TYT Bölme ve Bölünebilme: Temel Kavramlar ve Kurallar

Bölme işleminin temel kavramları

Bir sayının başka bir sayıya ayrılması işleminde dört temel kavram kullanılır: bölünen, bölen, bölüm ve kalan. Bölünen, parçalanan sayıdır; bölen, bölünenin kaçarlı gruplara ayrıldığını gösterir; bölüm, elde edilen tam grup sayısıdır; kalan ise tam gruplara ayrılamayan miktardır. Bölen sıfır olamaz çünkü sıfıra bölme tanımlı değildir.

Örneğin 47 sayısı 5’e bölündüğünde 9 tam grup oluşur ve 2 artar. Bu işlemde 47 bölünen, 5 bölen, 9 bölüm ve 2 kalandır. Bölme işlemi, bölünen sayının bölenin katları ile kalanının toplamı olarak düşünülür: 47 = 5 · 9 + 2. Kalan sıfır olduğunda sayı tam bölünür; sıfırdan farklı olduğunda kalanlı bölme yapılmış olur.

Uzun bölmede işlem, bölünenin en yüksek basamak değerinden başlanarak yürütülür. Bölme, çarpma ve çıkarma adımları sırayla uygulanır; ardından bir sonraki basamak işleme alınır. Böylece bölüm basamakları oluşturulur ve işlem sonunda kalan elde edilir. Bu yöntem, 178’in 3’e bölünmesi gibi işlemlerde kullanılan standart bölme sürecidir.

Bölme algoritması ve kalan koşulları

Bölme algoritması, bir doğal sayının başka bir doğal sayıya bölünmesinde bölüneni diğer terimlerle ifade eden zorunlu bağıntıdır. Bölünen A, bölen B, bölüm Q ve kalan R ile gösterilirse temel bağıntı şöyledir:

A = B · Q + R

Bu bağıntıdaki en önemli koşul, kalanının bö­lenden küçük olmasıdır: 0 ≤ R < B. Çünkü kalan bölen kadar veya daha büyük olsaydı, kalanla en az bir grup daha oluşturulabilir ve bölüm artırılabilirdi. Bu nedenle bölüm, mümkün olan en büyük tam grup sayısını; kalan ise bu gruplardan sonra elde kalan miktarı gösterir.

Örneğin 83 sayısının 7’ye bölümünde 7 · 11 = 77 olduğundan 83 = 7 · 11 + 6 yazılır. Burada bölüm 11, kalan 6’dır ve 6 < 7 koşulu sağlanır. 83 = 7 · 10 + 13 ifadesi ise sayısal olarak eşitlik verse bile doğru bölme algoritması biçimi değildir; çünkü kalan bölenden küçük olmalıdır, oysa 13 sayısı bölen olan 7’den büyüktür.

Bu bağıntı, bilinmeyen terimleri bulmak için de kullanılabilir. Bölünen ve bölüm biliniyorsa kalan çıkarma yoluyla, bölüm ve kalan biliniyorsa bölünen çarpma ve toplama yoluyla bulunur. Kalan sıfırsa A = B · Q olur ve bölme kalansız gerçekleşir. Uzun bölme işleminden sonra sonucu kontrol etmek için bölüm ile böleni çarpıp kalanı eklemek yeterlidir; elde edilen sayı bölüneni vermelidir.

Bölünebilme kavramı

Bir sayının başka bir sayıya bölünebilmesi, bölme işleminde kalanın sıfır olması demektir. A sayısı B’ye bölündüğünde A = B · Q + R bağıntısı kullanılır; R = 0 ise A = B · Q biçimine geçilir ve A, B’nin tam katıdır. Örneğin 72 sayısı 8’e bölündüğünde bölüm 9, kalan 0 olur. Bu nedenle 72, 8’e bölünür. Buna karşılık 74’ün 8’e bölümünde kalan 2 olduğundan 74, 8’e bölünmez.

Temel bölünebilme kuralları

Bölünebilme kuralları, sayıyı uzun uzun bölmeden kalanın sıfır olup olmadığını anlamayı sağlar. Bu kuralların temelinde basamak değerlerinin, seçilen bölen açısından nasıl davrandığı bulunur; ayrıntılı gerekçeler yerine TYT’de doğru uygulama önemlidir.

