Dörtgenler: Özellikleri, Açıları, Çevresi ve Alanı

Dörtgenin tanımı ve temel elemanları

Dörtgen, dört kenardan oluşan kapalı bir çokgendir. Dörtgenin dört kenarı, bu kenarların birleştiği dört köşesi ve köşelerde oluşan dört iç açısı vardır. Köşeler genellikle art arda A, B, C ve D harfleriyle adlandırılır; şekil ABCD biçiminde gösterilebilir. Birbirine komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçalarına köşegen denir. Bu nedenle ABCD dörtgeninin köşegenleri AC ve BD’dir.

Dörtgenin temel yapısı, kenarların uç noktalarında birleşerek kapalı bir bölge oluşturmasına dayanır. Üç kenarlı bir şekil üçgen, beş kenarlı bir şekil beşgen olur; dört kenarlı olan şekil ise dörtgendir. Örneğin bir dikdörtgenin dört kenarı, dört köşesi ve dört açısı vardır; karşılıklı köşelerini birleştiren iki doğru parçası da dikdörtgenin köşegenleridir. Kenarların ya da açıların eşit olması şeklin dörtgen olma koşulunu değiştirmez; bunlar yalnızca dörtgenin özel bir türünü belirlemeye yarar.

Dörtgenler dışbükey veya içbükey olabilir. Dışbükey dörtgende köşegenler şeklin içinde kalır; içbükey dörtgende ise köşelerden biri içeri doğru girintili olduğundan köşegenlerden biri şeklin dışında kalabilir. Ortaokul sorularında çoğunlukla dışbükey dörtgenlerle çalışılır.

Dörtgenlerin iç açıları toplamı

Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360°dir. Bu kural, dörtgenin içinden bir köşegen çizildiğinde şeklin iki üçgene ayrılmasıyla açıklanır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre dörtgenin toplamı 180° + 180° = 360° olur.

Örneğin ABCD dörtgeninde A, B ve C açıları sırasıyla 70°, 90° ve 110° olsun. D açısı için bilinen açıların toplamı 70° + 90° + 110° = 270° bulunur. Eksik açı 360° - 270° = 90° olur. Aynı yöntem, bir veya birkaç açının cebirsel ifadeyle verildiği sorularda da kullanılır: Önce dört iç açının toplamı 360° olarak yazılır, sonra bilinmeyen bulunur.

Dışbükey dörtgende bütün iç açılar 180°den küçüktür. İçbükey bir dörtgende girintili köşedeki iç açı 180°den büyük olsa da, uygun açı ölçüsüyle birlikte iç açıların toplamı yine 360° olarak değerlendirilir. Bu nedenle soruda verilen açıların iç açı mı dış açı mı olduğuna dikkat etmek gerekir.

Dörtgenlerin sınıflandırılması

Dörtgenler, sahip oldukları ortak özelliklere göre sınıflandırılır. Sınıflandırmada özellikle karşılıklı kenarların paralel veya eşit olması, açıların dik olması, bütün kenarların eşitliği ve köşegenlerin davranışı dikkate alınır. Hiçbir karşılıklı kenarı paralel olmayan dörtgenler özel bir paralellik sınıfına girmez. En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgenler yamuk; iki çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgenler paralelkenardır.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eşittir. Bütün açıları dik olan paralelkenar dikdörtgen, bütün kenarları eşit olan paralelkenar eşkenar dörtgen, hem bütün açıları dik hem de bütün kenarları eşit olan paralelkenar karedir. İki komşu kenar çifti eşit olan dörtgen ise deltoid olarak adlandırılır. Böylece bir şekli yalnızca görünüşüne göre değil, verilen özelliklerine göre sınıflandırmak gerekir.

Örneğin karşılıklı kenarları paralel ve bütün açıları 90° olan bir şekil dikdörtgendir. Eğer bu dikdörtgenin bütün kenarları da eşitse aynı zamanda karedir. Dört kenarı eşit, fakat açıları dik olmayan bir şekil ise eşkenar dörtgendir; bu örnekler özel dörtgenlerin birden fazla özelliği aynı anda taşıyabileceğini gösterir.

Özel dörtgenlerin temel özellikleri

Paralelkenarda iki çift karşılıklı kenar paraleldir. Karşılıklı kenarlar eşit, karşılıklı açılar eşit ve komşu açıların toplamı 180°dir. Köşegenler birbirlerini ortalar. Örneğin bir paralelkenarda bir açı 65° ise karşısındaki açı 65°, komşu açılar 115° olur. Bu özellikler, şeklin yalnızca eğik görünmesine bakmadan paralelkenarı tanımayı sağlar.

Dikdörtgen, bütün açıları 90° olan paralelkenardır. Bu nedenle karşılıklı kenarları paraleldir ve karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. Dikdörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır ve birbirlerini ortalar. Örneğin kısa kenarı 4 cm, uzun kenarı 7 cm olan bir dikdörtgende dört açı da diktir; kenar uzunlukları ise karşılıklı olarak 4 ve 7 cm’lik çiftler oluşturur.

Eşkenar dörtgende dört kenarın tamamı eşittir ve karşılıklı kenarlar paraleldir. Karşılıklı açılar eşit, köşegenler birbirini dik açıyla ortalar. Açıları dik olmak zorunda değildir. Kare ise hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin özelliklerini taşır: dört kenarı eşit, dört açısı 90° ve köşegenleri eşit uzunlukta, birbirini dik açıyla ortalayan doğru parçalarıdır. Örneğin kenarı 5 cm olan bir karede bütün kenarlar 5 cm’dir ve dört iç açının her biri 90°dir.

