Kuantum Tünelleme: Parçacıklar Bariyerleri Nasıl Aşar?

Kuantum tünellemenin fiziksel mekanizması

Kuantum tünelleme, bir parçacığın klasik olarak erişemeyeceği bir potansiyel bölgesinin diğer tarafında bulunabilme olasılığıdır. Burada parçacığın bariyerin içinde klasik bir yol izleyerek ilerlediği düşünülmez. Parçacık, kuantum durumunu tanımlayan dalga fonksiyonuyla temsil edilir ve bu fonksiyon bariyerin bir tarafından diğer tarafına sürekli biçimde uzanabilir.

Dalga fonksiyonu bariyere geldiğinde iki temel bileşen ortaya çıkar: Bariyerden geri dönen bir yansıma bileşeni ve bariyerin öte tarafına ulaşan bir geçiş bileşeni. Bariyer içindeki dalga fonksiyonu genellikle hızla küçülür; ancak tamamen sıfır olmaz. Bariyerin sonunda hâlâ sıfırdan farklı bir değer kalırsa, dış bölgede yeniden ilerleyen bir dalga oluşabilir. Parçacığın bariyerin öte tarafında bulunma olasılığı, dalga fonksiyonunun mutlak karesinin bu bölgedeki değerleriyle ilişkilidir.

Bu nedenle tünelleme, enerji korunumu yasasının ihlali değildir. Parçacık bariyeri aşarken geçici olarak enerji ödünç alıp sonra geri vermez; toplam enerji sabit kalır. Değişen şey, parçacığın bariyer içindeki dalga fonksiyonunun biçimidir. Örneğin bir çekirdekte bağlı bulunan alfa parçacığı, klasik enerji açısından dışarı çıkamasa da dalga fonksiyonu çekirdek dışına kadar uzanabildiği için dışarıda bulunabilir. Alfa bozunması ve nükleer füzyon, tünellemenin nükleer süreçlerdeki önemli uygulama alanlarıdır.

Enerji-bariyer yüksekliği ilişkisi ve klasik-kuantum farkı

Bir parçacığın toplam enerjisi E, bariyerin yüksekliği V0 değerinden küçükse (E < V0), klasik fiziğe göre parçacık bariyer bölgesine giremez ve karşı tarafta bulunamaz. Bariyerin yüksekliği parçacığın enerjisinden küçük olduğunda ise klasik geçiş mümkündür; kuantum mekaniğinde yine de yansıma görülebilir. Dolayısıyla kuantum davranışında E < V0 durumu tünellemenin ayırt edici olduğu bölgedir, fakat geçiş olasılığının büyüklüğünü yalnızca bu karşılaştırma belirlemez.

Enerji korunumu açısından bariyer içindeki durum, serbest parçacığın kinetik enerjisinin negatif olması şeklinde yorumlanmamalıdır. E < V0 iken parçacık bariyer içinde klasik bir parçacık gibi kinetik enerjiyle ilerlemez; Schrödinger denkleminin çözümü salınıcı değil, sönümlenen bir dalga biçimi verir. Bu sönüm bariyerin sonunda tamamen bitmezse tünelleme olasılığı ortaya çıkar. E, V0 değerine yaklaştıkça sönüm zayıflar ve geçiş olasılığı genel olarak artar.

Dalga fonksiyonunun bariyer içindeki davranışı

Dikdörtgen bir bariyerin dışında ve içinde Schrödinger denkleminin çözümleri farklı karakter gösterir. Serbest bölgede parçacığın dalga fonksiyonu ilerleyen veya geri dönen sinüs benzeri dalgalarla ifade edilir. Bariyer içinde E < V0 olduğunda dalga sayısı gerçek bir sayı olmak yerine sönüm sabitiyle ilişkilendirilen bir biçim alır. Bu yüzden dalga fonksiyonu salınım yapmak yerine üstel olarak azalır.

Bariyerin birinci kenarında dalga fonksiyonu ve uygun durumda türevi süreklilik koşullarını sağlamalıdır. Bu koşullar, iç bölgede azalan ve artan üstel terimlerin katsayılarını belirler. Sonlu genişlikteki bir bariyerde artan terim matematiksel çözümün parçası olsa da fiziksel sınır koşullarıyla birlikte dışarıdaki dalga genliğini belirleyen sonuç, bariyer boyunca net bir sönümlenme gösterir. Bariyerin kalınlığı arttıkça dalga fonksiyonunun diğer kenara ulaşan genliği küçülür.

