Kuvvet ve Tork Dengesi: Denge Koşulları ve Uygulamaları

Denge kavramı ve denge koşulları

Bir cisim, hareket durumunu değiştirecek bir etki olmadığında dengededir. Denge hâlindeki cisim hareketsiz olabilir; buna statik denge denir. Sabit hızla doğrusal hareket eden bir cisim de doğrusal ivmesi sıfır olduğu için hareketli denge koşulunda kabul edilir; sabit açısal hızla dönen bir cisim ise açısal ivmesi sıfır olduğundan dönme dengesindedir. Buradaki temel fikir, cismin öteleme ve dönme hareketlerinin ayrı ayrı değerlendirilmesidir.

Statik dengede cismin doğrusal ivmesi sıfırdır ve açısal ivmesi de yoktur. Bu nedenle cisme etki eden kuvvetlerin vektörel toplamı sıfır, kuvvetlerin herhangi bir dönme noktasına göre oluşturduğu torkların toplamı da sıfır olmalıdır. İlk koşul cismin bir bütün olarak hızlanmasını, ikinci koşul ise dönmeye başlamasını engeller. Örneğin yatay bir masanın üzerinde duran kitap için aşağı yönlü ağırlık, masa tarafından uygulanan yukarı yönlü tepki kuvvetiyle dengelenir. Kitap dönmediği için net tork da sıfırdır.

Sabit hızla ilerleyen bir araçta da net kuvvet sıfır olabilir; motorun ileri yönlü kuvveti, direnç kuvvetleriyle dengelenir. Araç hareket ettiği hâlde hızlanmadığı için öteleme dengesi söz konusudur. Denge türlerinin ayrıntılı incelenmesi ise ayrı bir konudur.

Öteleme dengesi ve net kuvvet

Öteleme dengesi, cismin bir bütün olarak bir yönde hızlanmaması veya yavaşlamaması durumudur. Bunun matematiksel koşulu, cisme etki eden tüm dış kuvvetlerin vektörel toplamının sıfır olmasıdır: F_net = 0. Kuvvetler tek bir doğru üzerindeyse zıt yönlü kuvvetlerin büyüklükleri eşitlenir; farklı yönlerdeyse kuvvetler yatay ve düşey bileşenlerine ayrılarak ayrı ayrı dengelenir.

Net kuvvet sıfır değilse Newton’un ikinci yasasına göre cisim ivme kazanır. Net kuvvetin yönü, ivmenin yönünü belirler. Bu yüzden denge sorusunda önce cisme etki eden kuvvetler serbest cisim diyagramında gösterilir, sonra seçilen eksenlerde kuvvetlerin toplamı yazılır. Örneğin yatay zeminde duran bir kitapta ağırlık aşağı, tepki kuvveti yukarı yönlüdür. Düşey yönde denge için N - mg = 0 olur ve tepki kuvveti ağırlığın büyüklüğüne eşittir.

Benzer biçimde, düşey bir ipte hareketsiz duran 5 kg kütleli bir cisim için yukarı yönlü gerilme ile aşağı yönlü ağırlık birbirini dengeler. İp kütlesi ihmal edilirse T - mg = 0 yazılır. Böylece cismin öteleme yönünde hızlanmadığı görülür.

Dönme dengesi ve net tork

Dönme dengesi, cismin herhangi bir eksen çevresinde açısal ivme kazanmaması demektir. Bir cisme etki eden kuvvetlerin toplamı sıfır olsa bile kuvvetler farklı noktalardan uygulanıyorsa cisim dönebilir. Bu nedenle dönme dengesinin koşulu, seçilen dönme noktasına göre net torkun sıfır olmasıdır: net tork = 0.

Bir kuvvetin torku, cismin dönme eğilimini ve kuvvetin eksene göre konumunu birlikte ifade eder. Saat yönünde döndürmeye çalışan torklar ile saat yönünün tersine döndürmeye çalışan torklar zıt işaretli alınır. Denge için bu etkilerin toplamı birbirini götürmelidir. Örneğin iki ucundan farklı yönlerde kuvvet uygulanan bir çubukta kuvvetler eşit olsa bile uygulama noktaları eksene göre farklı uzaklıklardaysa torklar eşit olmayabilir ve çubuk döner.

Bir kapının menteşeleri çevresinde açılması dönme dengesini anlamak için uygun bir örnektir. Kola menteşeden uzakta uygulanan kuvvet, aynı büyüklükteki fakat menteşeye yakın uygulanan kuvvete göre daha büyük tork oluşturur. Kapının sabit kalması için menteşelerin ve diğer kuvvetlerin oluşturduğu torkların toplamı sıfır olmalıdır. Dolayısıyla tam denge için yalnızca F_net = 0 değil, aynı zamanda net tork = 0 koşulu da aranır.

Torkun hesaplanması ve dik uzaklık

Tork, bir kuvvetin seçilen dönme eksenine göre döndürme etkisidir. Torkun büyüklüğü, kuvvet ile dönme ekseninden kuvvetin etki çizgisine indirilen dik uzaklığın çarpımıyla hesaplanır: τ = F · d. Buradaki d, kuvvetin uygulandığı noktanın eksene olan düz uzaklığı değil, kuvvetin etki çizgisine olan dik uzaklıktır.

