Kümelerde Birleşim, Kesişim, Fark ve Tümleme İşlemleri

Küme işlemlerinin gösterimi ve anlamı

Küme işlemleri, kümelerin elemanları üzerinde belirli kurallarla yapılan işlemlerdir. Kümeler genellikle büyük harflerle, elemanlar ise küçük harflerle gösterilir. A ve B iki küme olduğunda birleşim A ∪ B, kesişim A ∩ B, A kümesinin B kümesine göre farkı A − B ve A kümesinin tümleyeni A' ya da Aᶜ ile gösterilir. Tümleyen işlemi için ayrıca bir evrensel küme gerekir.

Sembollerin günlük dildeki karşılıkları birbirinden farklıdır. A ∪ B, “A veya B kümesinde bulunan” elemanları; A ∩ B, “hem A hem B kümesinde bulunan” elemanları ifade eder. A − B, A'da olup B'de olmayan elemanları seçer. A' ise evrensel kümede bulunup A'da bulunmayan elemanları gösterir. Bir elemanın bir kümeye ait olması ∈, ait olmaması ∉ sembolleriyle yazılır.

Örneğin A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4} olsun. 3 her iki kümede de bulunduğu için 3 ∈ A ∩ B olur. 1 ise A'da bulunduğundan 1 ∈ A ∪ B ve 1 ∈ A − B ifadeleri doğrudur. Ancak 1, B kümesinde bulunmadığı için 1 ∈ B − A denemez. Sonuçları liste yöntemiyle yazarken her eleman yalnızca bir kez gösterilir; bu yöntem, sembolle yapılan işlemi kontrol etmeye yardımcı olur.

Kümeler Venn şemasıyla da gösterilebilir. Kümeleri temsil eden kapalı bölgelerin ortak kısmı kesişimi, iki bölgenin tamamı birleşimi, yalnızca bir bölgenin ortak olmayan kısmı ise farkı görselleştirir.

Birleşim işlemi

İki veya daha fazla kümenin birleşimi, bu kümelerin en az birinde bulunan tüm elemanlardan oluşur. A ve B kümelerinin birleşimi A ∪ B şeklinde gösterilir. Günlük dilde “A'da veya B'de bulunanlar” anlamına gelir; buradaki “veya” en az bir kümede bulunmayı ifade eder.

Birleşim oluşturulurken önce A'nın ve B'nin elemanları dikkate alınır, sonra tekrar eden elemanlar tek kez yazılır. Bir eleman A'da bulunuyorsa, B'de bulunup bulunmadığına bakılmaksızın birleşime alınır. Aynı şekilde yalnızca B'de bulunan elemanlar da birleşimde yer alır. Bu nedenle birleşim, iki kümenin ortak elemanlarını dışlamaz; ortak elemanlar da sonuçta bulunur.

A = {1, 2, 4} ve B = {2, 3, 5} kümeleri için A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} olur. 2 her iki kümede bulunduğu hâlde sonuçta iki kez değil, bir kez yazılır. 1 ve 4 yalnızca A'da, 3 ve 5 yalnızca B'de bulunduğu için onların hepsi birleşime eklenir.

Birleşimi bulurken “iki kümede ortak olanları yaz” demek yeterli değildir; bu, kesişim işlemidir. Birleşimde amaç, kümelerin kapsadığı bütün farklı elemanları toplamaktır. Eleman sayısına dayalı daha kapsamlı işlem soruları ayrı bir başlıkta incelenir.

Kesişim işlemi

İki veya daha fazla kümenin kesişimi, kümelerin tamamında ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur. A ve B kümelerinin kesişimi A ∩ B biçiminde gösterilir. Günlük dilde “hem A'da hem B'de bulunanlar” anlamına gelir.

Kesişim bulunurken bir elemanın iki kümeyi de aynı anda sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Yalnızca A'da veya yalnızca B'de bulunan elemanlar sonuca alınmaz. Kümelerde ortak eleman yoksa kesişim boş kümedir ve ∅ sembolüyle gösterilir. Böylece kesişim, birleşimin tersine, yalnızca ortak bölgeyi seçer.

A = {1, 2, 4} ve B = {2, 3, 5} için iki kümede birden bulunan tek eleman 2'dir. Bu nedenle A ∩ B = {2} olur. C = {7, 8} kümesi için A ∩ C = ∅ yazılır; çünkü A ile C'nin ortak elemanı yoktur.

Birleşim ile kesişimi ayırt etmek için kullanılan kelimelere dikkat edilebilir: “veya” birleşimi, “hem... hem...” ifadesi kesişimi anlatır. Venn şemasında kesişim, kümeleri temsil eden bölgelerin üst üste gelen ortak kısmıdır.

