Küme Nedir? Eleman, Aitlik ve Temel Gösterimler

Kümenin tanımı ve iyi tanımlanmışlık

Küme, eleman adı verilen nesnelerden oluşan iyi tanımlanmış bir topluluktur. Buradaki “iyi tanımlanmış” ifadesi, bir nesnenin kümeye ait olup olmadığına kesin ve anlaşılır biçimde karar verilebilmesi anlamına gelir. Karar kişiden kişiye değişmemeli ve kullanılan ölçüt belirsizlik taşımamalıdır.

Örneğin, “10’dan küçük doğal sayılar” topluluğu bir kümedir. Çünkü 3, 7 ve 9’un bu topluluğa ait olduğu; 10 ve 12’nin ise ait olmadığı açıkça belirlenebilir. Bu küme liste yöntemiyle A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} biçiminde yazılabilir. Buna karşılık “güzel sayılar” ifadesi iyi tanımlanmış bir topluluk oluşturmaz. Bir kişinin güzel bulduğu sayıyı başka biri güzel bulmayabilir; bu nedenle kümeye hangi sayıların gireceği kesin değildir.

İyi tanımlanmışlık, kümenin nasıl çalıştığını belirleyen temel özelliktir: Önce topluluğun ölçütü belirlenir, ardından her nesne bu ölçüte göre sınanır. Ölçütü sağlayan nesneler kümeye alınır, sağlamayanlar alınmaz. “Sınıftaki kız öğrenciler” ifadesi, hangi sınıftan söz edildiği biliniyorsa ve öğrencilerin cinsiyetiyle ilgili ölçüt açıkça kullanılıyorsa bir küme olarak ele alınabilir. Ancak “sınıftaki başarılı öğrenciler” ifadesi, başarı ölçütü belirtilmezse belirsiz kalır. Bu yüzden bir topluluğu küme olarak değerlendirirken önce elemanların seçilme kuralına bakılır.

Eleman ve kümeye aitlik

Bir kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Eleman bir sayı, harf, şekil, kişi veya başka bir nesne olabilir. Örneğin A = {2, 4, 6, 8} kümesinin elemanları 2, 4, 6 ve 8’dir. Kümenin içinde bulunan bir nesnenin o kümeye ait olduğunu göstermek için ∈ sembolü kullanılır. Bu nedenle 4 ∈ A yazımı “4, A kümesinin elemanıdır” diye okunur. Kümeye ait olmayan bir nesne için ∉ sembolü kullanılır; 5 ∉ A ifadesi “5, A kümesinin elemanı değildir” anlamına gelir.

Aitlik kontrolü, nesnenin kümenin belirleyici özelliğini taşıyıp taşımadığına bakılarak yapılır. A = {2, 4, 6, 8} kümesinde yalnızca verilen dört sayı bulunur. 6 bu listede yer aldığı için 6 ∈ A olur; 7 listede yer almadığı için 7 ∉ A olur. Aynı şekilde B = {pazartesi, salı, çarşamba} kümesinde salı bir elemandır ve salı ∈ B yazılır. Cumartesi ise B’nin elemanı değildir ve cumartesi ∉ B olur.

Bir elemanın kümeye ait olması ile kümenin kendisi aynı şey değildir. A = {2, 4, 6, 8} ifadesinde A kümenin adıdır; 2, 4, 6 ve 8 ise bu kümenin elemanlarıdır. Ayrıca bir eleman liste içinde birden fazla kez yazılsa bile genellikle bir kez dikkate alınır: {1, 1, 2, 3} ile {1, 2, 3} aynı elemanlardan oluşur. Aitlik sembolü yalnızca bir nesnenin doğrudan bir kümenin elemanı olup olmadığını belirtir. Bu ayrım, sonraki küme karşılaştırmalarını doğru yapabilmek için önemlidir.

Kümelerin temel gösterim biçimleri

Bir küme, aynı elemanları gösterecek farklı yöntemlerle ifade edilebilir. Elemanların tek tek yazıldığı gösterime liste yöntemi denir. Örneğin 5’ten küçük pozitif doğal sayılar A = {1, 2, 3, 4} şeklinde yazılır. Eleman sayısı az ve elemanlar kolayca sıralanabiliyorsa liste yöntemi pratiktir. Elemanların hangi özelliğe sahip olduğunu belirten gösterime ortak özellik yöntemi denir. Aynı küme A = {x | x, 5’ten küçük pozitif doğal sayıdır} biçiminde gösterilebilir. Dikey çizginin solundaki x, kümeye alınacak nesneyi; sağındaki açıklama ise bu nesnenin taşıması gereken özelliği belirtir.

