AYT Matematik Formülleri: Konu Konu Hızlı Tekrar Rehberi
AYT Matematikte sık kullanılan cebir, fonksiyon, dizi, trigonometri, olasılık, geometri ve kalkülüs formülleri konu başlıklarına ayrılır. Her formülün hangi durumda kullanılacağı ve dikkat edilmesi gereken koşullar kısaca açıklanır. Böylece sınav öncesinde aranan bağıntıya hızlıca ulaşılabilir.
Bu yazıda (17)
- ›Cebirsel ifadeler, polinomlar ve ikinci dereceden denklemler
- ›İkinci dereceden denklemler ve kök ilişkileri
- ›Fonksiyonlar, üstel ve logaritmik ifadeler
- ›Üstel ve logaritmik özellikler
- ›Diziler ve seriler
- ›Geometrik diziler ve seriler
- ›Trigonometri
- ›Özel açılar ve temel trigonometrik değerler
- ›Toplam-fark ve iki kat açı bağıntıları
- ›Kombinasyon, binom ve olasılık
- ›Analitik geometri ve temel geometri formülleri
- ›Çember ve temel şekiller
- ›Limit, türev ve integral
- ›Türev ve türev uygulamaları
- ›İntegral ve integral uygulamaları
- ›Formüllerin kullanım koşulları ve sembol açıklamaları
- ›Karmaşık sayılar
AYT Matematik formüllerini yalnızca liste halinde bilmek yeterli değildir; hangi bilgilerin verildiğini ve hangi koşulda hangi bağıntının seçileceğini de tanımak gerekir. Ayrıntılı AYT Matematik konu anlatımı, çözümlü soru çalışması ve formülleri ezberleme stratejileri ayrı içeriklerin konusudur.
Cebirsel ifadeler, polinomlar ve ikinci dereceden denklemler
Cebirsel ifadelerde en sık kullanılan özdeşlikler, ifadeleri çarpanlara ayırmayı ve denklemleri sadeleştirmeyi sağlar: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ve a^2-b^2 = (a-b)(a+b). Küp özdeşlikleri de a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) ve a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) biçimindedir. Bir polinomun birinci dereceden çarpanlarını bulurken kalan teoremi ve çarpan teoremi kullanılır: P(a) değeri, P(x) polinomunun x-a ile bölümünden kalandır; P(a)=0 ise x-a polinomun bir çarpanıdır. Polinom bölmesinde bölüm, bölen, kalan ve bölünen arasındaki ilişki P(x) = B(x)Q(x) + R(x) şeklindedir.
İkinci dereceden denklemler ve kök ilişkileri
ax^2+bx+c=0 denkleminde a ≠ 0 olmak üzere kökleri doğrudan bulmak için x = (-b ± √Δ)/(2a) kullanılır. Burada Δ = b^2 - 4ac diskriminanttır. Δ>0 olduğunda iki farklı gerçek kök, Δ=0 olduğunda çakışık bir gerçek kök, Δ<0 olduğunda ise gerçek kök yoktur. Kökler x1 ve x2 ise x1+x2 = -b/a ve x1x2 = c/a bağıntıları geçerlidir; bu ilişkiler kökleri tek tek bulmadan toplam veya çarpım sorularını çözmeyi sağlar. Örneğin x^2-5x+6=0 için kökler 2 ve 3'tür; toplamları 5, çarpımları 6 olur ve bu değerler doğrudan kök-katsayı ilişkilerinden de görülür. İkinci dereceden denklemler yalnızca cebirsel ifadelerde değil, yükseklik-zaman veya alan gibi durumların modellenmesinde de ortaya çıkabilir. Böyle bir soruda matematiksel köklerden yalnızca probleme uygun olan, örneğin negatif olmayan zaman değeri seçilir.
Fonksiyonlar, üstel ve logaritmik ifadeler
Fonksiyon, tanım kümesindeki her girdiyi değer kümesinde belirli bir çıktıyla eşleştiren kuraldır. f ve g fonksiyonları için (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f-g)(x)=f(x)-g(x), (fg)(x)=f(x)g(x) ve (f/g)(x)=f(x)/g(x) bağıntıları kullanılır; bölüm işleminde g(x) ≠ 0 olmalıdır. Bileşke fonksiyon (f∘g)(x)=f(g(x)), ters fonksiyon ise uygun koşullarda f^-1(f(x))=x ilişkisini sağlar. Grafik dönüşümlerinde f(x)+k grafiği k birim yukarı, f(x-r) grafiği r birim sağa taşır; a·f(x) dikey ölçeklemeyi etkiler.
