Diziler: Terim, İndis ve Aritmetik-Geometrik Dizilerin Genel Terimi

Dizi, terim ve indis kavramları

Dizi, sayıların belirli bir sırayla oluşturduğu ve çoğunlukla doğal sayılarla numaralandırılan listedir. Dizinin her bir elemanına terim denir. Örneğin 3, 7, 11, 15, ... dizisinde 3 birinci terim, 7 ikinci terim, 11 üçüncü terim ve 15 dördüncü terimdir. Üç nokta, dizinin aynı kurala göre devam ettiğini gösterir.

Bir terimin listedeki yerini gösteren sayıya indis denir. Dizilerde n’inci terim a_n biçiminde gösterilebilir. Burada a, dizinin adını; n ise terimin indisini belirtir. Örneğin a_4, dizinin dördüncü terimidir; bu gösterimde 4 değer, terimin kendisi değil, listedeki konumudur. 3, 7, 11, 15, ... dizisi için a_1 = 3, a_2 = 7, a_3 = 11 ve a_4 = 15 yazılır.

Diziler sonlu veya sonsuz olabilir. Belirli sayıda terimde biten liste sonlu dizi, devam eden liste ise sonsuz dizi olarak adlandırılır. Bir diziyi yalnızca terimleri yazarak gösterebileceğimiz gibi, terimlerin indisle ilişkisini veren bir kuralla da ifade edebiliriz. Örneğin 2, 4, 8, 16, ... dizisinde her terim bir öncekinin iki katıdır; ancak bu gözlem henüz terimin indisiyle doğrudan bir formül biçiminde yazılmamıştır.

Genel terim ve istenen terime ulaşma

Bir dizinin genel terimi, dizinin n’inci terimini doğrudan veren kuraldır. Genel terim a_n biçiminde yazılır ve n yerine istenen terimin indisi konularak ilgili değer bulunur. Böylece istenen terime ulaşmak için önceki bütün terimleri tek tek yazmak gerekmez.

Örneğin a_n = 3n - 1 kuralıyla verilen dizinin ilk terimleri a_1 = 2, a_2 = 5 ve a_3 = 8 olur. Dizinin onuncu terimini bulmak için n yerine 10 yazılır: a_10 = 3 · 10 - 1 = 29. Burada 10, aranan terimin indisi; 29 ise o indise karşılık gelen terimin değeridir. Bu ayrım, sorularda yapılan en yaygın hatalardan birini önler.

Bazı dizilerde genel terim üs, çarpan veya başka bir cebirsel ifade içerebilir. Örneğin 2, 4, 8, 16, ... dizisinde her adımda önceki terim ikiyle çarpıldığı için terimler 2’nin ardışık kuvvetleriyle ifade edilir ve genel terim a_n = 2^n olarak yazılır. Buna göre a_5 = 2^5 = 32 ve a_8 = 2^8 = 256 bulunur. Genel terim bilindiğinde yalnızca istenen indis formülde yerine konur.

Dizi terimlerinin toplamını bulma konusu ayrı bir başlıkta incelenir; özyinelemeli dizilerde ise her terim önceki terimlerle verilen bir bağıntıyla tanımlanır.

Aritmetik dizi ve ortak fark

Ardışık iki terim arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit değere ortak fark denir ve d ile gösterilir. Bir aritmetik dizide her terim, kendisinden önceki terime aynı sayı eklenerek elde edilir. Ortak fark pozitifse terimler artar, negatifse azalır; ortak fark sıfırsa bütün terimler eşit olur.

Örneğin 5, 9, 13, 17, ... dizisinde ardışık farklar 9 - 5 = 4, 13 - 9 = 4 ve 17 - 13 = 4 olduğundan ortak fark d = 4’tür. Birinci terim a_1 olduğunda ikinci terim a_1 + d, üçüncü terim a_1 + 2d, dördüncü terim a_1 + 3d biçiminde oluşur. n’inci terime gelindiğinde birinci terimden itibaren n - 1 kez ortak fark eklenmiş olur. Bu nedenle aritmetik dizinin genel terimi a_n = a_1 + (n - 1)d şeklindedir.