Örneğin aynı enerjiye sahip bir elektron için bariyer genişliği a iken dalga fonksiyonunun bariyer sonundaki genliği belirli bir değere iner. Genişlik 2a yapılırsa sönümlenme üstel olduğundan genlik yalnızca biraz değil, çok daha belirgin biçimde küçülür. Olasılık dalga fonksiyonunun karesiyle bağlantılı olduğu için geçiş olasılığındaki azalma genlikteki azalmadan da güçlü olabilir. Bu, tünellemenin bariyer kalınlığına neden son derece duyarlı olduğunu açıklar.

Dikdörtgen potansiyel bariyerinde yansıma ve geçiş

Dikdörtgen potansiyel bariyer, iki serbest bölge arasında sabit yüksekliğe ve sonlu genişliğe sahip bir bölge olarak modellenir. Potansiyel enerjiyi V(x) ile gösterirsek, bariyer dışında V(x) = 0, bariyer içinde ise V(x) = V0 alınabilir. Parçacık soldan bariyere gönderildiğinde gelen dalganın bir bölümü geri yansır; kalan bölüm bariyeri geçerek sağ tarafta ilerleyebilir.

Yansıma ve geçiş, dalga fonksiyonunun sınır koşullarından elde edilen genliklerle değil, olasılık akımlarıyla tanımlanır. Geçiş katsayısı T, sağ bölgedeki iletilen akımın gelen akıma oranıdır. Yansıma katsayısı R ise geri dönen akımın gelen akıma oranıdır. Kayıpsız, tek boyutlu bu ideal modelde olasılık akımı korunduğu için R + T = 1 olur.

E < V0 durumunda bariyer içinde dalga sönümlenir; fakat bariyer sonlu genişlikteyse sağ bölgede iletilen dalga sıfır olmak zorunda değildir. Dikdörtgen bariyer için geçiş katsayısı şu biçimde yazılabilir:

T = [1 + V0^2 sinh^2(kappa a) / (4E(V0 - E))]^-1

Burada a bariyer genişliği, V0 bariyer yüksekliği, E parçacığın enerjisi ve kappa bariyer içindeki sönüm sabitidir. Bu ifade, tünellemenin yalnızca parçacığın bariyere çarpıp çarpmamasıyla değil, dalga fonksiyonunun iki sınırda nasıl eşleştirildiğiyle belirlendiğini gösterir. E > V0 olduğunda bariyer içinde salınıcı çözümler elde edilir; yine de sonlu bariyerde yansıma olabilir. Ancak E < V0 bölgesi, klasik geçişin yasak olduğu halde T değerinin sıfırdan farklı kalmasıyla tünellemenin en açık görüldüğü durumdur.

Bir parçacığın bariyere gönderilmesi, her ölçümde parçacığın kısmen bölüneceği anlamına gelmez. Aynı hazırlanmış deney çok sayıda tekrarlandığında bazı ölçümlerde parçacık yansımış, bazı ölçümlerde ise geçmiş bulunur. R ve T, bu sonuçların uzun vadeli olasılık oranlarını ifade eder.

Geçiş olasılığını belirleyen temel değişkenler

Dikdörtgen bariyerde tünelleme olasılığını belirleyen dört temel değişken parçacığın enerjisi E, bariyer yüksekliği V0, bariyer genişliği a ve parçacığın kütlesi m'dir. E < V0 durumunda bariyer içindeki sönüm sabiti

kappa = sqrt(2m(V0 - E)) / hbar

şeklindedir. Bu bağıntıda hbar indirgenmiş Planck sabitidir. kappa büyüdükçe dalga fonksiyonu bariyer içinde daha hızlı sönümlenir ve geçiş olasılığı azalır.

Bariyer yüksekliği V0 ile parçacık enerjisi E arasındaki fark büyüdükçe kappa artar. Bu nedenle daha yüksek bir bariyer, diğer koşullar aynı kaldığında daha düşük tünelleme olasılığı verir. Parçacığın enerjisi bariyer yüksekliğine yaklaştığında V0 - E farkı küçülür, sönüm zayıflar ve geçiş olasılığı artar. Bununla birlikte geçiş, bariyer yüksekliğinin altında olduğu sürece yalnızca enerji karşılaştırmasıyla değil, genişlik ve kütleyle birlikte değerlendirilmelidir.

