Faktöriyel Nedir? n! Gösterimi ve Temel Hesaplama Kuralları
Faktöriyel, 1’den belirli bir doğal sayıya kadar olan pozitif tam sayıların çarpımını kısa biçimde gösterir. n! ifadesinin anlamı, tanım kümesi, 0! = 1 özel durumu ve temel sadeleştirme kuralları örneklerle açıklanır.
Bu yazıda (5)
Faktöriyel, art arda gelen pozitif tam sayıların çarpımını kısa ve düzenli biçimde yazmayı sağlayan matematiksel bir gösterimdir. Bir sayının sağına ünlem işareti konularak yazılır: n!.
Faktöriyel tanımı ve n! gösterimi
n pozitif bir tam sayı olduğunda n! gösterimi, 1’den n’ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımı anlamına gelir. Genel tanım şöyledir: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Buradaki ünlem işareti, noktalama işareti olarak değil, faktöriyel işlemini belirtmek için kullanılır.
Örneğin 5! ifadesi, 1’den 5’e kadar olan sayıların çarpımıdır: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Benzer şekilde 3! = 1 · 2 · 3 = 6 olur. Faktöriyel gösterimi, uzun bir çarpımı tek bir sembolle ifade eder; sayılar büyüdükçe bu kısa gösterim özellikle kullanışlı hâle gelir. Örneğin 7! ifadesini doğrudan 1’den 7’ye kadar çarparak hesaplayabiliriz: 7! = 5040.
Faktöriyel gösteriminin tanım kümesi ve okunması
Faktöriyel, lise düzeyindeki temel kullanımda negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır: 0, 1, 2, 3, ... . n! ifadesi “n faktöriyel” diye okunur. Örneğin 4! “dört faktöriyel”, 8! ise “sekiz faktöriyel” şeklinde okunur. Faktöriyel işareti bir sayının sağına yazılır ve kendisinden önceki sayının faktöriyelini belirtir.
Bu nedenle 6! ifadesi, 6 ile 1 arasındaki pozitif tam sayıların çarpımını anlatır; yalnızca 6 sayısını göstermez. Negatif tam sayılar için bu temel faktöriyel tanımı kullanılmaz. Faktöriyel gösterimi, ardışık tam sayıların çarpımını ifade ettiği için özellikle dizi formüllerinde ve sayma işlemlerinde karşımıza çıkar.
0! = 1 sınır durumu
Faktöriyel tanımındaki özel başlangıç değeri 0! = 1’dir. İlk bakışta 0’dan 1’e kadar çarpılacak pozitif bir tam sayı olmadığı için bu sonuç şaşırtıcı görünebilir. Ancak faktöriyel işleminin ardışık kurallarla tutarlı olması için boş çarpımın değeri 1 kabul edilir. Böylece faktöriyel dizisi 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6 şeklinde başlar.
Bu değer özyineleme ilişkisiyle de görülebilir. 1! = 1 · 0! olduğuna göre 1! değerinin 1 olması için 0! değerinin 1 olması gerekir. Aynı kural 2! = 2 · 1!, 3! = 3 · 2! gibi ifadelerde de kesintisiz çalışır. Örneğin 4! = 4 · 3! = 4 · 6 = 24’tür; bir faktöriyeli geriye doğru indirirken 1! aşamasından sonra 0! = 1 değeri kullanılır. Bu nedenle 0! = 1, rastgele seçilmiş bir sonuç değil, temel faktöriyel kurallarının birlikte uyumlu kalmasını sağlayan sınır durumudur.
Faktöriyelin temel hesaplama ve özyineleme ilişkisi
Bir faktöriyel, kendisinden bir küçük sayının faktöriyeli kullanılarak hesaplanabilir. Bu özyineleme ilişkisi n! = n · (n − 1)! biçimindedir. Yani n sayısının faktöriyelini bulmak için n sayısı, bir önceki sayının faktöriyeliyle çarpılır. Başlangıç değeri olarak 0! = 1 bilindiğinde bu ilişki bütün pozitif tam sayılar için sırayla uygulanabilir.