Üstel ve logaritmik özellikler
Üstel ifadelerde a>0 ve a≠1 için a^m·a^n=a^(m+n), a^m/a^n=a^(m-n), (a^m)^n=a^(mn) ve a^(-n)=1/a^n kullanılır. Logaritma, üstel işlemin tersidir: log_a x = y ifadesi a^y=x anlamına gelir. Temel bağıntılar log_a 1=0, log_a a=1, log_a(xy)=log_a x+log_a y, log_a(x/y)=log_a x-log_a y ve log_a(x^r)=r log_a x biçimindedir. Taban değiştirme için log_a x = log_b x / log_b a yazılabilir. Örneğin log_2 8=3 çünkü 2^3=8; logaritmik bir denklemde önce logaritmanın içinin pozitif, tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.
Diziler ve seriler
Dizi, doğal sayıların her birine bir sayı karşılık getiren sıralı listedir. Aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve bu ortak fark d ile gösterilir. İlk terim a1 ise genel terim an = a1+(n-1)d, ilk n terimin toplamı Sn = n(a1+an)/2 = n[2a1+(n-1)d]/2 olur. Bu formüller, terimler arasındaki değişimin sabit olduğu durumlarda kullanılır. Örneğin 4, 7, 10, ... dizisinde d=3'tür; beşinci terim 4+4·3=16 olur.
Geometrik diziler ve seriler
Geometrik dizide ardışık terimlerin oranı sabittir ve ortak oran r ile gösterilir. İlk terim a1 olmak üzere an = a1·r^(n-1) ve r≠1 için ilk n terimin toplamı Sn = a1(r^n-1)/(r-1) biçimindedir. Aynı toplam Sn = a1(1-r^n)/(1-r) şeklinde de yazılabilir. |r|<1 koşulunda sonsuz geometrik seri yakınsar ve toplamı S∞ = a1/(1-r) olur. Ortak fark ile ortak oran karıştırılmamalıdır: 3, 6, 12, ... dizisi aritmetik değil, r=2 olan geometrik dizidir.
Trigonometri
Trigonometri, açıların ve bu açılara karşılık gelen üçgensel oranların incelenmesidir. Dik üçgende sinüs karşı kenarın hipotenüse, kosinüs komşu kenarın hipotenüse, tanjant ise karşı kenarın komşu kenara oranıdır: sin x = karşı/hipotenüs, cos x = komşu/hipotenüs, tan x = karşı/komşu. Temel bağıntılar sin^2x+cos^2x=1, tan x=sin x/cos x ve cot x=cos x/sin x biçimindedir. Bir açının hangi bölgede bulunduğu, sinüs ve kosinüsün işaretini belirler; bu nedenle yalnızca mutlak değerleri değil, açının bölgesini de dikkate almak gerekir.
Özel açılar ve temel trigonometrik değerler
Özel açılarda değerleri bilmek, ifadeyi uzun hesap yapmadan sadeleştirmeyi sağlar. 0°, 30°, 45°, 60° ve 90° için sinüs değerleri sırasıyla 0, 1/2, √2/2, √3/2 ve 1; kosinüs değerleri 1, √3/2, √2/2, 1/2 ve 0'dır. Tanjant değerleri 0, √3/3, 1 ve √3'tür; 90° için tanjant tanımsızdır.
Toplam-fark ve iki kat açı bağıntıları
İki açının toplamı veya farkı verildiğinde toplam-fark formülleri kullanılır: sin(a±b)=sin a cos b ± cos a sin b ve cos(a±b)=cos a cos b ∓ sin a sin b. Tanjant için tan(a±b)=(tan a±tan b)/(1∓tan a tan b) bağıntısı geçerlidir; paydanın sıfır olmamasına dikkat edilir. İki kat açı formülleri sin 2a=2 sin a cos a, cos 2a=cos^2a-sin^2a=1-2sin^2a=2cos^2a-1 ve tan 2a=2tan a/(1-tan^2a) şeklindedir. Örneğin sin 30°=1/2 ve cos 60°=1/2 olduğundan sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ifadesi sin(30°+60°)=sin 90°=1 olarak hızlıca bulunur.
