Yaş Problemleri Nasıl Çözülür? Denklem Kurma ve Doğrulama

Yaş problemlerini matematiksel modele dönüştürme

Matematiksel model, problemdeki kişileri ve yaşları değişkenlerle temsil eden denklem veya denklem grubudur. Bir kişinin yaşı bilinmiyorsa bu yaş genellikle x ile gösterilir. Diğer kişilerin yaşları ise problemdeki “büyük”, “küçük”, “toplam”, “kat”, “fazla” ve “eksik” ifadelerine göre x cinsinden yazılır. Böylece sözel bilgi, üzerinde işlem yapılabilen bir eşitliğe dönüşür.

Model kurarken önce aynı zaman dilimindeki yaşları yazmak gerekir. Örneğin Ayşe, Berk’ten 4 yaş büyük ve ikisinin bugünkü yaşları toplamı 30 olsun. Berk’in yaşı x seçilirse Ayşe’nin yaşı x + 4 olur. Toplam bilgisi x + (x + 4) = 30 denklemiyle gösterilir. Buradan 2x + 4 = 30, 2x = 26 ve x = 13 bulunur. Berk 13, Ayşe 17 yaşındadır. Sonuçta hem yaş farkı 4’tür hem de toplam 30’dur.

Değişken seçimi çözümü kolaylaştırmalıdır. Yaşı küçük olan kişiyi x seçmek, büyük yaşı x + fark biçiminde yazmayı sağlar. Birden fazla bilgi varsa her bilgi ayrı bir denklem olarak yazılır; bütün denklemler aynı kişilerin aynı zamandaki yaşlarını temsil etmelidir. Sözel ilişkileri denklemlere çevirme yaklaşımı, farklı gerçek yaşam problemlerinde de kullanılan temel cebirsel modelleme yöntemidir.

Yaş toplamı biliniyorsa yaş ortalaması, toplam yaşın kişi sayısına bölünmesiyle bulunur; kişi sayısı n ise ortalama yaş = yaş toplamı / n biçimindedir. Örneğin üç kişinin yaşları toplamı 42 ise yaş ortalamaları 14’tür. Birden fazla kişinin yaş ilişkileri aynı problemde birlikte kullanılabilir; bu durumda her kişiye ait ifade aynı değişkenler üzerinden kurulmalıdır.

Geçmiş ve gelecek yaşlarını zaman değişkeniyle ifade etme

Bir kişinin bugünkü yaşı x ise t yıl önceki yaşı x - t, t yıl sonraki yaşı x + t olur. Buradaki t, geçmişe veya geleceğe gidilen yıl sayısını gösteren zaman değişkenidir. Geçmiş için çıkarma, gelecek için toplama yapılmasının nedeni yaşın her yıl bir artmasıdır. Aynı zaman aralığı bütün kişiler için kullanılıyorsa herkesin yaşı aynı miktarda değişir.

Örneğin iki kardeşin bugünkü yaşları toplamı 40 olsun. Beş yıl önce büyük kardeşin yaşı, küçük kardeşin o zamanki yaşının 2 katıymış. Küçük kardeşin bugünkü yaşı x seçilirse büyük kardeşin bugünkü yaşı 40 - x olur. Beş yıl önceki yaşlar sırasıyla x - 5 ve (40 - x) - 5 = 35 - x şeklinde yazılır. Problemdeki kat ilişkisi şu denkleme dönüşür:

35 - x = 2(x - 5)

Denklem çözüldüğünde 35 - x = 2x - 10, 45 = 3x ve x = 15 bulunur. Küçük kardeş bugün 15, büyük kardeş 25 yaşındadır. Beş yıl önce yaşları 10 ve 20 olduğundan büyük kardeşin yaşı gerçekten küçük kardeşin yaşının 2 katıdır.

Zaman değişkeni, soruda “kaç yıl önce” veya “kaç yıl sonra” ifadesi açıkça verilmişse doğrudan o sayı olabilir. Zaman bilinmiyorsa t kullanılır. Örneğin bugün x yaşında olan bir kişinin t yıl sonraki yaşı x + t’dir; başka bir kişinin yaşı y ise aynı tarihteki yaşı y + t olur. Zaman ifadesini yalnızca bir kişinin yaşına uygulamak, aynı tarihteki ilişkiyi bozabileceği için bütün ilgili yaşlar aynı zaman düzlemine taşınmalıdır.

Yaş farkının zamanla değişmemesi

İki kişinin yaş farkı, ikisi de aynı zaman aralığında yaş aldığı için zamanla değişmez. Biri diğerinden bugün 7 yaş büyükse 5 yıl önce de 5 yıl sonra da aralarındaki fark 7’dir. Bu özellik, geçmiş ve gelecek yaşlarını kontrol etmek veya bilinmeyen yaşları birbirine bağlamak için kullanılır.