Örneğin 6! değerini bulmak için 6! = 6 · 5! yazılır. 5! = 120 olduğundan 6! = 6 · 120 = 720 olur. Aynı yöntemle 4! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2! şeklinde ilerlenebilir. Bu ilişki, faktöriyeli her defasında baştan 1’den n’ye kadar yazmak yerine daha önce hesaplanan değerden yararlanmayı sağlar.
Faktöriyelli ifadelerde temel sadeleştirme
Faktöriyelli ifadeleri sadeleştirirken büyük çarpımların tamamını hesaplamak yerine faktöriyelin ardışık çarpım yapısından yararlanılır. n! = n · (n − 1)! kuralı, büyük faktöriyellerin ortak bölümlerini görünür hâle getirir. Örneğin 6! / 4! ifadesinde 6! = 6 · 5 · 4! olduğundan 4! ortak çarpanı sadeleşir: 6! / 4! = (6 · 5 · 4!) / 4! = 6 · 5 = 30.
Benzer biçimde 8! / 6! = (8 · 7 · 6!) / 6! = 8 · 7 = 56 olur. Burada 8! ve 6! değerlerini ayrı ayrı hesaplamak gerekmez. Bir başka örnekte 5! / 3! = (5 · 4 · 3!) / 3! = 5 · 4 = 20’dir. Sadeleştirme yapılırken küçük faktöriyel, büyük faktöriyel içinde aynen bulunacak şekilde açılır; ardından ortak faktöriyel çarpanı yok edilir. Faktöriyelli denklemler ve eşitsizlikler ise bu temel sadeleştirme kuralını kullanan ayrı bir konudur.
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n n! = n · (n − 1)! 0! = 1
Bir sınıftaki öğrencilerin farklı sıralara dizilmesi gibi sıralama durumlarının sayısını hesaplarken faktöriyel yapısından yararlanılır. Örneğin üç farklı nesnenin sıralanma sayısı 3! ile ifade edilir.
0! = 1 özel değerini gözden kaçırmamak ve sadeleştirmede büyük faktöriyeli küçük faktöriyel cinsinden yazmak ayırt edicidir. Örneğin 6! / 4! ifadesi, faktöriyelleri ayrı ayrı hesaplamadan 6 · 5 olarak sadeleştirilebilir.
Sık sorulan sorular
5! ne anlama gelir?
5!, 1’den 5’e kadar olan pozitif tam sayıların çarpımıdır: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
Faktöriyel nasıl okunur?
Bir sayının sağına yazılan ! işareti “faktöriyel” diye okunur. Örneğin 4!, “dört faktöriyel” şeklinde okunur.
0! neden 1’e eşittir?
0! = 1 kabulü, n! = n · (n − 1)! özyineleme kuralının 1! için de tutarlı çalışmasını sağlar. Böylece 1! = 1 · 0! olduğunda 0! değeri 1 olmalıdır.
Faktöriyelli ifadeler nasıl sadeleştirilir?
Büyük faktöriyel, küçük faktöriyeli içerecek şekilde yazılır ve ortak faktöriyel çarpanı sadeleştirilir. Örneğin 6! / 4! = (6 · 5 · 4!) / 4! = 30.
Negatif sayıların faktöriyeli var mıdır?
Temel faktöriyel tanımı negatif olmayan tam sayılar için kullanılır; negatif tam sayılar bu tanım kümesine girmez.
- •Algebra and Trigonometry — Sequences and Their Notations / Using Factorial Notationopenstax.org
- •Intermediate Algebra — Sequences / Use Factorial Notationopenstax.org
- •College Algebra — Sequences and Their Notations / Using Factorial Notationopenstax.org
- •Precalculus — Sequences and Their Notations / Using Factorial Notationopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org