Kombinasyon, binom ve olasılık
Sayma sorularında önce sıralamanın önemli olup olmadığı belirlenir. n farklı nesneden r tanesini sıralı seçme sayısı permütasyonla P(n,r)=n!/(n-r)!, sırasız seçme sayısı kombinasyonla C(n,r)=n!/[r!(n-r)!] bulunur. Binom açılımı (a+b)^n = Σ C(n,k)a^(n-k)b^k biçimindedir; belirli bir terim aranıyorsa k değerine karşılık gelen katsayı seçilir. Kombinasyonlarda C(n,r)=C(n,n-r) simetrisi ve Pascal bağıntısı C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r) kullanılabilir. Eş olasılıklı sonlu bir örneklem uzayında P(A)=istenen durumların sayısı/tüm durumların sayısıdır. Tümleyen olay için P(A')=1-P(A), birleşim için P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), koşullu olasılık için P(A|B)=P(A∩B)/P(B) yazılır; P(B) ≠ 0 olmalıdır. Bağımsız olaylarda P(A∩B)=P(A)P(B) olur.
Analitik geometri ve temel geometri formülleri
Koordinat düzleminde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2], orta nokta M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2) ile bulunur. Eğim m=(y2-y1)/(x2-x1) olup x2≠x1 gerekir; doğrunun temel denklemleri y-y1=m(x-x1) ve ax+by+c=0 biçimindedir. İki doğrunun eğimleri çarpımı -1 ise doğrular, eğimler tanımlı olduğu durumda, birbirine diktir; eğimleri eşitse paraleldir. Noktanın ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı |ax0+by0+c|/√(a^2+b^2) formülüyle bulunur.
Çember ve temel şekiller
Merkezi (h,k), yarıçapı r olan çemberin denklemi (x-h)^2+(y-k)^2=r^2'dir. Orijin merkezli çemberde bu ifade x^2+y^2=r^2 olur. Çemberin çevresi 2πr, alanı πr^2; üçgenin alanı taban·yükseklik/2, dikdörtgenin alanı kısa kenar·uzun kenar ve dikdörtgenler prizmasının hacmi uzunluk·genişlik·yükseklik bağıntılarıyla hesaplanır. Dik üçgende Pisagor bağıntısı a^2+b^2=c^2, iki kenar ve hipotenüs arasındaki ilişkiyi verir. Bir geometri probleminde önce şeklin türü ve verilen uzunluklar belirlenir, ardından uygun alan, çevre, uzaklık veya hacim formülü seçilir.
Limit, türev ve integral
Limit, x bir değere yaklaşırken bir fonksiyonun değerinin yaklaştığı sonucu ifade eder. Doğrudan yerine koyma mümkünse limit lim(x→a) f(x)=f(a) olarak bulunur; belirsiz biçim oluştuğunda ifade çarpanlara ayrılabilir, sadeleştirilebilir veya uygun eşlenikle düzenlenebilir. Temel limitlerden lim(x→0) sin x/x=1 ve lim(x→0) (1-cos x)/x=0 sık kullanılır. Süreklilik için bir fonksiyonun ilgili noktadaki limiti, fonksiyon değeriyle aynı olmalıdır.
Türev ve türev uygulamaları
Türev, bir fonksiyonun değişim hızını ve grafiğinin teğet eğimini gösterir. f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h tanımı, türevin temel fikrini verir. Kuvvet kuralı d/dx(x^n)=n·x^(n-1), toplamın türevi (f+g)'=f'+g', çarpım kuralı (fg)'=f'g+fg' ve bölüm kuralı (f/g)'=(f'g-fg')/g^2 biçimindedir. Zincir kuralı, bileşik fonksiyonlarda (f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x) şeklinde uygulanır. Temel türevler (sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (e^x)'=e^x, (ln x)'=1/x ve (log_a x)'=1/(x ln a) biçimindedir.
İntegral ve integral uygulamaları
Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyona ulaşma işlemidir: ∫f(x)dx=F(x)+C ve F'(x)=f(x). Kuvvet kuralının integral karşılığı n≠-1 için ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C, ayrıca ∫e^x dx=e^x+C, ∫1/x dx=ln|x|+C, ∫sin x dx=-cos x+C ve ∫cos x dx=sin x+C'dir. Belirli integral, bir aralıktaki birikimi veya işaretli alanı verir: ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a). Eğriler arasındaki alan için üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılır: A=∫_a^b [f(x)-g(x)]dx; kesişim noktaları a ve b sınırlarını belirler. Örneğin f(x)=x^2 fonksiyonunun 0 ile 2 arasındaki integrali [x^3/3]_0^2=8/3'tür. Türevde kritik noktalar f'(x)=0 veya türevin tanımsız olduğu yerlerdir; bu noktalar yerel maksimum ve minimum incelemesinde aday olarak kullanılır.
