TYT Temel Kavramlar: Sayı Kümeleri, Asal Sayılar ve Bölenler

Sayı Kümeleri ve Sayıların Sınıflandırılması

Sayı kümeleri, sayıları ortak özelliklerine göre sınıflandırır. Doğal sayılar sayma işleminde kullanılan 0, 1, 2, 3, ... gibi sayılardır. Bazı kaynaklarda doğal sayılar 1’den başlatılabilir; soru içinde kullanılan tanıma dikkat edilmelidir. Tam sayılar ise doğal sayıları, bu sayıların negatiflerini ve sıfırı kapsar: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Bu nedenle her doğal sayı aynı zamanda tam sayıdır; ancak her tam sayı doğal sayı değildir. Örneğin -4 bir tam sayı olduğu hâlde doğal sayı değildir.

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayılardır. Bu gösterimde payda sıfır olamaz. 3/5, -7/2 ve 4 = 4/1 rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel bir sayının ondalık gösterimi ya sonlu olur ya da belirli bir basamak dizisi tekrar eder. Örneğin 1/4 = 0,25 sonlu, 1/3 = 0,333... ise devirli bir ondalık gösterime sahiptir. Tam sayılar da paydası 1 seçilerek rasyonel biçimde yazılabildiği için tam sayılar rasyonel sayıların içindedir.

İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuza kadar devam eder ve düzenli bir tekrar oluşturmaz. √2 ve π, irrasyonel sayılara örnektir. Gerçek sayılar ise rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamını kapsayan kümedir. Bu sınıflandırma iç içe kümeler şeklinde düşünülebilir: doğal sayılar tam sayıların, tam sayılar rasyonel sayıların; rasyonel sayılar da gerçek sayıların bir bölümüdür. İrrasyonel sayılar da gerçek sayıların içindedir, fakat rasyonel değildir.

Örneğin -5/2 sayısı tam sayı değildir; çünkü tam sayı biçiminde yazılamaz, fakat iki tam sayının oranı olduğu için rasyoneldir ve dolayısıyla gerçektir. √9 = 3 olduğu için √9 irrasyonel değil, doğal, tam, rasyonel ve gerçek sayıdır. Buna karşılık √2 gerçek fakat irrasyonel bir sayıdır. Bir sayının ait olduğu kümeyi belirlerken önce gösterimin gerçekten sadeleşip sadeleşmediğine bakmak gerekir; köklü bir ifade de sadeleştiğinde farklı bir sayı kümesine geçebilir.

Pozitif, Negatif ve Sıfır Sayılar

Pozitif sayılar sıfırdan büyük, negatif sayılar ise sıfırdan küçük sayılardır. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir; sayı doğrusunda iki grubun arasında yer alır. Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe küçülür. Bu nedenle -2, -5’ten büyüktür; çünkü -2 sayı doğrusunda daha sağdadır.

Sıfır, toplama işleminde etkisiz elemandır: a + 0 = a. İşaretli sayılarla işlem yaparken aynı işaretli sayılar toplanır ve ortak işaret korunur; farklı işaretli sayılarda ise mutlak değeri büyük olan sayının işareti belirleyici olur. Örneğin -8 + 3 işleminde 8 ve 3 arasındaki fark 5’tir ve mutlak değeri büyük olan -8’in işareti korunduğu için sonuç -5 olur. Buradaki temel işlem özellikleri, sayıların işaretini doğru yorumlamaya yardımcı olur; ayrıntılı işlem kuralları ayrı bir başlıkta ele alınabilir.

Tek ve Çift Sayılar

Çift sayılar 2’nin tam katı olan sayılardır. Bir doğal ya da tam sayının 2’ye bölümünden kalan 0 ise sayı çifttir. Tek sayılar ise 2’nin tam katı olmayan ve 2’ye bölündüğünde 1 kalanını veren sayılardır. Birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan doğal sayılar çift; birler basamağı 1, 3, 5, 7 veya 9 olan doğal sayılar tektir. Örneğin 246 çift, 137 tektir. Negatif sayılarda da aynı ölçüt geçerlidir; -12 çift, -7 tektir.

Tek-çift özelliği, işlemin sonucunu bulmadan önce sonuç hakkında çıkarım yapmayı sağlar. İki çift sayının toplamı çifttir; çünkü çift sayılar 2’nin katı olarak yazılır ve iki katın toplamı yine 2’nin katıdır. Bir çift sayı ile bir tek sayının toplamı tek, iki tek sayının toplamı ise çifttir. Örneğin 14 + 9 = 23 olduğundan çift ile tekin toplamı tek; 7 + 11 = 18 olduğundan iki tekin toplamı çifttir.

Çarpma işleminde en az bir çarpan çiftse sonuç çifttir. Çünkü çift çarpanın içinde 2 çarpanı bulunur. İki tek sayının çarpımı ise tektir; örneğin 5 · 7 = 35. Bu özellikler, sayıları tek tek hesaplamadan seçenekleri elemekte kullanılabilir. Ayrıca 0 çift sayıdır; 0 = 2 · 0 biçiminde yazılabildiği için çiftlik tanımını karşılar. Tek veya çift olma özelliği, tam sayılar için de geçerlidir; ancak kesirli veya irrasyonel sayılar için bu sınıflandırma TYT’de doğal ve tam sayılardaki anlamıyla kullanılmaz.