Örneğin bir annenin çocuğundan 28 yaş büyük olduğu biliniyorsa çocuğun bugünkü yaşı x, annenin bugünkü yaşı x + 28 yazılır. Üç yıl sonra bu yaşlar x + 3 ve x + 31 olur; fark yine 28’dir. Yaş farkı verilen problemlerde “gelecekte fark artar” ya da “geçmişte fark azalır” şeklinde bir denklem kurulmaz. Değişen yaşların kendisidir, aralarındaki fark değil.

Yaş katı, fazla ve eksik ifadelerini denkleme çevirme

Yaş problemlerinde “katı”, “fazlası” ve “eksiği” ifadeleri doğrudan cebirsel işlemlere çevrilir. Bir kişinin yaşı x ise onun 3 katı 3x, 5 fazlası x + 5, 4 eksiği x - 4 olur. “Bir yaşın 2 katından 3 fazla” ifadesi 2x + 3; “bir yaşın 4 katından 2 eksik” ifadesi 4x - 2 şeklinde yazılır. “Yaşının iki katı” ile “yaşından iki fazla” aynı anlama gelmez; ilki çarpma, ikincisi toplama gerektirir.

Örneğin bir babanın yaşı, çocuğunun yaşının 4 katından 2 fazla ve ikisinin yaşları toplamı 52 olsun. Çocuğun yaşı x seçilir. Babanın yaşı 4x + 2 olur. Toplam bilgisi şu denklemi verir:

x + (4x + 2) = 52

Buradan 5x + 2 = 52, 5x = 50 ve x = 10 bulunur. Çocuk 10, baba 42 yaşındadır. Baba yaşı çocuğun yaşının 4 katından 2 fazladır; çünkü 4 · 10 + 2 = 42. Toplamları da 52’dir.

Zaman bilgisi kat ilişkisiyle birlikte verildiğinde, önce yaşları aynı tarihe taşımak gerekir. Örneğin çocuğun bugünkü yaşı x ise 6 yıl sonraki yaşı x + 6’dır. Babanın bugünkü yaşı 4x + 2 ise 6 yıl sonraki yaşı 4x + 8 olur. “6 yıl sonra baba çocuğun yaşının 2 katı olacak” ifadesi 4x + 8 = 2(x + 6) biçiminde yazılır. Görüldüğü gibi kat ilişkisi, yaşların kendisi yerine aynı tarihteki yaşlar arasında kurulmalıdır.

“Fazla” ve “eksik” ifadelerinde karşılaştırmanın hangi kişiye göre yapıldığına dikkat edilir. “Ali, Veli’den 5 yaş fazla” denklemi Ali = Veli + 5 biçimindedir. “Ayşe, bir kişinin yaşının 3 katından 4 eksik” ise Ayşe = 3 · diğer yaş - 4 şeklinde modellenir. Eksi işaretinin yanlış yere konması, denklem çözülebilse bile gerçek yaş ilişkisini bozabilir.

Denklemi çözme ve sonucu yaş koşullarıyla doğrulama

Denklem kurulduktan sonra amaç, bilinmeyeni yalnız bırakmaktır. Toplama ve çıkarma işlemleri karşı tarafa aktarılır, benzer terimler birleştirilir ve son olarak katsayıya bölünür. Birden fazla bilinmeyen varsa her ilişkinin aynı anda sağlanması gerekir; bu tür durumlarda kurulan denklem sistemi birlikte çözülür.

Örneğin bir çocuğun yaşı x, babasının yaşı 4x + 2 ve yaşları toplamı 52 olsun. Kurulan denklem x + 4x + 2 = 52’dir. Benzer terimler birleştirilince 5x + 2 = 52, ardından 5x = 50 ve x = 10 bulunur. x yerine 10 yazıldığında baba yaşı 4 · 10 + 2 = 42 olur. Böylece bulunan değerler yalnızca denklemi değil, problemin bütün koşullarını da sağlamış olur.

Doğrulama üç aşamada yapılabilir. İlk olarak yaşlar negatif olmamalıdır; geçmiş bir zaman söz konusuysa kişinin o tarihteki yaşı da negatif çıkmamalıdır. İkinci olarak yaş sırası kontrol edilir: “baba daha büyük” denmişse hesaplanan baba yaşı gerçekten çocuğun yaşından büyük olmalıdır. Üçüncü olarak bütün sözel bilgiler sayılarla yeniden denenmelidir. Toplam, fark, kat, fazla-eksik ve zaman koşulları tek tek yerine yazılır.

Örneğin beş yıl önce yaşları 10 ve 20 bulunan kardeşlerde bugünkü yaşlar 15 ve 25’tir. Bugünkü toplam 40, beş yıl önceki toplam 30’dur; iki toplam arasındaki fark iki kişi için geçen toplam yaş artışı olan 10’a eşittir. Beş yıl önceki yaşlardan biri diğerinin 2 katıdır ve yaş farkı her iki zamanda da 10’dur. Bu kontrollerden biri başarısız olursa işlem adımlarına dönülüp özellikle zamanın veya kat ifadesinin doğru yazılıp yazılmadığı incelenmelidir.