Çokgenler: Tanım, Çeşitler ve Temel Formüller

Çokgenin tanımı ve çokgen olma koşulları

Çokgen, düzlemde sonlu sayıdaki doğru parçasının uç uca birleşerek oluşturduğu kapalı şekildir. Bu doğru parçalarına kenar, kenarların birleştiği noktalara köşe denir. Bir şeklin çokgen sayılabilmesi için en az üç kenara sahip olması, kapalı bir sınır oluşturması ve sınırının eğri parçalardan değil yalnızca doğru parçalarından meydana gelmesi gerekir.

Kenarlar, komşu kenarlar yalnızca ortak uç noktalarında birleşecek biçimde sıralanır. Böylece şeklin iç bölgesi belirlenir ve başlangıç noktasına dönüldüğünde sınır kapanır. Örneğin üç doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan üçgen bir çokgendir. Dört doğru parçasının kapalı biçimde birleşmesiyle oluşan dikdörtgen de çokgendir. Buna karşılık çember, eğri bir sınırı olduğu için çokgen değildir; üç doğru parçasından oluşan fakat bir ucu açık kalan şekil de kapalı olmadığı için çokgen sayılamaz.

Bir şeklin kenarları birbirini uygun olmayan noktalarda kesiyorsa lise düzeyindeki temel sınıflandırmada bu şekil basit bir çokgen olarak kabul edilmez. Bu nedenle bir şekli incelerken kenarların doğru parçası olup olmadığı, sınırın kapanıp kapanmadığı ve kenarların yalnızca uç noktalarında birleşip birleşmediği sırayla kontrol edilebilir.

Çokgenin temel elemanları

Bir çokgenin temel elemanları kenar, köşe, açı ve köşegendir. Kenar, çokgenin sınırını oluşturan doğru parçalarından her biridir. İki komşu kenarın birleştiği nokta köşe; bu iki kenarın köşede oluşturduğu açı ise iç açıdır. Çokgenin iç bölgesinde kalan açılar iç açı olarak adlandırılır. Bir köşeyi, komşu olmayan başka bir köşeyle birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Komşu köşeleri birleştiren parçalar kenar olduğundan köşegen sayılmaz.

Kenar sayısı n olan bir çokgende köşe sayısı da n’dir; çünkü her kenarın uçları, çokgenin köşelerini oluşturur. Örneğin beşgenin beş kenarı ve beş köşesi vardır. Bir köşeden çizilebilecek köşegenler ile iç açılar arasındaki ilişki, çokgenlerin açı toplamı formülünün neden n-2 üçgeninden oluştuğunu anlamaya yardım eder. Çokgenin çevresi ise bütün kenar uzunluklarının toplamıdır. Kenar uzunlukları a, b, c ve benzeri değerlerse çevre, bu uzunlukların toplanmasıyla bulunur.

Çokgenlerin alanı, şeklin iç bölgesinin kapladığı yüzey miktarıdır; genel çokgenlerde alan hesabı çoğunlukla şekli daha basit bölgelere ayırma düşüncesine dayanır.

Kenar sayılarına göre çokgenlerin adlandırılması

Çokgenler çoğunlukla kenar sayılarına göre adlandırılır. Üç kenarlı çokgene üçgen, dört kenarlı çokgene dörtgen, beş kenarlı çokgene beşgen, altı kenarlı çokgene altıgen denir. Yedi kenarlı şekil yedigen, sekiz kenarlı şekil sekizgen, dokuz kenarlı şekil dokuzgen ve on kenarlı şekil ongen olarak adlandırılır. Kenar sayısı arttıkça adlandırmadaki sayı da değişir; bu nedenle bir çokgeni sınıflandırmanın ilk adımı kenarlarını saymaktır.

Kenar sayısı ile köşe sayısı her zaman eşittir. Örneğin sekizgenin sekiz kenarı ve sekiz köşesi bulunur. Aynı kenar sayısına sahip çokgenler, kenar uzunlukları ve açıları farklı olsa da aynı temel adla anılabilir. Bu yüzden “beşgen” ifadesi yalnızca beş kenarlı olmayı belirtir; şeklin düzgün, dışbükey veya içbükey olduğunu tek başına söylemez. Düzgünlük ve içbükeylik, çokgenin ayrı geometrik özellikleridir.

Dışbükey ve içbükey çokgenler

Dışbükey çokgende, çokgenin iç bölgesinde bulunan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı yine çokgenin içinde kalır. Başka bir ifadeyle dışarı doğru girinti yapan bir köşe yoktur. Dışbükey bir çokgende bütün iç açılar 180 dereceden küçüktür. Üçgenler her zaman dışbükeydir; dikdörtgen, kare ve düzgün beşgen de dışbükey çokgenlere örnektir.

İçbükey çokgende ise şeklin sınırında içeri doğru girinti yapan en az bir köşe vardır. Bu köşedeki iç açı 180 dereceden büyüktür. Şeklin içinden seçilen bazı iki noktayı birleştiren doğru parçası, girinti nedeniyle çokgenin dışına çıkabilir. Örneğin bir kenarı içeri doğru çekilmiş ok biçimli kapalı bir beşgen içbükeydir.

