Asal Sayılar Nedir? Bir Sayının Asal Olduğu Nasıl Anlaşılır?
Asal sayılar, 1’den büyük ve yalnızca iki pozitif böleni bulunan doğal sayılardır. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için bölenlerini sistemli biçimde incelemek, asal ve bileşik sayıların farkını bilmek gerekir.
Bu yazıda (5)
Asal sayı, 1’den büyük olup yalnızca 1’e ve kendisine tam bölünen doğal sayıdır. Asal sayıları tanımak için önce bölen kavramını, ardından bir sayının bölenlerini nasıl kontrol edeceğimizi bilmek gerekir.
Asal sayının tanımı
Asal sayı, 1’den büyük olan ve yalnızca iki pozitif böleni bulunan doğal sayıdır. Bu iki bölen her zaman 1 ve sayının kendisidir. “Yalnızca iki bölen” ifadesi, sayının 1 ve kendisi dışında hiçbir doğal sayıya kalansız bölünememesi anlamına gelir.
Örneğin 7’nin pozitif bölenleri 1 ve 7’dir. 7, 2’ye, 3’e, 4’e, 5’e veya 6’ya tam bölünmediği için asal sayıdır. Buna karşılık 11’in de bölenleri yalnızca 1 ve 11’dir; dolayısıyla 11 de asaldır. Bir sayının asal olup olmadığına karar verirken sayının kendisinden küçük bölenleri olup olmadığına bakılır. Böylece tanım, yalnızca ezberlenen bir ifade olmaktan çıkar ve bölenleri inceleyerek uygulanabilen bir ölçüt hâline gelir.
Asal ve bileşik sayı ayrımı
Asal sayılarla bileşik sayılar arasındaki temel fark, pozitif bölen sayısıdır. Asal sayıların tam olarak iki pozitif böleni vardır; bileşik sayıların ise ikiden fazla pozitif böleni bulunur. Örneğin 12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir. 12, 1 ve kendisi dışında 2, 3, 4 ve 6’ya da bölündüğü için bileşik sayıdır. 15’in 1 ve 15 dışında 3 ve 5 bölenleri de vardır; bu nedenle o da bileşiktir. Bir sayının 1 ve kendisi dışında bir böleni bulunduğu anda asal olmadığı anlaşılır ve sayı bileşik olarak sınıflandırılır. Asal çarpanlara ayırma, bileşik sayıların asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasıyla ilgili ayrı bir konudur.
1 sayısının asal olmaması
1 sayısı asal değildir; çünkü yalnızca bir pozitif böleni vardır: 1. Asal sayı tanımı ise bir sayının 1’den büyük olmasını ve tam olarak iki pozitif böleninin bulunmasını gerektirir. Bu yüzden 1, “yalnızca kendisine bölünüyor” diye asal kabul edilemez; 1’in kendisiyle 1 aynı sayı olduğu için iki farklı bölen oluşmaz.
1 sayısı bileşik de değildir. Bileşik sayılarda ikiden fazla pozitif bölen bulunması gerekir, oysa 1’in bölen sayısı birdir. Böylece doğal sayıları sınıflandırırken 1, asal ve bileşik sayıların dışında ayrı bir durumda yer alır. Örneğin 2’nin bölenleri 1 ve 2 olduğu için 2 asal, 1’in yalnızca 1 olduğu için asal değildir.
Bir sayının asal olup olmadığını kontrol etme
Bir sayının asal olup olmadığını kontrol etmek için şu sıra izlenebilir: Önce sayının 1’den büyük olup olmadığına bakılır. Sayı 1 veya daha küçükse asal değildir. Ardından 1 ve sayının kendisi dışındaki olası bölenler incelenir. Bu sayılardan biri sayıyı kalansız bölüyorsa sayı asal değildir; hiçbirisi bölemiyorsa sayı asaldır.
