Alt Küme Nedir? Alt Küme İlişkisi Nasıl Kurulur?
Bir kümenin başka bir kümenin alt kümesi olması, ilk kümenin her elemanının ikinci kümede bulunmasına bağlıdır. Alt küme sembolünün yönü, boş küme ve kümenin kendisi ile öz alt küme arasındaki fark örneklerle açıklanır.
Bu yazıda (5)
A kümesindeki her eleman B kümesinde de bulunuyorsa A, B kümesinin alt kümesidir. Alt küme ilişkisini anlamanın temel yolu, kümelerin görünüşünü değil elemanlarını karşılaştırmaktır.
Alt Kümenin Tanımı ve Alt Küme Olma Koşulu
A ve B birer küme olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinde bulunuyorsa A, B kümesinin alt kümesidir. Bu ilişki A ⊆ B biçiminde gösterilir. Burada önemli olan, A kümesindeki elemanların tamamının B içinde yer almasıdır; B kümesinde A’da bulunmayan başka elemanların olması alt küme ilişkisini bozmaz.
Örneğin A = {1, 3} ve B = {1, 2, 3, 4} kümelerini ele alalım. A’daki 1 ve 3 elemanlarının ikisi de B’de bulunduğu için A ⊆ B olur. B’nin 2 ve 4 gibi fazladan elemanlara sahip olması sonucu değiştirmez. Buna karşılık C = {1, 5} için C ⊆ B denilemez; çünkü C’nin 5 elemanı B’de yoktur. Demek ki alt küme olma koşulu, küçük görünen kümenin elemanlarının büyük görünen kümede bulunması değil, gerçekten her bir elemanın karşı kümede yer almasıdır.
Bir elemanın iki kez yazılması da kümeyi değiştirmez; kümelerde elemanların tekrarları dikkate alınmaz. Örneğin {a, b} ile {a, a, b} aynı kümeyi ifade eder. Bu nedenle alt küme kontrolünde yazılış sırasına veya tekrar sayısına değil, hangi farklı elemanların bulunduğuna bakılır.
Alt Küme Gösterimi ve İlişkinin Yönü
Alt küme ilişkisi ⊆ sembolüyle gösterilir. A ⊆ B yazıldığında okuma yönü “A, B’nin alt kümesidir” şeklindedir. Sembolün açık tarafı kapsayan kümeye, yani B’ye dönüktür. İlişki, elemanları içeren kümeden onları kapsayan kümeye doğru kurulur.
Örneğin K = {mavi, kırmızı} ve L = {mavi, kırmızı, sarı} ise K ⊆ L’dir. Ters yönde L ⊆ K yazılamaz; çünkü L’de bulunan sarı elemanı K’de yoktur. Bu durum, alt küme sembolünün yönünün yalnızca görsel bir tercih olmadığını gösterir. Önce elemanları kontrol edilen küme, sembolün soluna; bu elemanların tamamını içeren küme ise sağına yazılır.
İki küme aynı elemanlara sahipse her iki yönde de alt küme ilişkisi kurulabilir. Örneğin M = {2, 4} ve N = {4, 2} aynı kümelerdir; dolayısıyla M ⊆ N ve N ⊆ M doğrudur. Küme elemanlarının sırası önemli olmadığı için bu iki gösterim farklı kümeler oluşturmaz.
Alt Küme İlişkisinin Elemanlar Üzerinden Kontrolü
A ⊆ B kararını vermek için A kümesinin elemanları tek tek incelenir ve her birinin B’de bulunup bulunmadığı kontrol edilir. A’nın bir elemanı bile B’de yoksa alt küme ilişkisi kurulamaz. A’daki bütün elemanlar B’de bulunuyorsa, B’nin daha fazla elemana sahip olup olmadığına bakılmaksızın A ⊆ B kabul edilir.
Örneğin A = {2, 4, 6} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olsun. 2, 4 ve 6’nın her biri B’de bulunduğu için A ⊆ B’dir. C = {2, 4, 7} içinse C ⊆ B yanlıştır; çünkü 7, B’nin elemanı değildir. Kontrol sırasında “B’deki her eleman A’da var mı?” sorusu sorulmaz. Sorulması gereken soru “A’daki her eleman B’de var mı?” sorusudur. İlişkinin yönünü doğru kurmak, alt küme sorularındaki en önemli adımdır.
