareket ederse aldığı yol 60 × 3 = 180 km olur. Burada hız ve zaman verildiği için yol bulunur. Araç 240 km yolu 4 saatte alıyorsa hızı 240 / 4 = 60 km/sa olur. 150 km yolu 50 km/sa hızla alan bir aracın süresi ise 150 / 50 = 3 saattir.

İlişkinin neden çalıştığını birimlerden de görebiliriz: km/sa ile saat çarpıldığında saat birimleri sadeleşir ve km kalır. Bu nedenle hız ile zaman çarpıldığında yol bulunur. Bir hareketin farklı bölümlerinde hız değişiyorsa her bölümün yolu ayrı hesaplanır ve toplam yol, parçaların yollarının toplamı olarak bulunur. Örneğin bir araç 2 saat 70 km/sa, ardından 1 saat 50 km/sa hızla giderse toplam yolu 2 × 70 + 1 × 50 = 190 km olur. Tek bir ortalama hız verilmediği sürece farklı hızları doğrudan toplamak doğru değildir.

Verilenleri tablo veya değişkenlerle düzenleme

Denklem kurmadan önce sorudaki kişi ya da araçları, hareket yönlerini, hızlarını, sürelerini ve aralarındaki mesafeyi ayırmak gerekir. Her hareketli için bir satır açıp hız, zaman ve yol bilgilerini yazmak; bilinmeyenleri x, t veya başka bir değişkenle göstermek karışıklığı azaltır. Örneğin iki araç için tablo başlıkları hareketli, yön, hız, zaman ve yol şeklinde kurulabilir.

Bir araç 60 km/sa hızla t saat gidiyorsa yolu 60t olur. Başka bir araç 80 km/sa hızla aynı sürede hareket ediyorsa onun yolu 80t olarak yazılır. Soruda toplam yol verilmişse bu ifadeler toplanır; aradaki fark verilmişse uygun durumda yollar çıkarılır. Değişkenin neyi temsil ettiği mutlaka açıkça belirtilmelidir. Böylece kurulan denklem, sorudaki fiziksel durumu doğrudan yansıtır.

Birimleri eşitleme ve sonuç birimini yorumlama

İşleme başlamadan önce hız, yol ve zaman birimleri uyumlu hâle getirilmelidir. Hız km/sa cinsindeyse zaman saat, yol kilometre cinsinde olmalıdır. Hız m/sn cinsindeyse zaman saniye, yol metre cinsinden seçilmelidir. Gerekirse 1 km = 1000 m ve 1 saat = 3600 saniye dönüşümleri kullanılır; bu nedenle 1 m/sn = 3,6 km/sa olur.

Örneğin 72 km/sa hızla giden bir aracın 25 saniyede aldığı yolu bulmak için hızı m/sn cinsine çevirmek gerekir: 72 / 3,6 = 20 m/sn. Ardından yol = hız × zaman bağıntısıyla 20 × 25 = 500 metre bulunur. Sonucun birimi, kullanılan hız ve zaman birimlerinin çarpımından anlaşılır. İşlem sonunda bulunan sayının sorudaki istenen büyüklüğe ve birime uyup uymadığı kontrol edilmelidir; örneğin bir aracın birkaç saniyede aldığı yolun kilometre cinsinden çok büyük çıkması birim hatasına işaret edebilir.

Karşılaşma problemlerinde bağıl hız

Karşılaşma problemlerinde iki hareketli birbirine doğru ilerliyorsa aralarındaki mesafe, iki hareketlinin aldığı yolların toplamı kadar azalır. Bu yüzden hızlar zıt yönlü olduğunda bağıl hız, hızların toplamıdır. Başlangıç uzaklığı D, hızlar v1 ve v2 ise karşılaşma süresi t = D / (v1 + v2) bağıntısıyla bulunur. Bunun nedeni, t süresinde birinci hareketlinin v1t, ikinci hareketlinin v2t yol alması ve bu iki yolun başlangıç uzaklığını tamamlamasıdır: v1t + v2t = D.