Kuvvet dönme ekseninden geçen bir doğrultuda uygulanıyorsa dik uzaklık sıfırdır ve tork oluşmaz. Kuvvet eksenden uzaklaştıkça veya aynı kuvvet için dik kol büyüdükçe torkun büyüklüğü artar. Kuvvet eğik uygulanıyorsa yalnızca döndürmeye katkı sağlayan dik bileşen dikkate alınır; bu durumda τ = r · F · sinθ biçimi kullanılabilir. Lise düzeyindeki birçok soruda kuvvet ve kuvvet kolu doğrudan dik olduğundan τ = F · d yeterlidir.

Örneğin bir anahtarın somunu döndürdüğünü düşünelim. 20 N büyüklüğündeki kuvvet, eksene dik olarak 0,25 m uzaklıktan uygulanırsa tork τ = 20 · 0,25 = 5 N·m olur. Aynı kuvvet eksene 0,10 m uzaklıktan uygulansaydı tork 2 N·m olurdu. Bu nedenle uzun saplı bir anahtar, aynı kuvvetle daha büyük döndürme etkisi sağlar.

Denge sorularında saat yönü ve saat yönünün tersi için işaret seçilmelidir. Bir taraftaki torklar diğer taraftaki torkları dengelediğinde denklem genellikle F1 · d1 = F2 · d2 biçimine gelir.

Denge sorularında dönme noktası seçimi

Tork denklemi kurulurken herhangi bir dönme noktası seçilebilir; ancak en kullanışlı nokta, bilinmeyen kuvvetlerin uygulandığı noktadır. Bir kuvvetin uygulama noktası seçilen eksen üzerindeyse bu kuvvetin dik uzaklığı sıfır olur ve tork denkleminin dışında kalır. Böylece bilinmeyen sayısı azalır ve çözüm kolaylaşır. Önce serbest cisim diyagramı çizilmeli, ardından kuvvet toplamı ve uygun noktaya göre tork toplamı yazılmalıdır.

Destek, gerilme ve tepki kuvvetlerinin denklemlere dahil edilmesi

Destekli veya asılı cisimlerde destek, gerilme ve tepki kuvvetleri serbest cisim diyagramında mutlaka gösterilir. Yatay bir yüzeyin cisme uyguladığı tepki kuvveti yüzeye dik, ip veya kablonun uyguladığı gerilme ise ipin doğrultusunda ve yalnızca çekme yönündedir. Hareketsiz yatay bir cisimde düşey kuvvetler dengeleniyorsa N - mg = 0 yazılır. Düşey ipte duran bir cisimde ise T - mg = 0 olur.

Birden fazla destek varsa her desteğin kuvveti ayrı bilinmeyen olarak ele alınır. Bu kuvvetlerin toplamı cismin toplam ağırlığını karşılamalıdır; ayrıca uygulama noktaları farklı olduğundan oluşturdukları torklar da birlikte değerlendirilir. Örneğin düzgün bir çubuk iki simetrik destekle tutuluyorsa ağırlık merkezine göre iki desteğin torkları zıt yönlü olabilir. Destekler eşit uzaklıktaysa yük simetrik paylaşılır; yük bir desteğe yaklaştığında o desteğin taşıdığı kuvvet artar. İpte asılı sistemlerde de gerilmenin yönü ipin doğrultusundan, ağırlığın yönü ise düşey aşağıdan alınır.

Basit kaldıraç ve destekli cisim denge uygulamaları

Basit kaldıraçta bir çubuk, destek adı verilen bir nokta veya eksen çevresinde dönebilir. Denge sorusunu çözmek için önce yükün, uygulanan kuvvetin ve desteğin yerleri belirlenir. Ardından desteğe göre tork dengesi yazılır: F_kuvvet · d_kuvvet = F_yük · d_yük. Gerekirse düşey doğrultudaki kuvvet dengesi de eklenir. Desteğe daha uzak uygulanan kuvvetin kuvvet kolu büyük olduğundan aynı torku oluşturmak için daha küçük bir kuvvet yeterli olabilir.

Örneğin 300 N ağırlığındaki bir yük destekten 0,20 m uzaklıkta bulunsun. Yükün karşı tarafında kuvvetin uygulandığı nokta destekten 0,60 m uzaktaysa denge için F · 0,60 = 300 · 0,20 yazılır. Buradan F = 100 N bulunur. Kuvvetin torku yükün torkuna eşit olduğu için çubuk dönmez. Bu sonuç, kuvvet kolunu artırmanın kaldıraçta neden avantaj sağladığını gösterir.

Destekli düzgün bir çubukta çubuğun ağırlığı, ağırlık merkezinden aşağı doğru uygulanır. İki destek kuvveti ise hem toplam kuvveti hem de ağırlığın oluşturduğu torku dengelemelidir. Yük veya çubuk ağırlık bakımından bir desteğe yaklaştığında o destek daha fazla yük taşır; desteklerin eşit kuvvet taşıması ancak uygun bir simetri durumunda gerçekleşir.