Bir çokgeni dışbükey veya içbükey olarak ayırt etmek için önce girinti yapan köşe olup olmadığına bakılabilir. Girinti yoksa şekil dışbükey, en az bir girinti varsa içbükeydir. İç açı toplamı formülü, içbükey çokgenlerde de açıların uygun biçimde ölçülmesi koşuluyla kullanılabilir; ancak dış açıların seçimi ve şeklin görünümü incelenirken daha dikkatli olunmalıdır. Özel dörtgenlerin ayrıntılı özellikleri ve alan formülleri ayrı bir konudur.

Çokgenlerde iç açı ve dış açı ilişkileri

Kenar sayısı n olan bir çokgenin iç açıları toplamı, çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle kaç üçgene ayrılabildiği düşünülerek bulunur. Dışbükey bir n-gen, bir köşeden çizilen köşegenlerle n-2 üçgene ayrılır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğundan çokgenin iç açıları toplamı (n-2) x 180 derecedir.

Örneğin beşgen bir köşesinden çizilen köşegenlerle üç üçgene ayrılır. Bu nedenle beşgenin iç açıları toplamı (5-2) x 180 = 540 derecedir. Bir altıgen için toplam (6-2) x 180 = 720 derece olur. Bu toplam, çokgen düzgün olmasa da kenar sayısı aynı kaldığı sürece değişmez.

Dışbükey bir çokgende her köşede, bir kenarın uzantısı ile komşu kenarın oluşturduğu bir dış açı seçilir. Bir iç açı ile ona komşu dış açı doğrusal açı oluşturduğu için toplamları 180 derecedir. Çokgenin her köşesinden birer dış açı alındığında dış açıların toplamı her zaman 360 derecedir. Örneğin düzgün beşgende bütün dış açılar eşit olduğundan bir dış açı 360 / 5 = 72 derecedir; buna komşu iç açı ise 180 - 72 = 108 derecedir.

İç açı ve dış açı arasında kullanılan temel bağıntılar şunlardır: İç açı toplamı = (n-2) x 180 derece; dış açı toplamı = 360 derece; komşu iç açı + dış açı = 180 derece. Düzgün çokgenlerde tüm açılar eşit olduğu için bir iç açı, toplam iç açı ölçüsünün n’ye bölünmesiyle bulunabilir. Dış açıların ve iç açıların ileri düzey ispatları ya da çok adımlı problem çözümleri bu temel ilişkilerin ötesinde ayrı olarak ele alınır.

Çokgenlerin alan hesabında ise iç açı toplamından farklı olarak şeklin kenar uzunlukları ve geometrik yapısı da dikkate alınır; bu konu burada yalnızca temel düzeyde tanıtılmıştır.

Düzgün çokgenlerin temel özellikleri

Düzgün çokgen, bütün kenar uzunlukları birbirine eşit ve bütün iç açıları birbirine eşit olan çokgendir. Eşit kenarlar şeklin uzunluk bakımından düzenli olmasını, eşit açılar ise köşelerin aynı ölçüde olmasını sağlar. Kare, düzgün üçgen ve düzgün beşgen bu tür şekillere örnek verilebilir; ancak her dörtgen veya her beşgen düzgün olmak zorunda değildir.

Düzgün bir n-genin iç açıları eşit olduğundan bir iç açının ölçüsü iç açıları toplamının n’ye bölünmesiyle bulunur. Aynı şekilde dış açıların toplamı 360 derece ve bütün dış açılar eşit olduğundan bir dış açının ölçüsü 360 / n derecedir. Örneğin düzgün altıgende her dış açı 60 derece, her iç açı 120 derecedir. Düzgün çokgenlerde uzunluk, apotem ve alan hesapları bu temel açı özelliklerinden daha ileri bir uygulama alanıdır.

Çokgenlerde köşegen sayısı

Kenar sayısı n olan bir çokgende köşegen sayısı n x (n-3) / 2 formülüyle bulunur. Bunun nedeni, seçilen bir köşenin kendisiyle ve iki komşu köşesiyle birleştirilememesidir. Bu nedenle bir köşeden n-3 köşeye köşegen çizilebilir. Bütün köşeler için bu işlem yapılırsa her köşegen iki kez sayılmış olur; başlangıç ve bitiş köşeleri aynı doğru parçasını gösterdiği için sonuç 2’ye bölünür.

Örneğin beşgende bir köşeden 5-3 = 2 köşegen çizilebilir. Beş köşenin her birinden ikişer seçim yapıldığında 10 elde edilir, fakat her köşegen iki kez sayıldığından toplam köşegen sayısı 10 / 2 = 5 olur. Altıgende ise 6 x (6-3) / 2 = 9 köşegen bulunur. Üçgende formül 3 x 0 / 2 = 0 verir; çünkü üçgende komşu olmayan köşe bulunmadığından üçgenin köşegeni yoktur.