Temel Olasılık Hesaplama: Örnek Uzay ve Uygun Sonuçlar

Örnek uzay, olay ve sonuç kavramları

Olasılıkta deney, gözlenebilir bir sonuç üreten etkinliktir. Bir zar atmak, madeni para çevirmek veya torbadan bir nesne çekmek birer deneydir. Deneyin gerçekleşebilecek tek tek çıktıları sonuç olarak adlandırılır. Deneyde ortaya çıkabilecek bütün sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzay denir. Olay ise örnek uzayın içindeki, incelenen koşulu sağlayan sonuçlar kümesidir.

Örneğin standart bir zar atma deneyinde sonuçlar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6'dır. Bu altı sonuç birlikte örnek uzayı oluşturur: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. “Çift sayı gelmesi” olayı ise A = {2, 4, 6} biçiminde yazılır. Burada 2, 4 ve 6 olayın uygun sonuçlarıdır; 1, 3 ve 5 bu olaya uymaz. Böylece örnek uzay tüm seçenekleri, olay ise soruda aranan seçenekleri gösterir.

Bu ayrımı doğru yapmak hesabın başlangıç noktasıdır. “4'ten küçük veya eşit sayı gelmesi” denildiğinde olay {1, 2, 3, 4} olur; örnek uzay yine zarın tüm altı yüzünü içerir. Olayı örnek uzayın tamamı sanmak uygun sonuç sayısını, örnek uzayı eksik yazmak ise toplam sonuç sayısını yanlış belirlemeye yol açar.

Eş olasılıklı durumlarda temel olasılık formülü

Bir deneyin bütün sonuçları eşit olasılıklıysa bir A olayının olasılığı, A olayına ait uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki toplam sonuç sayısına bölünmesiyle bulunur. Temel formül şöyledir:

P(A) = uygun sonuçların sayısı / toplam sonuçların sayısı

Formülde pay, olayın gerçekleşmesi için gereken sonuçları; payda ise deneyin bütün olası sonuçlarını gösterir. Zarın hilesiz olduğu kabul edildiğinde altı yüzün her biri eşit olasılıklıdır. “4'ten küçük veya eşit sayı gelmesi” olayında uygun sonuçlar 1, 2, 3 ve 4 olmak üzere 4 tanedir. Toplam sonuç sayısı 6 olduğundan P(A) = 4/6 = 2/3 olur.

Sonuç önce kesir, ardından gerekirse ondalık veya yüzde biçiminde yazılabilir. Olasılık 0 ile 1 arasında bir değerdir: 0 imkânsız olayı, 1 kesin olayı gösterir. Örneğin zar atışında 7 gelmesi mümkün olmadığı için olasılık 0, zarın 1 ile 6 arasında bir sayı göstermesi kesin olduğu için olasılık 1'dir. Bir olasılığı yüzdeye çevirmek için kesir veya ondalık değer 100 ile çarpılır; 2/3 yaklaşık 0,667 ve yaklaşık yüzde 66,7 olarak ifade edilebilir.

Uygun sonuçları ve toplam sonuçları sayma

Temel olasılık sorularında en sık yapılan işlem, pay ve paydayı doğru saymaktır. Toplam sonuçlar örnek uzaydaki tüm mümkün çıktılardır; uygun sonuçlar ise sorulan olayın koşulunu sağlayan çıktılardır. Sonuçları sayarken hiçbir seçeneği atlamamak ve aynı sonucu iki kez saymamak gerekir. Ayrıca doğrudan oran kurabilmek için sonuçların eş olasılıklı olması gerekir.

Bir torbada birbirinden ayırt edilebilen 3 kırmızı ve 2 mavi bilye bulunduğunu ve bir bilyenin rastgele çekildiğini düşünelim. Her bilyenin seçilme şansı eşitse toplam sonuç sayısı 5'tir. “Kırmızı bilye çekme” olayına uyan 3 bilye bulunduğundan olasılık 3/5'tir. Burada renkler olayın adını belirler, ancak sayım bilyelerin toplamı üzerinden yapılır. Kırmızı bilyeleri tek bir sonuç, mavi bilyeleri de tek bir sonuç saymak paydayı 2 almak olur ve bu yanlış bir model kurar.

