Bağıl Hareket ve Bağıl Hız Nasıl Hesaplanır?

Gözlemci ve referans sistemine göre hareket

Hareketi tanımlayabilmek için önce bir gözlemci ve referans sistemi seçilir. Referans sistemi, konumları ve hareketi ölçmek için başlangıç noktası, yönler ve zaman ölçümü belirlenmiş çerçevedir. Bir cismin konumu, hızı ve hatta duruyor ya da hareket ediyor oluşu bu seçime göre ifade edilir. Bu nedenle hareket mutlak tek bir görünüşe sahip değildir; hangi gözlemcinin ölçüm yaptığı belirtilmelidir.

Örneğin hareket hâlindeki bir otobüste oturan yolcu, yanındaki çantayı kendisine göre duruyor görür. Yol kenarında duran gözlemci ise hem otobüsün hem de çantanın yol boyunca hareket ettiğini görür. Çantanın otobüse göre hızı sıfıra yakınken, yere göre hızı otobüsün hızına eşittir. İki gözlemci aynı olayı gözlemlemekte, fakat farklı referans sistemleri kullandıkları için farklı hareket tanımları yapmaktadır.

Benzer biçimde, sabit hızla hareket eden gemide direğin tepesinden bırakılan bir cisim gemideki gözlemciye göre direğin altına doğru düşer. Kıyıdaki gözlemci ise cismi geminin yatay hareketini de taşıdığı için eğri bir yol izliyormuş gibi görür. Hava direnci ihmal edildiğinde iki gözlemci farklı yollar gözlemlese de cisim aynı anda direğin tabanına ulaşır. Lise düzeyindeki bağıl hareket sorularında genellikle sabit hızlı, doğrusal ve tek boyutlu referans sistemleri kullanılır; bu durumda hızlar yönleriyle birlikte toplanıp çıkarılabilir.

Bağıl konum ve bağıl hız kavramları

Bir A cisminin B cismine göre konumuna bağıl konum denir. Bu konum, A’nın seçilen ortak referans sistemindeki konumundan B’nin konumunun çıkarılmasıyla bulunur. Bağıl konumun değişip değişmediği, iki cismin birbirine göre hareket edip etmediğini gösterir. A ve B arasındaki uzaklık sabit kalıyorsa, cisimler ortak referans sistemine göre hareket etseler bile birbirlerine göre duruyor olabilir.

Bağıl hız, bir cismin başka bir cisme göre hızıdır. A cisminin B’ye göre hızı, A’nın hızından B’nin hızının çıkarılmasıyla hesaplanır. Bunun nedeni, B’nin hareketini ölçümden çıkardığımızda A’nın B’ye göre geriye kalan hareketini bulmamızdır. Düz bir doğrultuda seçilen pozitif yönde hızlar işaretli yazıldığında bağıntı doğrudan uygulanır:

Bağıl konum: x_A/B = x_A - x_B Bağıl hız: v_A/B = v_A - v_B

Örneğin bir otomobil doğuya doğru 20 m/s, aynı yönde ilerleyen başka bir otomobil 12 m/s hızla gidiyorsa öndeki ya da arkadaki otomobile göre hız farkının büyüklüğü 8 m/s olur. Daha hızlı olan araç, diğer araca göre her saniye 8 m daha fazla ilerler. Buna karşılık iki araç birbirine doğru hareket ediyorsa işaretli hızların farkı, büyüklük olarak hızların toplamına dönüşür. Bağıl hızın işareti yalnızca sayısal sonucu değil, seçilen eksende göreli hareketin yönünü de belirtir.

İki boyutlu durumlarda hızlar artık yalnızca sayılarla değil, yönleri olan vektörlerle ele alınır; bir cismin gözlemciye göre hızı vektörel çıkarma ile bulunur. Ayrıntılı iki boyutlu bağıl hareket problemleri ayrı bir inceleme konusudur.

Tek boyutta bağıl hız hesabı

Tek boyutlu bağıl hız sorularında bütün hareketler aynı doğru üzerindedir. Önce doğru üzerinde bir pozitif yön seçilir; sonra her cismin hızı bu yöne göre artı veya eksi işaretle yazılır. A cisminin B’ye göre hızı v_A/B = v_A - v_B bağıntısıyla bulunur. Sonucun mutlak değeri iki cismin birbirine göre süratini, işareti ise A’nın B’ye göre seçilen pozitif yöndeki hareketini gösterir.

Örneğin doğuyu pozitif seçelim. A aracı doğuya doğru 18 m/s, B aracı da doğuya doğru 10 m/s hızla hareket etsin. Bu durumda v_A = +18 m/s ve v_B = +10 m/s olur. A’nın B’ye göre hızı v_A/B = (+18) - (+10) = +8 m/s’tir. A, B’ye göre doğuya doğru 8 m/s hızla ilerler. B’nin A’ya göre hızı ise v_B/A = (+10) - (+18) = -8 m/s olur; bu, B’nin A’ya göre batıya doğru hareket ettiğini ifade eder.

Şimdi A doğuya doğru 18 m/s, B batıya doğru 10 m/s hızla ilerlesin. Aynı eksende v_A = +18 m/s, v_B = -10 m/s yazılır. Buna göre v_A/B = (+18) - (-10) = +28 m/s olur. Eksi bir hızın çıkarılması, sayı bakımından toplama anlamına geldiği için zıt yönde hareket eden cisimlerin bağıl sürati 28 m/s çıkar. İşlemde “hızları her zaman topla” ya da “her zaman çıkar” gibi ezberler yerine, yönleri işaretlerle yazmak daha güvenlidir.