Asal Sayılar ve Temel Özellikleri

Asal sayı, 1’den büyük olan ve yalnızca 1’e ve kendisine tam bölünebilen doğal sayıdır. Başka bir ifadeyle asal bir sayının pozitif bölenleri sadece iki tanedir: 1 ve sayının kendisi. 2, 3, 5, 7 ve 11 asal sayılara örnektir. 2, çift olan tek asal sayıdır; çünkü 2’nin pozitif bölenleri 1 ve 2’dir. 2’den büyük her çift sayı ise en az 1, 2 ve kendisi olmak üzere farklı bölenlere sahip olduğundan asal olamaz.

1 asal sayı değildir. Çünkü asal sayıların tam olarak iki pozitif böleni bulunması gerekirken 1’in yalnızca bir pozitif böleni vardır. Bu sınır durumu, sayı sınıflandırma sorularında özellikle önemlidir. Örneğin 13’ün pozitif bölenleri 1 ve 13 olduğu için 13 asaldır; 15’in bölenleri arasında 3 ve 5 de bulunduğu için asal değildir. Asal olmayan ve 1’den büyük doğal sayılara bileşik sayılar denir.

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için 1 ve kendisi dışındaki doğal sayılara tam bölünüp bölünmediği incelenir. 29 için 2, 3, 4 ve benzeri küçük bölenler denendiğinde tam bölünme gerçekleşmez; 29’un yalnızca 1 ve 29’a bölündüğü görülür ve sayı asaldır. 21 ise 3 ve 7’ye de bölündüğü için bileşiktir. Bu değerlendirmede sayının pozitif doğal bölenleri dikkate alınır; negatif bölenler asal sayı tanımına yeni asal sayılar eklemez.

Asal sayıların önemli bir özelliği, bileşik doğal sayıların asal sayıların çarpımı biçiminde ifade edilebilmesidir. Örneğin 18 sayısı 2 · 3 · 3 biçiminde yazılabilir. Bu bilgi, asal çarpanlara ayırma sorularının temelini oluşturur; ayrıntılı asal çarpanlara ayırma yöntemi ayrı bir makalenin konusudur.

Bölen, Çarpan ve Kat Kavramları

Bir doğal sayı başka bir doğal sayıyla kalansız bölünebiliyorsa, bölen sayıya bölünen sayının böleni denir. Çarpan kavramı aynı ilişkiyi çarpma üzerinden ifade eder. Eğer a · b = n ise a ve b, n sayısının çarpanlarıdır; aynı zamanda n sayısı a’nın ve b’nin katıdır. Örneğin 4 · 6 = 24 olduğundan 4 ve 6, 24’ün çarpanlarıdır; 24 de 4’ün ve 6’nın katıdır. Ayrıca 4, 24’ü kalansız böldüğü için 4, 24’ün bölenidir.

Bir sayının bölenleri sonlu sayıdadır. 12’nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir. Bu sayıların her biri 12’yi kalansız böler. Buna karşılık 12’nin pozitif katları 12, 24, 36, 48, ... şeklinde devam eder; çünkü 12, 1, 2, 3, 4, ... gibi doğal sayılarla çarpılır. Böylece bölen listesi belirli bir sayının içine doğru, kat listesi ise o sayının dışına doğru genişler.

Bir çarpan çifti, sayının iki çarpanının çarpımının o sayıyı vermesidir. 20 için çarpan çiftleri 1 ve 20, 2 ve 10, 4 ve 5’tir. Bir sayının 1 ve kendisi her zaman pozitif bölenleridir. Asal sayılarda başka çarpan çifti bulunmaz; örneğin 13 yalnızca 1 · 13 biçiminde yazılabildiği için asaldır. 20 gibi bileşik sayılarda ise ek çarpan çiftleri ortaya çıkar.

Bölünebilirlik, bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünmesi durumudur; bu kavram bölen ve kat ilişkisini kısa biçimde ifade eder. Bölünebilirlik kuralları ve uygulamaları, sayıların kalansız bölünüp bölünmediğini hızlı belirlemeye yönelik ayrı bir konudur. Birden fazla sayının ortak bölenleri ve ortak katlarıyla ilgili EBOB ve EKOK hesaplama yöntemleri de bu temel ilişkinin devamı niteliğindedir; ayrıntıları ilgili makalelerde incelenir.

Ardışık Sayılar

Ardışık sayılar, belirli bir düzende birbirini izleyen sayılardır. Ardışık doğal veya tam sayılar arasındaki fark 1’dir; örneğin 6, 7, 8 ve -2, -1, 0, 1 dizileri ardışık sayılardır. Genel olarak bir ardışık sayı dizisi n, n + 1, n + 2 biçiminde gösterilebilir. Burada n dizinin ilk sayısını temsil eder.

Ardışık çift sayılar arasındaki fark 2, ardışık tek sayılar arasındaki fark da 2’dir. Ardışık çift sayılar 2n, 2n + 2, 2n + 4; ardışık tek sayılar ise 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 biçiminde ifade edilebilir. Örneğin 8, 10, 12 ardışık çift; nine? Bu ifade yerine 5, 7, 9 ardışık tek sayılardır. Bir soruda “üç ardışık tam sayı” deniyorsa sayılar arasındaki farkın 1, “üç ardışık çift sayı” deniyorsa farkın 2 olduğu anlaşılır. Bu farkı doğru belirlemek, verilen toplam veya çarpım koşulunu uygun cebirsel ifadeye dönüştürmenin başlangıcıdır.