İşçi-Havuz Problemleri Nasıl Çözülür?

İşçi-havuz problemlerinin temel modeli

İşçi-havuz problemlerinde tamamlanacak işin tümü 1 iş olarak alınır. Bir işçi bu işi belirli bir sürede bitiriyorsa, birim zamanda işin belli bir bölümünü yapar. Süre, yapılan iş ve birim hız arasındaki temel ilişki şöyledir: yapılan iş = hız × süre. İşin tamamı 1 olduğundan, bir kaynağın hızı işin tamamını bitirme süresinin tersidir.

Örneğin bir işçi bir havuzu 6 saatte dolduruyorsa, 1 saatte havuzun 1/6’sını doldurur. Bu işçi 2 saat çalışırsa yaptığı iş 2 × 1/6 = 1/3 olur; havuzun 2/3’ü henüz dolmamıştır. Böylece problem, yalnızca süreleri karşılaştırmak yerine 1 saatlik iş miktarlarını hesaplama problemine dönüşür.

Aynı model işçiler için de geçerlidir. Bir işçi bir işi 8 günde tamamlıyorsa, toplam iş 1 kabul edildiğinde günlük hızı 1/8 iştir. Birlikte çalışma veya çalışma düzeninin değişmesi gibi durumlarda bütün hesaplar bu birim hızlar üzerinden kurulur.

Tek başına bitirme süresinden birim hıza geçiş

Bir kaynak toplam işi T sürede bitiriyorsa birim hızı 1/T olur. Buradaki birim; iş için gün başına iş, havuz için saat başına havuz oranı olabilir. Önce bütün kaynakların aynı işi tamamladığından emin olunur, ardından her birinin süresi ters çevrilerek hız bulunur.

Örneğin A işçisi bir işi 12 günde, B işçisi 18 günde bitirsin. A’nın günlük hızı 1/12, B’nin günlük hızı 1/18’dir. Bu iki kesri karşılaştırmak veya toplamak için ortak payda kullanılabilir: 1/12 = 3/36 ve 1/18 = 2/36. Böylece A bir günde işin 3/36’sını, B ise 2/36’sını yapar.

Bu dönüşüm, “12 günde bitiriyor” bilgisini “bir günde ne kadar yapıyor?” bilgisine çevirir. Örneğin yalnızca A çalışırsa işi 12 günde bitirir; A 4 gün çalıştığında yaptığı iş 4 × 1/12 = 1/3 olur. Süreyi doğrudan toplamak yerine hızları kullanmanın nedeni budur: Kaynaklar aynı anda çalışırken toplam işi oluşturan parçalar birim zamanda toplanır.

Birlikte çalışma ve net hız hesabı

Aynı anda çalışan ve işi tamamlayan kaynakların hızları toplanır. Bir havuzu dolduran musluk ile boşaltan musluk birlikte çalışıyorsa net hız, doldurma hızından boşaltma hızının çıkarılmasıyla bulunur. Net hız, toplam işin birim zamanda gerçekten ne kadar ilerlediğini gösterir.

Örneğin birinci musluk havuzu 4 saatte, ikinci musluk 6 saatte doldursun. Birinci musluğun hızı 1/4, ikincinin hızı 1/6’dır. Birlikte hızları 1/4 + 1/6 = 5/12 havuz/saat olur. Havuzun dolma süresi 1 ÷ 5/12 = 12/5 saat, yani 2 saat 24 dakikadır.

Bir dolduran musluk havuzu 3 saatte doldururken boşaltan musluk 6 saatte boşaltıyorsa net hız 1/3 - 1/6 = 1/6 havuz/saat olur. Bu durumda havuz 6 saatte dolar. Net hız sıfırsa havuzun doluluk miktarı değişmez; net hız negatifse mevcut koşullarda havuz dolmaz, tersine boşalır.

Kesirli hızlarla ortak iş hesabında ortak payda, hızları aynı iş birimine taşır. Örneğin 1/8 ve 1/12 hızları için ortak payda 24 seçilir: 1/8 = 3/24 ve 1/12 = 2/24. Birlikte hız 5/24 olur; toplam iş 1 olduğundan süre 24/5 birimdir.