Bağıl hız, iki farklı gözlemcinin hız ölçümlerinin birbirinden nasıl ayrıldığını da açıklar. Bir uçağın havaya göre hızı ile yere göre hızı aynı olmak zorunda değildir; aradaki fark, hava kütlesinin yere göre hareketinden kaynaklanır. Tek boyutlu sorularda bu vektör toplamı, seçilen eksen üzerinde işaretli sayıların cebirsel toplamı şeklinde uygulanır.

Aynı ve zıt yönde hareket: yaklaşma ve uzaklaşma

İki cismin birbirine yaklaşıp yaklaşmadığını belirlemek için aralarındaki mesafenin zamanla nasıl değiştiğine bakılır. Aynı yönde hareket eden cisimlerde hızlı olan arkadaki cisim öndekine yetişiyorsa yaklaşma hızı hızların farkıdır. Öndeki cisim daha hızlıysa aralarındaki mesafe büyür ve uzaklaşma hızı yine hızların farkının mutlak değeridir. Zıt yönde birbirine doğru hareket eden cisimlerde ise her iki cismin hareketi aradaki mesafeyi azalttığından yaklaşma hızı hız büyüklüklerinin toplamıdır.

Örneğin aynı yönde 25 m/s ve 15 m/s hızlarla giden iki araç için yaklaşma ya da uzaklaşma sürati 10 m/s olabilir; hangi durumun gerçekleştiği araçların konumuna ve hızlı olanın önde mi arkada mı olduğuna bağlıdır. Karşılıklı gelen 25 m/s ve 15 m/s hızındaki iki araçta ise aradaki mesafe her saniye 40 m azalır. Bu ayrım, araç, tren ve koşucu sorularında hangi bağıntının kullanılacağını belirler.

Bağıl hareket sorularında yön ve işaret seçimi

İşaret hatalarını önlemek için çözümün başında tek bir eksen ve pozitif yön belirlenmelidir. Örneğin sağ veya doğu yönü pozitif seçilirse sağa ya da doğuya giden hızlar artı, ters yöndekiler eksi yazılır. Konumlar da aynı eksene göre işaretlenir. Ardından bağıl hız bağıntısında hızlar yönleriyle birlikte yerine konur: v_A/B = v_A - v_B. Sonucun artı çıkması A’nın B’ye göre pozitif yönde, eksi çıkması ise negatif yönde hareket ettiğini gösterir.

Zıt yönlü hareketlerde en sık yapılan hata, iki hızı doğrudan pozitif yazıp hangi cismin hangi yöne gittiğini göz ardı etmektir. Doğu pozitifken doğuya giden araç +12 m/s, batıya giden araç -8 m/s olmalıdır. Böylece birinin diğerine göre hızı (+12) - (-8) biçiminde yazılır. Aynı yönde hareketlerde ise iki hızın işareti aynı olur; örneğin (+20) - (+14) farkı 6 m/s verir. Sonucun büyüklüğü isteniyorsa mutlak değer alınır, yön isteniyorsa işaret korunur.

Soruda “yaklaşma hızı”, “uzaklaşma hızı” veya “birine göre hız” ifadelerinin hangisinin sorulduğu da kontrol edilmelidir. Yaklaşma ve uzaklaşma için genellikle mesafenin değişim hızının büyüklüğü kullanılır; bu değer negatif yazılmaz. Bir cismin diğerine göre yönü soruluyorsa işaretli bağıl hız kullanılır.

Bağıl hızla karşılaşma ve geçiş süresi

İki cismin karşılaşma süresi, başlangıçtaki aralarındaki mesafenin birbirlerine göre yaklaşma hızına bölünmesiyle bulunur. Bağıl hız burada mesafenin her saniye ne kadar azaldığını gösterir. Karşılaşma için temel bağıntı şudur:

t = başlangıç mesafesi / yaklaşma sürati

Birbirine doğru hareket eden iki araç arasındaki başlangıç mesafesi 600 m, hızları 20 m/s ve 10 m/s olsun. Zıt yönde birbirlerine yaklaştıkları için yaklaşma sürati 20 + 10 = 30 m/s olur. Karşılaşma süresi t = 600 / 30 = 20 s bulunur. Bu sürede birinci araç 400 m, ikinci araç 200 m yol alır; bu yolların toplamı başlangıç mesafesine eşittir.

Aynı yönde ilerleyen iki araçtan arkadaki daha hızlıysa, öndeki araca yetişme süresi başlangıç mesafesinin hız farkına bölünür. Arkadaki araç 24 m/s, öndeki araç 16 m/s hızla gidiyor ve aralarındaki uzaklık 160 m ise yaklaşma sürati 24 - 16 = 8 m/s olur. Yetişme süresi 160 / 8 = 20 s’dir. Öndeki araç daha hızlıysa araçlar birbirinden uzaklaşır; bu durumda verilen başlangıç aralığıyla bir karşılaşma süresi hesaplanamaz.

Tren ya da uzun araç sorularında “geçiş” için yalnızca araçların başlangıçtaki uzaklığı değil, aşılması gereken toplam uzunluk da dikkate alınır. Bir aracın diğerini tamamen geçmesi isteniyorsa gerekli mesafe, uygun probleme göre araç uzunluklarının toplamını da içerebilir. Bu mesafe, aynı yönde hız farkına veya zıt yönde hızların toplamına bölünür. Hareketli referans sistemlerinde ayrıntılı dönüşümler bu temel tek boyutlu hesabın kapsamı dışındadır.