Bariyer genişliği a, olasılığı özellikle güçlü biçimde etkiler. Kalın bariyerlerde geçiş katsayısının baskın davranışı exp(-2kappa a) ile orantılıdır. Bu ifade, genişliğin veya kappa değerinin küçük bir değişiminin bile olasılıkta büyük bir değişime yol açabileceğini gösterir. Kütle de aynı yönde etkilidir: Daha büyük kütle, kappa değerini artırır; dolayısıyla aynı enerji, yükseklik ve genişlikte ağır parçacığın tünelleme olasılığı daha küçüktür.

Örneğin elektron için V0 - E = 5 eV ve a = 0,2 nm iken kappa a yaklaşık 2,3 mertebesinde olabilir. Aynı bariyer genişliği ve enerji farkı daha ağır bir parçacık için kappa a değerini büyütür ve geçiş olasılığını hızla azaltır. Bu karşılaştırma, elektronların ince katı bariyerlerden tünellemesinin neden çekirdek parçacıklarına veya daha ağır atomlara göre daha kolay olabildiğini nicel olarak açıklar.

Olasılık akımı, geçiş katsayısı ve ölçüm yorumu

Bir dalganın yalnızca genliğine bakmak, bariyerden ne kadar parçacık geçtiğini belirlemek için yeterli değildir; yönlü olasılık akımı kullanılmalıdır. Gelen, yansıyan ve iletilen dalgaların akımları karşılaştırılarak R ve T katsayıları tanımlanır. Kayıpsız dikdörtgen bariyerde gelen akım, yansıyan akım ile iletilen akımın toplamına eşittir ve bu nedenle R + T = 1 bağıntısı geçerlidir.

Kuantum ölçümünde T, hazırlanmış parçacıkların bariyerin sağ tarafında bulunma olasılığını; R ise sol tarafa geri dönmüş bulunma olasılığını verir. Tek bir parçacık için sonuç ölçüm yapılmadan önce klasik anlamda kesinleşmiş bir geçiş veya yansıma yolu olarak yorumlanmaz. Çok sayıda aynı deneyin sonuç dağılımı ise hesaplanan katsayılarla uyuşur. Bariyer içindeki dalga fonksiyonunun küçük olması, parçacığın orada ölçülme olasılığının küçük olduğu anlamına gelir; bu, parçacığın bariyer içinde sabit bir hızla ilerlediği anlamına gelmez.

Basit bir bariyer hesabının fiziksel olarak yorumlanması

İdeal bir dikdörtgen bariyer için V0 = 10 eV, parçacık enerjisi E = 5 eV ve genişlik a = 0,2 nm olsun. Parçacık bir elektron kabul edildiğinde

kappa = sqrt(2m(V0 - E)) / hbar

bağıntısından kappa a yaklaşık 2,3 elde edilir. E = V0/2 olduğundan geçiş katsayısındaki ön çarpan sadeleşir ve

T = [1 + sinh^2(kappa a)]^-1

olur. kappa a değerinin yaklaşık 2,3 olmasıyla T yaklaşık 0,04, yani yüzde 4 mertebesindedir; buna karşılık R = 1 - T yaklaşık 0,96'dır.

Bu sonuç, elektronların yüzde 4'ünün tek bir bariyer karşılaşması deneyindeki istatistiksel geçiş oranını ifade eder; her elektronun enerjisinin bariyerden geçerken değiştiği anlamına gelmez. Bariyer genişliği aynı kalıp yüksekliği artırılırsa V0 - E büyür, kappa artar ve T küçülür. Genişlik 0,2 nm yerine daha büyük alınırsa da kappa a artacağı için hiperbolik sinüs terimi büyür ve geçiş olasılığı hızla azalır. Enerjiyi 5 eV'den 10 eV'lik bariyer yüksekliğine yaklaştırmak ise sönümü azaltarak geçişi artırır. Böylece hesaplanan sayı, yalnızca bir sonuç değil, bariyer parametrelerinin fiziksel etkisini gösteren bir ölçüdür.

Tünellemenin deneysel ve teknolojik görünümleri

Elektronların ince bir boşluk veya katı bariyer üzerinden tünellemesi, taramalı tünelleme mikroskobunun çalışma temelidir; prob ile yüzey arasındaki tünelleme akımı mesafeye çok duyarlı olduğu için yüzey özellikleri ve atomik ölçekte ayrıntılar incelenebilir. Benzer tünelleme süreçleri elektronik aygıtlarda da önem taşır.