Örneğin aralarında 300 km bulunan iki araç birbirine doğru 70 km/sa ve 80 km/sa hızlarla hareket etsin. Bir saatte aralarındaki uzaklık 70 + 80 = 150 km azalır. Karşılaşma süresi 300 / 150 = 2 saat olur. Bu sürede araçlar sırasıyla 140 km ve 160 km yol alır; toplamları başlangıçtaki 300 km’ye eşittir. Yön bilgisi burada belirleyicidir: hareketliler birbirine doğru değil de aynı yönde ilerliyorsa hızlar toplanmaz, hız farkı kullanılır. Birden fazla hareketlinin ayrıntılı bağıl hareket analizi ayrı bir konudur.

Yetişme problemlerinde bağıl hız

Yetişme problemlerinde iki hareketli aynı yönde gider ve arkadaki hareketli öndekinden daha hızlıdır. Aralarındaki başlangıç mesafesi, hızlı olanın yavaş olana göre ne kadar hızlı yaklaştığına bağlı olarak kapanır. Bu kapanma hızı, hızların farkıdır: bağıl hız = hızlı hareketlinin hızı − yavaş hareketlinin hızı. Başlangıç aralığı D ise yetişme süresi t = D / (v hızlı − v yavaş) olur.

Örneğin bir bisikletli 20 km/sa hızla giderken 30 km geriden 35 km/sa hızla başka bir bisikletli yola çıksın. Arkadaki bisikletlinin öndekine yaklaşma hızı 35 − 20 = 15 km/sa olur. Aradaki 30 km’lik fark 30 / 15 = 2 saatte kapanır. İki saat sonunda öndeki bisikletli 40 km, arkadaki bisikletli ise 70 km yol alır; aralarındaki fark sıfırlanır. Öndeki hareketlinin hızı arkadakinden büyük ya da eşitse, verilen koşullarda yetişme gerçekleşmez. Hız-zaman grafikleriyle hareket problemlerinin incelenmesi ayrı bir başlıkta ele alınır.

Gidiş-dönüş problemlerinde yol ve zaman ilişkisi

Gidiş-dönüş problemlerinde gidilen ve dönülen mesafeler eşit olabilir; ancak hızlar farklıysa bu iki bölümün süreleri eşit olmak zorunda değildir. Her bölüm için zaman = yol / hız bağıntısı ayrı ayrı uygulanır. Toplam süre, gidiş süresi ile dönüş süresinin toplamıdır. Toplam yol da gidiş ve dönüş yollarının toplamıdır.

Örneğin bir kişi 120 km’lik yolu giderken 60 km/sa, dönerken 40 km/sa hızla hareket ederse gidiş süresi 120 / 60 = 2 saat, dönüş süresi 120 / 40 = 3 saat olur. Toplam yol 240 km, toplam zaman 5 saattir. Bu hareketin ortalama hızı toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle 240 / 5 = 48 km/sa bulunur. Hızların aritmetik ortalaması olan 50 km/sa burada doğru ortalama hız değildir; çünkü araç iki hızda eşit süre değil, eşit yol almıştır. Yol, hız ve zaman değerlerini bölümlere ayırmak gidiş-dönüş sorularındaki temel adımdır.

Tünel ve araç problemlerinde toplam alınan yol

Tünel veya başka bir engelden tamamen geçme sorularında aracın aldığı yol yalnızca tünel uzunluğu değildir; aracın kendi uzunluğu da hesaba katılır. Araç bir noktadan tamamen çıktığında toplam yol, uygun durumda tünel uzunluğu ile araç uzunluğunun toplamıdır ve süre yol / hız bağıntısıyla bulunur.

Özel durumlarda kısa notlar

Akıntılı veya rüzgârlı hareket problemlerinde hareket yönüne göre akıntı ya da rüzgâr hızı, aracın veya taşıtın hızına eklenir ya da çıkarılır. Hareket problemlerinde sık yapılan kurulum hataları ise birimleri karıştırmak, aynı yönde hızları toplamak ve toplam yolu toplam zaman yerine yanlış büyüklüğe bölmek gibi yanlışlıklardır.