Çalışma düzeninin değiştiği problemler

Bir işçi veya musluk belirli bir süre çalışıp ayrıldığında ya da yeni bir kaynak daha sonra devreye girdiğinde tek bir toplam hız yazmak yeterli olmaz. Çalışma zamanı, kaynakların aynı anda aktif olduğu aşamalara ayrılır. Her aşamada o anda çalışan kaynakların hızları bulunur; yapılan iş hesaplanır ve sonraki aşamaya kalan iş aktarılır.

Örneğin A işçisi bir işi 6 günde, B işçisi 12 günde bitirsin. Önce yalnızca A 2 gün çalışırsa yaptığı iş 2 × 1/6 = 1/3 olur. Kalan iş 1 - 1/3 = 2/3’tür. Daha sonra B de çalışmaya başlarsa iki işçinin ortak hızı 1/6 + 1/12 = 1/4 olur. Kalan 2/3 işin tamamlanma süresi (2/3) ÷ (1/4) = 8/3 gündür. Toplam süre 2 + 8/3 = 14/3 gündür.

Bir kaynak ayrılırsa sonraki aşamada onun hızı toplamdan çıkarılır; yeni bir kaynak eklenirse yeni hız mevcut hıza eklenir. Havuz sorularında da aynı yöntem geçerlidir: Önce doluluk miktarı bulunur, sonra muslukların değişen durumuna göre yeni net hızla kalan miktar hesaplanır. Her aşamanın sonunda yapılan iş ile kalan işin toplamı 1 olmalıdır.

Birden fazla aşamalı ve daha karmaşık işçi-havuz soruları, ayrı bir problem çözme yaklaşımı gerektirir.

Kısmi çalışma ve kalan iş hesabı

Bir kaynak toplam işin yalnızca bir bölümünde çalıştığında yaptığı iş, birim hız ile çalışma süresinin çarpımıdır. Kalan iş, toplam işten yapılan iş çıkarılarak bulunur: kalan iş = 1 - yapılan iş. Sonraki kaynaklar bu kalan miktar üzerinden değerlendirilir; yeni aşamada tamamlanacak iş artık 1 değil, önceki aşamadan kalan değerdir.

Örneğin bir musluğun hızı saatte 1/5 havuz olsun ve musluk 2 saat çalışsın. Yapılan iş 2 × 1/5 = 2/5, kalan miktar ise 3/5 havuzdur. İkinci musluğun hızı saatte 1/10 ise kalan havuzun dolma süresi (3/5) ÷ (1/10) = 6 saat olur.

İşçi sayısı ile verimlilik arasındaki ilişki

Aynı hızla çalışan işçiler birlikte çalıştığında toplam birim hız, işçi sayısıyla birlikte artar; bu nedenle aynı iş daha kısa sürede tamamlanır. Ancak bu sonuç, işçilerin aynı işi aynı anda ve kesintisiz yaptığı varsayımına dayanır.

Dolduran ve boşaltan musluklarda hız yönü

Dolduran musluğun hızı pozitif, boşaltan musluğun hızı negatif kabul edilir. Bu işaret seçimi, net hızı tek işlemle kurmayı sağlar: dolduran hızlar toplanır, boşaltan hızlar çıkarılır.

Sonucun ve net hızın kontrolü

Çözüm tamamlandıktan sonra önce net hızın yönü kontrol edilir. Yalnızca dolduran kaynaklar varsa net hız pozitif olmalı; boşaltan muslukların etkisi daha büyükse net hız negatif çıkmalıdır. Net hızın yanlışlıkla pozitif alınması, havuzun gerçekte boşalırken dolduğu sonucunu doğurur.

Bulunan süre de problem koşullarıyla karşılaştırılmalıdır. Birlikte çalışan kaynakların süresi, en hızlı kaynağın tek başına bitirme süresinden daha kısa olmalıdır. Bir kaynak diğerlerini dengeleyen bir boşaltma etkisi oluşturuyorsa süre uzayabilir; net hız sıfır veya negatifse “havuz şu sürede dolar” sonucu kabul edilmemelidir.

Son kontrol için yapılan iş hesabı kullanılabilir: hız × süre = toplam iş olmalıdır. Aşamalı sorularda her aşamada yapılan işler toplanmalı ve 1’e ulaşmalıdır. Örneğin bir aşamada 1/3, sonraki aşamada 2/3 iş yapılmışsa toplam 1’dir. Ayrıca bulunan süre saat cinsindeyse dakika dönüşümü gibi birimlerin tutarlı olup olmadığı da incelenmelidir.