Fark işlemi

Fark işlemi, bir kümede bulunup diğer kümede bulunmayan elemanları seçer. A kümesinden B kümesinin farkı A − B veya A \ B ile gösterilir ve “A'da olup B'de olmayanlar” şeklinde okunur. Fark işlemi yönlüdür; ilk yazılan küme elemanların aranacağı başlangıç kümesidir.

A − B bulunurken A'nın her elemanı tek tek incelenir. Eleman B'de de varsa çıkarılır, yalnızca A'da varsa sonuçta bırakılır. Bu nedenle işlemde kümelerin sırası değiştirilemez. A − B ile B − A çoğu durumda farklı kümelerdir; iki işlem ancak özel durumlarda aynı sonucu verebilir.

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5} olsun. A − B işleminde A'nın 1 ve 2 elemanları B'de bulunmadığı için A − B = {1, 2} elde edilir. B − A işleminde ise B'nin 5 elemanı A'da bulunmaz; dolayısıyla B − A = {5} olur. Aynı kümeler kullanılmasına rağmen sonuçların farklı olması, fark işleminin yönlü olduğunu gösterir.

Fark işleminde birleşim veya kesişimde olduğu gibi iki kümenin bütün elemanları birlikte taranmaz; başlangıç kümesinin elemanları esas alınır. “A'dan B'yi çıkar” ifadesinde önce A yazılır, sonra B'nin elemanları A'dan elenir.

Tümleme işlemi ve evrensel küme

Bir kümenin tümleyeni, belirlenen evrensel kümede bulunup o kümenin içinde bulunmayan elemanlardan oluşur. Evrensel küme, üzerinde çalışılan konuya ait tüm elemanları içeren ve genellikle U ile gösterilen kümedir. A kümesinin tümleyeni A' veya Aᶜ ile yazılır ve A' = U − A anlamına gelir.

Tümlemenin sınırı evrensel kümeye bağlıdır; evrensel küme değişirse tümleyen de değişebilir. Örneğin U = {1, 2, 3, 4, 5} ve A = {1, 3} ise A' = {2, 4, 5} olur. Aynı A kümesi için evrensel küme V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} seçilirse bu kez A' = {2, 4, 5, 6, 7} elde edilir. A'nın dışında kalan elemanlar yalnızca U'nun içinden seçilir; U'da bulunmayan elemanlar tümleyene eklenmez.

Bu nedenle tümleme işleminde önce evrensel küme mutlaka belirlenmelidir. A'nın dışında olma koşulu tek başına yeterli değildir; elemanın aynı zamanda evrensel kümede bulunması gerekir.

Birden fazla küme işleminin işlem sırası

Bir ifadede birden fazla küme işlemi varsa parantezler, hangi işlemin önce yapılacağını belirler. Önce parantez içindeki işlem tamamlanır; ardından kalan işlem uygulanır. Parantez yoksa işlem sırası açıkça belirtilmeli; belirsizlik doğuran durumlarda parantez kullanılmalıdır. Aynı türden olmayan işlemleri karıştırmamak için ara sonuçları ayrı bir küme olarak yazmak güvenlidir.

Örneğin A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} ve C = {3, 4, 5} olsun. (A ∪ B) ∩ C ifadesinde önce A ∪ B bulunur: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Sonra bu sonuç C ile kesiştirilir ve (A ∪ B) ∩ C = {3, 4} elde edilir. Parantez olmasaydı A ∪ (B ∩ C) biçimindeki ifade farklı bir işlem düzenini anlatır; önce B ∩ C = {3, 4} bulunur, ardından A ile birleşim alınır ve sonuç {1, 2, 3, 4} olur.

Tümleyen içeren ifadelerde de tümleyen alınacak küme ve evrensel küme açıkça belirlenmelidir. Örneğin U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2} ve B = {2, 3} için A ∪ B = {1, 2, 3}, ardından (A ∪ B)' = {4, 5} bulunur. Önce A ve B'nin tümleyenlerini ayrı ayrı bulup sonra bunlarla işlem yapmak, parantezli ifadenin belirlediği adımla aynı şey değildir; parantezin gösterdiği işlem korunmalıdır.

Sonuçları kontrol etmek için her ara küme liste yöntemiyle açıkça yazılabilir. Böylece bir elemanın birleşimde en az bir kümeye, kesişimde bütün kümelere, farkta ise yalnızca ilk kümeye uygun olup olmadığı adım adım görülür.