Kontrolü hızlandırmak için yalnızca sayının kareköküne kadar olan bölen adaylarını incelemek yeterlidir. Bunun nedeni, sayı iki çarpanın çarpımı olarak yazıldığında çarpanlardan biri karekökten küçük veya ona eşit değilse diğerinin de aynı sınırı aşamayacak olmasıdır. Ortaokul düzeyinde bu yöntem, küçük sayılarda bölen çiftlerini yazmakla birlikte kullanılabilir.
Örneğin 37’nin asal olup olmadığını inceleyelim. 37’nin karekökü 6 ile 7 arasındadır; bu nedenle 2, 3, 4, 5 ve 6’ya bölünüp bölünmediği kontrol edilir. 37 bu sayıların hiçbirine tam bölünmez. 1 ve 37 dışında böleni bulunmadığı için 37 asaldır. Buna karşılık 51 kontrol edilirken 3’e tam bölündüğü görülür: 51 = 3 × 17. Tek bir farklı bölen bulmak, 51’in asal olmadığını ve bileşik olduğunu göstermeye yeterlidir. Bölünebilme kuralları, bazı sayılara kalansız bölünüp bölünmediğini hızlıca anlamaya yarayan kısa ölçütlerdir; bu kurallar ayrı bir konuda ayrıntılı incelenir. Büyük sayılar için kullanılan ileri asallık testleri ve asal sayıların dağılımı ise farklı bir konudur.
Asal sayıların temel özellikleri
2, tek çift asal sayıdır. Çünkü 2’nin pozitif bölenleri yalnızca 1 ve 2’dir; 2’den büyük her çift sayı ise en az 2’ye ve kendisine bölündüğü için ikiden fazla bölen taşır. Bu nedenle 2 dışındaki hiçbir çift sayı asal olamaz. 2’den büyük asal sayıların hepsi tektir, ancak her tek sayı asal değildir; örneğin 9 tek olduğu hâlde 3’e bölündüğü için bileşiktir.
Küçük asal sayılar arasında 2, 3, 5, 7, 11 ve 13 bulunur. Bu sayılar, daha büyük sayıların asallık kontrolünde sık karşılaşılan ilk bölen adaylarıdır. Bir sayının tek olması tek başına asal olduğunu göstermez; diğer olası bölenler de kontrol edilmelidir.
Bir sınıfta 17 öğrenci olduğunu düşünelim. Öğrenciler yalnızca birer kişilik veya 17 kişilik eşit gruplara ayrılabiliyorsa 17’nin 1 ve 17 dışında böleni yoktur; bu, asal sayı fikrinin günlük bir grup oluşturma durumundaki karşılığıdır.
Bir sayının tek olması onun kesinlikle asal olduğunu göstermez. 2 tek çift asal sayıdır; 9, 15 ve 21 gibi tek sayılar ise başka bölenleri bulunduğu için bileşiktir. Ayrıca 1, yalnızca bir böleni olduğu için asal değildir.
Sık sorulan sorular
Asal sayı nedir?
1’den büyük ve yalnızca 1 ile kendisine bölünebilen, yani tam olarak iki pozitif böleni bulunan doğal sayıdır.
1 neden asal sayı değildir?
1’in yalnızca bir pozitif böleni vardır. Asal sayıların ise tam olarak iki pozitif böleni olmalıdır.
Her tek sayı asal mıdır?
Hayır. 9 ve 15 gibi tek sayılar 1 ve kendileri dışında başka bölenlere de sahiptir. Bu nedenle bileşiktir.
Bir sayının asal olup olmadığı nasıl kontrol edilir?
Önce sayının 1’den büyük olup olmadığına bakılır. Sonra 1 ile kendisi arasındaki olası bölenler, pratikte kareköküne kadar, kontrol edilir. Bir bölen bulunursa sayı asal değildir.
2 neden özel bir asal sayıdır?
2, çift olan tek asal sayıdır. 2’den büyük her çift sayı 2’ye bölündüğü için asal olamaz.