• 2 ile bölünebilme: Son basamak 0, 2, 4, 6 veya 8 ise sayı 2’ye bölünür. 438’in son basamağı 8 olduğu için 438, 2’ye bölünür; 437 bölünmez. • 3 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 3’ün katıysa sayı 3’e bölünür. 714 için 7 + 1 + 4 = 12 olduğundan sayı 3’e bölünür. • 4 ile bölünebilme: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4’ün katıysa sayı 4’e bölünür. 1.236’da son iki basamak 36’dır ve 36, 4’ün katıdır. • 5 ile bölünebilme: Son basamak 0 veya 5 ise sayı 5’e bölünür. 1.245 bu koşulu sağlar. • 6 ile bölünebilme: Sayının hem 2’ye hem 3’e bölünmesi gerekir. 342 çift olduğu için 2’ye, rakamları toplamı 9 olduğu için 3’e bölünür; dolayısıyla 6’ya da bölünür. • 8 ile bölünebilme: Son üç basamağın oluşturduğu sayı 8’in katıysa sayı 8’e bölünür. 2.184’ün son üç basamağı 184’tür ve 184, 8’in katıdır. • 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katıysa sayı 9’a bölünür. 5.274 için rakamlar toplamı 18 olduğundan sayı 9’a bölünür. • 10 ile bölünebilme: Son basamak 0 ise sayı 10’a bölünür. 3.450 bu kurala uyar.

Bir sayının bölme sonucunu kontrol etmek için bulunan bölüm bölenle çarpılır ve kalan eklenir. Örneğin 56 = 7 · 8 + 0 olduğundan 56’nın 7’ye bölümünde kalan olmadığını bu eşitlikle doğrulayabiliriz.

Birden fazla bölünebilme koşulunun birlikte kullanılması

Bazı sayılara bölünebilme, tek bir basamağa veya rakamlar toplamına bakılarak değil, birkaç koşulun aynı anda sağlanmasıyla belirlenir. Bir sayı 6’ya bölünecekse 2’ye ve 3’e birlikte bölünmelidir. Örneğin 1.254 çift olduğu için 2’ye bölünür; rakamları toplamı 12 olduğu için 3’e de bölünür. Bu nedenle 1.254, 6’ya bölünür.

Benzer biçimde 12’ye bölünebilmek için 3’e ve 4’e bölünebilmek gerekir. 1.236’nın rakamları toplamı 12 olduğu için 3’e, son iki basamağı 36 olduğu için 4’e bölünür; dolayısıyla 12’ye bölünür. 15 için ise 3 ve 5 koşulları birlikte aranır. 1.245’in rakamları toplamı 12 olduğundan 3’e, son basamağı 5 olduğundan 5’e bölünür ve sayı 15’e bölünür.

Bu tür sorularda koşulları ayrı ayrı kontrol etmek gerekir. Koşullardan biri sağlanmıyorsa sayı ilgili bileşik sayıya bölünemez. Örneğin bir sayı 4’e bölünüyor olsa bile 3’e bölünmüyorsa 12’ye bölünemez.

Bölme ve bölünebilme bilgilerinin TYT soru uygulamaları

TYT sorularında bölme algoritması, bilinmeyen bir basamak veya sayı içeren eşitlikleri kurmak için kullanılır. Bir sayı B’ye bölündüğünde bölüm Q ve kalan R ise sayı doğrudan B · Q + R biçiminde yazılır. Örneğin bir sayı 7’ye bölündüğünde bölüm 12 ve kalan 3 ise sayı 7 · 12 + 3 = 87’dir. Kalanın mutlaka 0 ile 6 arasında olması gerektiği de unutulmamalıdır.

Basamak sorularında önce bölünebilme kuralı, sonra bilinmeyenin alabileceği değerler değerlendirilir. Örneğin 4a2 sayısının 3’e bölünebilmesi için rakamlar toplamı 4 + a + 2 = 6 + a olmalıdır. Bu toplamın 3’ün katı olması gerektiğinden a’nın uygun rakam değerleri bu koşula göre seçilir. Sayı aynı zamanda 2’ye de bölünecekse son basamak 2 olduğu için bu ikinci koşul zaten sağlanır; böylece iki koşul birlikte daha hızlı incelenir.

Kalan sorularında ise bölümün tamamını bulmak her zaman gerekli değildir. Önce A = B · Q + R bağıntısı yazılır; ardından verilen kalan ve bölme koşulları kullanılır. Bir sayının belirli bir sayıya tam bölünüp bölünmediği soruluyorsa ilgili kural uygulanır, birden fazla koşul varsa bunlar birlikte kontrol edilir. Böylece sayı basamakları, bölüm-kalan ilişkisi ve bölünebilme kuralları aynı çözüm içinde birleştirilebilir. Modüler aritmetik ve kongrüans, bu kalan ilişkilerini daha ileri düzeyde inceleyen ayrı bir konudur.