Boş Küme ve Kümenin Kendisi
Boş küme, hiç elemanı olmayan kümedir ve ∅ sembolüyle gösterilir. Boş küme her kümenin alt kümesidir: ∅ ⊆ A. Bunun nedeni, boş kümede karşılaştırılacak ve A’da bulunmayan hiçbir elemanın olmamasıdır. Örneğin A = {1, 2, 3} için ∅ ⊆ A doğrudur. Boş kümeyi “hiçbir kümenin alt kümesi değildir” biçiminde yorumlamak yanlıştır.
Her küme kendisinin de alt kümesidir. A kümesindeki her eleman zaten A’nın içinde bulunduğundan A ⊆ A yazılabilir. Örneğin B = {a, c, e} için B ⊆ B doğrudur. Böylece alt küme ilişkisinde iki temel sınır durumu ortaya çıkar: en az elemana sahip boş küme her kümenin alt kümesidir; herhangi bir küme de kendisinin alt kümesidir. Bir kümenin alt kümelerinin kaç tane olduğunu bulma konusu ise ayrı bir sayma konusudur.
Alt Küme ile Öz Alt Küme Arasındaki Fark
Alt küme ilişkisinde kümelerin eşit olmasına izin verilir. Bu nedenle A ⊆ B ifadesi, A’nın B’den küçük olmasını zorunlu kılmaz; A ve B aynı elemanlara sahipse de doğrudur. Örneğin A = {1, 2} ve B = {1, 2} için A ⊆ B yazılır.
Öz alt kümede ise iki kümenin eşit olması istenmez. A’nın B’nin öz alt kümesi olması için A’daki her eleman B’de bulunmalı ve B’de A’da bulunmayan en az bir eleman olmalıdır. Bu ilişki A ⊊ B sembolüyle gösterilebilir. Örneğin A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3} için A ⊊ B’dir; çünkü A’nın bütün elemanları B’de bulunur ve B’de ayrıca 3 vardır. Ancak A = B ise A ⊊ B denilemez, yalnızca A ⊆ B denebilir.
Boş küme, boş olmayan her kümenin öz alt kümesidir; çünkü boş kümenin bütün elemanları karşılanır ve karşı kümede fazladan eleman bulunur. Bir küme ise kendisinin alt kümesidir fakat öz alt kümesi değildir.
Bir alışveriş listesindeki ürünlerin bir kısmını içeren liste, ana listedeki her ürünün ana listede bulunması koşuluyla onun alt kümesi sayılabilir. Örneğin {süt, ekmek}, {süt, ekmek, yumurta} listesinin alt kümesidir; ters yön doğru değildir.
Alt küme kontrolünde yönü karıştırmamak için soldaki kümenin her elemanını sağdaki kümede arayın. Eşit kümelerde A ⊆ B doğru olsa da A ⊊ B yanlıştır; öz alt küme için sağdaki kümede fazladan en az bir eleman bulunmalıdır.
Sık sorulan sorular
A ⊆ B demek, A ve B’nin eleman sayılarının eşit olması gerektiği anlamına mı gelir?
Hayır. B, A’nın elemanlarının tamamını içerdiği sürece B’de A’da olmayan elemanlar bulunabilir. Kümeler eşitse de A ⊆ B doğrudur.
Boş küme her kümenin alt kümesi midir?
Evet. Boş kümede karşı kümede bulunmayan hiçbir eleman olmadığı için ∅ ⊆ A her küme A için doğrudur.
Bir küme kendisinin alt kümesi olabilir mi?
Evet. Bir kümenin bütün elemanları yine kendisinde bulunduğu için A ⊆ A doğrudur.
Alt küme ile öz alt küme arasındaki temel fark nedir?
Alt küme ilişkisinde kümeler eşit olabilir. Öz alt kümede ise ilk kümenin tüm elemanları ikinci kümede bulunmalı ve ikinci kümede fazladan en az bir eleman olmalıdır.
- •Alt Küme Sayısı Nasıl Bulunur?sinavboard.com