Yamukta en az bir çift karşılıklı kenar paraleldir. Paralel kenarlara taban adı verilir; diğer iki kenar yan kenarlardır. Yamukta bütün açıların ya da bütün kenarların eşit olması gerekmez. İkizkenar yamukta paralel olmayan yan kenarlar eşittir ve taban açıları eşittir. Deltoidde iki komşu kenar çifti eşittir; köşegenler birbirine diktir ve köşegenlerden biri diğerini ortalar. Örneğin yan yana duran kenar çiftleri 4 cm ve 6 cm olan bir deltoid, dört kenarın tamamı eşit olmadığı için eşkenar dörtgen olmak zorunda değildir.

Dörtgenler arasındaki kapsama ve ilişki

Özel dörtgenler arasında kapsama ilişkisi vardır. Her kare bir dikdörtgendir; çünkü dört açısı da diktir. Aynı zamanda her kare bir eşkenar dörtgendir; çünkü dört kenarı da eşittir. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen ise paralelkenarın özel türleridir: dikdörtgende dik açılar, eşkenar dörtgende eşit kenarlar öne çıkar. Bu nedenle her kare aynı anda hem dikdörtgen, hem eşkenar dörtgen, hem de paralelkenardır.

Buna karşılık her dikdörtgen kare değildir; dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit olsa da dört kenarının eşit olması gerekmez. Her eşkenar dörtgen de kare değildir; açıları dik olmayabilir. En az bir çift paralel kenarlı yamuk tanımı kullanıldığında paralelkenarlar da yamuklar kümesine dahil edilebilir. Bir soruda şekli sınıflandırırken en dar ve en özel türü bulmak için bütün verilen özellikleri birlikte kontrol etmek gerekir.

Dörtgenlerde temel çevre ve alan hesaplama

Bir dörtgenin çevresi, dört kenar uzunluğunun toplamıdır. Kenar uzunlukları a, b, c ve d ise çevre formülü Ç = a + b + c + d şeklindedir. Örneğin kenarları 3 cm, 5 cm, 3 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenin çevresi 16 cm’dir. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğu için Ç = 2 × (uzun kenar + kısa kenar) biçimi de kullanılabilir.

Dikdörtgenin alanı uzun kenar ile kısa kenarın çarpımıdır: A = uzunluk × genişlik. Tabanı ve bu tabana ait yüksekliği bilinen paralelkenarda alan A = taban × yükseklik olur. Örneğin tabanı 8 cm, yüksekliği 3 cm olan paralelkenarın alanı 24 cm²dir; eğik yan kenarın uzunluğu alan hesabında doğrudan kullanılmaz. Kenarı 5 cm olan karenin alanı 25 cm²dir.

Yamuğun alanı, paralel iki tabanın toplamının yükseklikle çarpılıp ikiye bölünmesiyle bulunur: A = (alt taban + üst taban) × yükseklik / 2. Tabanları 5 cm ve 9 cm, yüksekliği 4 cm olan yamuğun alanı (5 + 9) × 4 / 2 = 28 cm²dir. Eşkenar dörtgenin alanı ise köşegenleri kullanılarak A = köşegen1 × köşegen2 / 2 biçiminde de hesaplanabilir.

Temel sorularda önce şeklin türünü ve verilen ölçülerin neyi temsil ettiğini belirlemek işe yarar. Çevre sorusunda tüm dış kenarlar, alan sorusunda ise uygun taban-yükseklik veya dik kenar çifti kullanılır; sonuç birimleri de çevrede uzunluk, alanda kare birimi olur.

Köşegenlerin temel özellikleri

Köşegen, dörtgenin karşılıklı iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır. Dörtgenin dört köşesinde karşılıklı köşe çiftleri iki tane olduğu için her dörtgende iki köşegen bulunur. ABCD dörtgeninde bunlar AC ve BD’dir. Köşegenler, dörtgenin iç yapısını incelemeyi ve bazı şekilleri özelliklerine göre tanımayı sağlar.

Genel bir paralelkenarda köşegenler birbirlerini ortalar. Dikdörtgende bu özelliğe ek olarak köşegenlerin uzunlukları eşittir. Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir ve birbirlerini ortalar. Karede bu özelliklerin tümü birlikte bulunur: köşegenler hem eşit uzunluktadır hem dik kesişir hem de birbirlerini ortalar. Deltoidde ise köşegenlerin dik kesişmesi ve bir köşegenin diğerini ortalaması temel ayırt edici özellikler arasındadır.

Örneğin bir dörtgenin köşegenlerinin birbirini ortaladığı biliniyorsa bu, paralelkenar olabileceğini düşündürür; buna ek olarak köşegenlerin eşit olması dikdörtgen, eşit ve dik olması ise kare için güçlü bir göstergedir. Ancak bir şekli kesin sınıflandırmak için soruda verilen kenar ve açı bilgileri de birlikte değerlendirilmelidir. Köşegen uzunluklarının sayısal olarak hesaplandığı özel problemler ayrı bir konudur.

Dörtgenlerin günlük yaşamdan örnekleri

Pencere, kapı, masa yüzeyi, kitap kapağı ve fayansların yüzeyleri çoğunlukla dikdörtgen veya kare biçimindedir. Trafik levhaları ve bazı süsleme desenlerinde farklı yamuk, paralelkenar ya da eşkenar dörtgen biçimleri de kullanılabilir. Bu tür örneklerde çevre, kenarların çevresine gerekli malzeme miktarını; alan ise kaplanan yüzeyi ifade eder.