Asal Sayı Nedir? Asal Sayıları Kolayca Ayırt Etme
Asal sayı, 1’den büyük ve yalnızca 1 ile kendisine bölünebilen doğal sayıdır. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için pozitif bölenleri kontrol edilir. 1’in neden asal olmadığı, 2’nin ise neden tek çift asal sayı olduğu örneklerle açıklanır.
Bu yazıda (5)
Asal sayılar, sayıların bölünebilme özelliklerini anlamada kullanılan temel matematik kavramlarından biridir. Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek için kaç tane pozitif böleni olduğuna bakılır.
Asal Sayının Tanımı
Asal sayı, 1’den büyük olan ve yalnızca 1’e ve kendisine tam bölünebilen doğal sayıdır. Başka bir ifadeyle bir asal sayının tam olarak iki pozitif böleni vardır: 1 ve sayının kendisi. Örneğin 7 sayısının pozitif bölenleri 1 ve 7’dir. 7; 2, 3, 4, 5 veya 6’ya tam bölünmediği için asaldır.
Bir sayının asal olması, onun bölenlerinin sayısıyla ilgilidir. 13 için de aynı durum geçerlidir: 13’ü kalansız bölen pozitif sayılar yalnızca 1 ve 13’tür. Buna karşılık 9’un 1 ve 9’un yanında 3 böleni de vardır; bu nedenle 9 asal değildir. Asal sayılar sayı doğrusunda düzenli aralıklarla tekrarlanan bir örüntü oluşturmaz; farklı bölgelerde farklı sıklıklarda karşımıza çıkar.
Asallık yalnızca pozitif tam sayılar arasında değerlendirilir ve sayı mutlaka 1’den büyük olmalıdır. Bu iki nokta birlikte düşünülmediğinde özellikle 1 sayısı hakkında yanlış sonuca ulaşılabilir.
Asal Olmanın İki Temel Koşulu
Bir sayının asal olabilmesi için iki koşulu aynı anda taşıması gerekir. İlk koşul, sayının 1’den büyük olmasıdır. Bu koşul, 1’in asal sayılar arasına alınmasını engeller. İkinci koşul, sayının tam olarak iki pozitif böleninin bulunmasıdır. Bu bölenler her zaman 1 ve sayının kendisidir.
Bu koşulların çalışma biçimi bölen kontrolüyle görülebilir. Örneğin 11 sayısını ele alalım. 11’in 1 ve 11 dışında pozitif bir böleni yoktur; dolayısıyla iki koşulu da sağlar ve asaldır. 15 ise 1 ve 15’in yanı sıra 3 ve 5’e de tam bölünür. Bu nedenle bölen sayısı ikiden fazla olur ve asal olma koşulunu kaybeder.
Bir sayının kendisine ve 1’e bölünebilmesi tek başına yeterli değildir; 1’den büyük her doğal sayı bu özelliğe zaten sahiptir. Ayırt edici nokta, arada başka pozitif bölen bulunup bulunmadığıdır.
Asal ve Bileşik Sayı Ayrımı
Asal sayıların tam olarak iki pozitif böleni varken bileşik sayıların ikiden fazla pozitif böleni vardır. Örneğin 5’in bölenleri 1 ve 5 olduğu için 5 asaldır. 12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir; bu nedenle 12 bileşik sayıdır. Bir sayının 1 ve kendisi dışında en az bir böleni varsa o sayı asal değil, bileşiktir.
Bu ayrım, bölen listesi yazılarak veya sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediği kontrol edilerek yapılabilir. 21 sayısı 3 ve 7’ye tam bölündüğü için bileşiktir. 17 içinse 1 ve 17 dışında pozitif bölen bulunmadığından asal sonucu elde edilir. Bileşik sayıların asal çarpanlara ayrılması ayrı bir konudur ve ilgili bağlantıdan incelenebilir.
1 ve 2 Sayılarının Özel Durumu
1 sayısı asal değildir. Çünkü asal sayı olmanın ilk koşulu 1’den büyük olmaktır; ayrıca 1’in yalnızca bir pozitif böleni vardır. Bu nedenle 1, tam olarak iki pozitif böleni olan asal sayı tanımını karşılamaz.
2 sayısı ise asaldır. Pozitif bölenleri yalnızca 1 ve 2’dir. Ayrıca 2, çift olan tek asal sayıdır. Diğer bütün çift doğal sayılar 2’ye tam bölündüğü için 2’den büyük çift sayılar asal olamaz. Örneğin 6’nın 1 ve 6 dışında 2 ve 3 bölenleri de vardır; bu yüzden bileşiktir.
Bir Sayının Asal Olup Olmadığını Kontrol Etme
Bir sayının asal olup olmadığını temel düzeyde anlamak için önce sayının 1’den büyük olup olmadığına bakılır. Sayı 1 ise asal değildir. Daha sonra sayı, 1 ve kendisi dışındaki uygun doğal sayılara bölünerek kontrol edilir. Bu sayılardan herhangi birine tam bölünüyorsa sayının ikiden fazla pozitif böleni vardır ve sayı bileşiktir. Hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır.
Örneğin 19’u kontrol edelim. 19; 2’ye, 3’e, 4’e ve 5’e tam bölünmez. 19’un karekökü yaklaşık 4,4 olduğundan bu kontroller yeterlidir; 19’un 1 ve kendisi dışında bir böleni yoktur, dolayısıyla 19 asaldır. 25’i kontrol ettiğimizde 5’e tam bölündüğünü görürüz. 25 = 5 × 5 olduğundan 1 ve 25’in yanı sıra 5 de bölenidir; bu nedenle 25 bileşiktir.
Küçük sayılarda bölenleri tek tek listelemek pratiktir. Örneğin 14 için 1, 2, 7 ve 14 bölenleri bulunur; iki taneden fazla bölen olduğu için asal değildir. Kontrol sırasında bir tane bile ek bölen bulmak bile bileşik sonucuna ulaşmak için yeterlidir. İleri asal testleri ve asal sayı algoritmaları daha büyük sayılar için kullanılan ayrı yöntemlerdir.
Bir yazılım, veri tabanı veya güvenlik uygulaması bir sayının asal olup olmadığını kontrol ederken sayının 1 ve kendisi dışında böleni bulunup bulunmadığını araştırabilir. Günlük hesaplamalarda ise bir sayının asal mı bileşik mi olduğunu anlamak, bölme ve çarpan ilişkilerini düzenlemeye yardımcı olur.
Sık sorulan sorular
1 neden asal sayı değildir?
1’den büyük olmadığı ve yalnızca bir pozitif böleni bulunduğu için asal değildir. Asal sayıların tam olarak iki pozitif böleni olmalıdır.
2 asal sayı mıdır?
Evet. 2’nin pozitif bölenleri yalnızca 1 ve 2’dir. Ayrıca 2, tek çift asal sayıdır.
Bir sayının bileşik olduğunu nasıl anlarım?
Sayı 1 ve kendisi dışında başka bir pozitif sayıya tam bölünüyorsa bileşiktir. Böylece ikiden fazla pozitif böleni bulunur.
Bir sayının asal olup olmadığını kontrol ederken ne yapmalıyım?
Önce sayının 1’den büyük olduğunu kontrol edin. Ardından 1 ve kendisi dışındaki uygun doğal sayılara bölmeyi deneyin; ek bir bölen bulursanız sayı asal değildir.