Formüllerin kullanım koşulları ve sembol açıklamaları
Bir formülü uygulamadan önce sembollerin neyi temsil ettiğini, değişkenlerin tanım kümesini ve paydaların sıfır olup olmadığını kontrol etmek gerekir. İkinci dereceden denklemde a≠0 olmalıdır; kesirli ifadelerde payda 0 olamaz; logaritmada taban a>0 ve a≠1, logaritmanın içi ise pozitif olmalıdır. Karekök içeren gerçek sayılı ifadelerde kök içi negatif olamaz. Trigonometride tan x için cos x≠0, cot x için sin x≠0 koşulu vardır. İntegralde belirsiz integralin sonuna sabit C eklenir; belirli integralde ise sınırlar yerine yazılarak F(b)-F(a) hesaplanır. Semboller genel olarak a,b,c sabitleri veya katsayıları, x değişkeni, n terim ya da üs sayısını, r ortak oranı, d ortak farkı, Δ diskriminantı ve C integral sabitini gösterir. Aynı harf farklı konularda farklı anlam taşıyabileceği için formülün yanındaki tanım ve koşul birlikte okunmalıdır.
Karmaşık sayılar
Karmaşık sayılar z=a+bi biçiminde yazılır; burada a gerçek kısım, b katsayı ve i^2=-1 bağıntısını sağlayan sanal birimdir. İkinci dereceden denklemlerde diskriminant negatifse gerçek kök yerine karmaşık kökler ortaya çıkar; bu kökler eşlenik çiftler halinde düşünülebilir.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2; a^2-b^2=(a-b)(a+b); Δ=b^2-4ac; x=(-b±√Δ)/(2a); x1+x2=-b/a; x1x2=c/a; (f∘g)(x)=f(g(x)); log_a x=y ⇔ a^y=x; an(aritmetik)=a1+(n-1)d; Sn(aritmetik)=n(a1+an)/2; an(geometrik)=a1·r^(n-1); S∞=a1/(1-r); sin^2x+cos^2x=1; sin(a±b)=sin a cos b±cos a sin b; C(n,r)=n!/[r!(n-r)!]; d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]; (x-h)^2+(y-k)^2=r^2; f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h; ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
İkinci dereceden denklemler, bir cismin yükseklik-zaman ilişkisi veya bir alanı belirli ölçülere ayırma gibi modelleme durumlarında; geometri formülleri ise oda, bahçe ve kap hacmi ölçülerinde kullanılır.
Özellikle diskriminantın kök sayısını belirlemesi, kök-katsayı ilişkileri, logaritmanın tanım koşulları, trigonometride bölge işaretleri ve türev-integral sorularında tanım kümesi ile sınırların kontrol edilmesi ayırt edicidir.
Sık sorulan sorular
İkinci dereceden denklemde diskriminant neyi gösterir?
Δ=b^2-4ac değeri köklerin durumunu gösterir: Δ>0 iki farklı gerçek kök, Δ=0 bir çift katlı gerçek kök, Δ<0 gerçek kök olmadığını belirtir.
Aritmetik dizi ile geometrik dizi nasıl ayırt edilir?
Ardışık terimler arasındaki fark sabitse aritmetik, ardışık terimlerin oranı sabitse geometrik dizidir.
Logaritma formülü kullanırken hangi koşullar kontrol edilir?
Taban 0'dan büyük ve 1'den farklı, logaritmanın içi ise pozitif olmalıdır.
Belirli integral ile alan hesaplarken hangi ifade üste yazılır?
İntegral aralığında üstte kalan fonksiyon alttaki fonksiyondan çıkarılır ve sonuç ∫[üst-alt]dx biçiminde hesaplanır.
Kombinasyon ve permütasyon arasındaki temel fark nedir?
Permütasyonda seçilen nesnelerin sırası önemlidir; kombinasyonda yalnızca hangi nesnelerin seçildiği önemlidir.
- •Elementary Algebra — Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula / Everyday Mathopenstax.org
- •Elementary Algebra — Solve Applications Modeled by Quadratic Equations / Everyday Mathopenstax.org
- •Prealgebra — Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area / Solutionopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org
- •openstax.orgopenstax.org