İki zarın atıldığı sorularda da sonuçların nasıl tanımlandığı önemlidir. Birinci zar ve ikinci zarın üst yüzleri sıralı olarak kaydedilirse (1,1), (1,2) gibi tüm ikililer farklı sonuçlardır. Bu nedenle toplam sonuçları sayarken iki zarın her birindeki seçenekler birlikte değerlendirilir. Olay “toplamın 4 olması” ise yalnızca bu koşulu sağlayan ikililer uygun sonuç olur. Önce deneyin çıktısının ne olduğunu açıkça yazmak, ardından tüm çıktıları ve olayın çıktıları arasındaki sayıyı belirlemek gerekir.

Sayım sonunda kesir sadeleştirilebilir; ancak sadeleştirme uygun ve toplam sonuçların ne olduğunu gizlememelidir. Özellikle torba sorularında nesnelerin sayısı, zar sorularında yüzlerin sayısı, para sorularında ise gözlenen yüzlerin ve atış sıralarının sonuç olarak kabul edilip edilmediği kontrol edilmelidir.

Tek ve art arda yapılan temel deneylerde olasılık hesabı

Tek deneyde doğrudan deneyin tüm çıktıları yazılır ve olayın içindeki uygun çıktılar sayılır. Art arda yapılan deneylerde ise her denemenin sonucu birlikte ele alınır; sonuçların sırası gözleniyorsa farklı sıralar farklı çıktılar olarak yazılır. Örneğin madeni para iki kez atılırsa örnek uzay {YY, YT, TY, TT} biçimindedir. Burada ilk ve ikinci atışın sonuçları ayrı konumlarda bulunduğu için YT ile TY farklı sonuçlardır. Dört çıktı eş olasılıklıysa “iki kez de yazı gelmesi” olayının olasılığı 1/4, “tam bir kez yazı gelmesi” olayının olasılığı ise iki uygun çıktı bulunduğundan 2/4 = 1/2 olur.

Bir zar atılıp ardından bir madeni para çevrildiğinde ilk deneyin altı, ikinci deneyin iki olası çıktısı vardır. Sıralı sonuçlar birlikte düşünüldüğünde toplam 12 çıktı oluşur. “Zarda 3 veya 4 gelmesi ve paranın tura gelmesi” olayında uygun çıktılar (3,T) ve (4,T) olmak üzere 2 tanedir. Bu nedenle olasılık 2/12 = 1/6 olur. Aynı yöntem, iki zar atma veya torbadan art arda çekme gibi sorularda da kullanılabilir; ancak çekilen nesne geri konmuyorsa sonraki deneyin seçenekleri değişebilir ve böyle soruların modeli ayrıca dikkatle kurulmalıdır. Bağımsız ve bağımlı olayların ayrıntılı incelenmesi ayrı bir konudur.

Tümleyen olay ve en az bir durumlarının temel hesabı

Bir olayın tümleyeni, o olayın gerçekleşmediği sonuçlardan oluşur. A olayı “en az bir kez yazı gelmesi” ise tümleyen olay A'nın hiç gerçekleşmemesi, yani “hiç yazı gelmemesi”dir. Bir olay ile tümleyeni örnek uzayın bütün sonuçlarını birlikte kapsar ve ortak sonuç içermez. Bu nedenle olasılıkları toplamı 1'dir:

P(A) + P(A'nın tümleyeni) = 1

Buradan temel tümleyen formülü elde edilir:

P(A) = 1 - P(A'nın tümleyeni)

“En az bir” ifadesi bir veya daha fazla gerçekleşmeyi kapsadığı için doğrudan sayım bazen birçok durumu birlikte ele almayı gerektirir. İki madeni para atışında “en az bir yazı” olayının tümleyeni “iki atışta da tura”dır. Dört eş olasılıklı sonuçtan yalnızca TT tümleyene ait olduğundan P(iki tura) = 1/4 ve P(en az bir yazı) = 1 - 1/4 = 3/4 bulunur. Aynı düşünce, bir zarın art arda iki kez atılmasında “en az bir kez 6 gelmesi” için de kullanılabilir: önce iki atışta da 6 gelmeyen sonuçlar belirlenir, sonra bu olasılık 1'den çıkarılır.

Bu yöntemde “en az bir” ile “tam bir kez” ifadeleri karıştırılmamalıdır. En az bir, birden fazla gerçekleşme ihtimalini de içerir; tam bir kez ise yalnızca tek gerçekleşmeyi kapsar. Binom olasılığı ve tekrarlı deneylerin dağılımları, art arda deneylerdeki daha kapsamlı hesaplamaları ele alan ayrı bir konudur.