Kümeler, özellikle elemanlar arasındaki ilişkiyi görsel olarak göstermek için kapalı bir şekil içinde de ifade edilebilir. Bu tür görsel gösterimlerde kümenin elemanları kapalı bölgenin içine yazılır. Bir eleman bölgenin içindeyse kümeye ait, dışındaysa kümeye ait değildir. Aynı kümenin liste yöntemiyle, ortak özellik yöntemiyle veya uygun bir görselle gösterilmesi, kümenin elemanlarını değiştirmez; yalnızca anlatım biçimini değiştirir. Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleyen gibi işlemler ise bu temel gösterimlerin ötesindeki ayrı bir konudur.

Kümelerin eşitliği

İki küme, elemanları tamamen aynıysa eşittir. Kümelerin eşitliğini belirlerken elemanların yazılış sırasına değil, hangi elemanların bulunduğuna bakılır. Örneğin A = {1, 3, 5} ve B = {5, 1, 3} kümeleri eşittir; çünkü A’nın her elemanı B’de, B’nin her elemanı da A’da bulunur. Bu durum A = B sembolüyle gösterilir.

Eşitlik kontrolü için önce birinci kümedeki her elemanın ikinci kümede bulunup bulunmadığı, sonra da ikinci kümedeki her elemanın birinci kümede bulunup bulunmadığı incelenir. A = {a, b, c} ve B = {a, b, d} kümeleri eşit değildir; çünkü c ∈ A olduğu hâlde c ∉ B’dir. Aynı şekilde d ∈ B iken d ∉ A’dır. Tek bir farklı elemanın bulunması bile kümelerin eşit olmaması için yeterlidir.

Kümelerde tekrarlar eşitlik değerlendirmesinde yeni eleman oluşturmaz. C = {2, 4, 4, 6} ve D = {6, 2, 4} ifadeleri aynı elemanları içerdiği için eşittir. Buna karşılık bir kümede bulunan elemanların sayısı veya sırası farklı olabilir; önemli olan elemanların kendileridir. Bir kümenin başka bir kümenin elemanlarını bütünüyle içerip içermesi alt küme ve kapsama ilişkileriyle ilgilidir; bu konu burada yalnızca temel düzeyde tanıtılmıştır.

Boş küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme geçerli bir kümedir; çünkü bir topluluğun eleman içermemesi, onun küme olmasına engel değildir. Boş küme ∅ sembolüyle veya { } biçiminde gösterilir. Bu iki gösterim aynı anlama gelir.

Boş küme oluşturmak için belirli bir ölçüt kullanılır, fakat bu ölçütü sağlayan hiçbir nesne bulunmaz. Örneğin “hem 2’den küçük hem de 5’ten büyük doğal sayılar” topluluğunda bu koşulları aynı anda sağlayan bir sayı yoktur. Bu nedenle bu topluluk boş kümedir. Benzer biçimde, “3 ile 4 arasında bulunan tam sayılar” kümesi de boş kümedir; çünkü 3 ile 4 arasında bir tam sayı bulunmaz.

Boş küme ile içinde boş küme elemanı bulunan küme birbirinden farklıdır. ∅ ifadesi hiç elemanı olmayan bir kümeyi anlatır. {∅} ise tek elemanı boş küme olan bir kümedir. Bu nedenle ∅ kümesinin eleman sayısı 0, {∅} kümesinin eleman sayısı 1’dir. Boş kümeyi bir ölçütün sonuç vermemesi olarak düşünebiliriz: Kural vardır, ancak kurala uyan hiçbir eleman yoktur. Bu ayrım, aitlik sorularında da önemlidir; ∅ kümesinin hiçbir elemanı olmadığı için her x için x ∉ ∅ doğrudur; x ∈ ∅ ifadesi ise hiçbir x için sağlanmaz.

Kümenin eleman sayısı

Sonlu bir kümede bulunan farklı elemanların sayısına o kümenin eleman sayısı denir ve genellikle s(A) veya |A| ile gösterilir. A = {2, 4, 6, 8} için |A| = 4, boş küme için ise |∅| = 0’dır. Aynı elemanın tekrarlı yazılması eleman sayısını artırmaz.