Yukarıdaki dizide a_1 = 5 ve d = 4 olduğuna göre a_n = 5 + (n - 1) · 4 olur. Bu ifadeyi düzenlersek a_n = 4n + 1 elde edilir. Örneğin on ikinci terim a_12 = 5 + 11 · 4 = 49’dur. İstenen terim çok ileride olsa bile tüm terimleri yazmadan bu formülle bulunabilir.

Geometrik dizi ve ortak çarpan

Ardışık iki terim arasındaki bölümün sabit olduğu dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit sayıya ortak çarpan veya ortak oran denir ve r ile gösterilir. Bir geometrik dizide her terim, önceki terimin aynı sabit sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Bu nedenle geometrik diziyi incelerken ardışık terimler arasındaki farka değil, bölüme bakılır.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... dizisinde her terim bir öncekinin 2 katıdır. Ardışık oranlar 6 / 3 = 2, 12 / 6 = 2 ve 24 / 12 = 2 olduğundan ortak çarpan r = 2’dir. Birinci terim a_1’den ikinci terime geçerken bir kez r ile, üçüncü terime geçerken iki kez r ile, n’inci terime geçerken n - 1 kez r ile çarpma yapılır. Bu nedenle geometrik dizinin genel terimi a_n = a_1 · r^(n - 1) biçimindedir.

Örnekte a_1 = 3 ve r = 2 olduğundan genel terim a_n = 3 · 2^(n - 1) olur. Beşinci terim a_5 = 3 · 2^4 = 48’dir. Ortak çarpan kesirli veya negatif de olabilir; önemli olan ardışık terimlerin aynı sabit çarpanla ilişkilendirilmesidir. Sıfır terimlerinin bulunduğu durumlarda ardışık terimlerin oranını kullanmak her zaman uygun olmayabileceği için dizinin doğrudan çarpma kuralına bakmak gerekir.

Dizinin aritmetik veya geometrik olduğunu belirleme

Bir dizinin türünü belirlemek için önce ardışık terimler arasındaki farklar karşılaştırılır. Farkların tamamı aynıysa dizi aritmetiktir ve ortak fark kullanılır. Farklar sabit değilse ardışık terimlerin oranları incelenir. Bölümler aynıysa dizi geometriktir ve ortak çarpan kullanılır. Hiçbir ölçüt sabit değilse dizi, bu iki temel türden biri değildir.

Örneğin 4, 10, 16, 22, ... dizisinde farklar sırasıyla 6 olduğundan dizi aritmetiktir. 5, 15, 45, 135, ... dizisinde ise farklar eşit değildir; ancak ardışık oranların her biri 3’tür. Bu nedenle ikinci dizi geometriktir. Türü belirledikten sonra uygun genel terim formülü seçilir: aritmetik dizi için a_n = a_1 + (n - 1)d, geometrik dizi için a_n = a_1 · r^(n - 1).

Verilen koşullardan dizi terimlerini belirleme

Bir dizinin bazı terimleri veya terimler arasındaki ilişkiler verildiğinde amaç, bu bilgileri genel terim bağıntısına dönüştürmektir. Dizi aritmetik olarak belirtilmişse a_n = a_1 + (n - 1)d, geometrik olarak belirtilmişse a_n = a_1 · r^(n - 1) yazılır. Verilen indisler yerine konularak bilinmeyenler için denklemler oluşturulur.

Örneğin bir aritmetik dizide a_3 = 8 ve a_7 = 20 olsun. Genel terimden a_3 = a_1 + 2d = 8 ve a_7 = a_1 + 6d = 20 denklemleri elde edilir. İkinci denklemden birincisi çıkarıldığında 4d = 12, dolayısıyla d = 3 bulunur. a_1 + 2 · 3 = 8 olduğundan a_1 = 2’dir. Böylece dizinin genel terimi a_n = 2 + (n - 1) · 3 = 3n - 1 olur.

Bu yöntem, verilen terimlerin sırasını doğru okumaya dayanır. a_3 = 8 ifadesinde 3, terimin indisi; 8 ise terimin değeridir. Önce indisleri formülde doğru kullanmak, ardından elde edilen denklemleri çözmek gerekir. Genel terim bulunduğunda dizinin istenen diğer terimleri de aynı formülle hesaplanabilir.