Olasılık Nedir? Örnek Uzay, Olaylar ve Temel Hesaplamalar

Olasılığın tanımı ve belirsizlikteki anlamı

Olasılık, bir olayın gerçekleşme derecesini gösteren sayısal ölçüdür. Sonucu kesin olmayan bir deneyde hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden bilinmese de sonuçların gerçekleşme ihtimalleri modellenebilir. Olasılık değeri 0 ile 1 arasında bulunur: 0 imkânsız bir olayı, 1 ise kesin gerçekleşen bir olayı ifade eder. Bu değerler kesir, ondalık sayı veya yüzde biçiminde yazılabilir.

Olasılık belirsizliği ortadan kaldırmaz; belirsiz durumu karşılaştırılabilir ve hesaplanabilir hâle getirir. Örneğin hilesiz bir sayı küpü atıldığında belirli bir yüzün gelmesi önceden kesin olarak bilinmez. Ancak her yüz eşit şansa sahipse 1 gelme olasılığı 1/6 olarak ifade edilir. Bu, tek atışta mutlaka 1 geleceği anlamına gelmez; aynı koşullar altında uzun vadeli ve matematiksel model açısından bu sonuca verilen payı gösterir.

Bir olasılık modeli, deneyin bütün mümkün sonuçlarını ve bu sonuçlara ait olasılıkları birlikte açıklar. Örneğin bir çekilişte kazanma olasılığı %1, kaybetme olasılığı %99 ise bu iki sonuç, modeldeki tüm olasılıkları tamamlar ve toplamları 1 olur. Böylece olasılık, yalnızca tek bir olayın şansını değil, belirsiz bir deneyin tamamını düzenleyen bir sistem olarak çalışır.

Örnek uzay, sonuç ve olay kavramları

Mümkün sonuçları bilinen, ancak her tekrarında hangi sonucun gözleneceği önceden kesin olarak bilinemeyen deneye rastlantısal deney denir. Bu deneyin ortaya çıkarabileceği her bir mümkün duruma sonuç adı verilir. Deneyin bütün mümkün sonuçlarının kümesine ise örnek uzay denir ve genellikle S ile gösterilir. Bir olay, örnek uzayın belirli bir koşulu sağlayan sonuçlarından oluşan alt kümesidir.

Örneğin bir madeni para iki kez atılsın. Sıralama dikkate alındığında örnek uzay S = {TT, TY, YT, YY} olur; burada T tura, Y yazı anlamındadır. Bu kümedeki her ifade tek bir sonuçtur. En az bir kez tura gelmesi olayı A = {TT, TY, YT} şeklinde yazılır. Yalnızca iki kez yazı gelmesi ise B = {YY} olayıdır. Görüldüğü gibi örnek uzay deneyin tüm seçeneklerini kapsarken olay, bu seçeneklerin içinden soruyla ilgili olanları seçer.

Bu ayrım, olasılık hesabının temelini oluşturur. Önce deneyin hangi sonuçları üretebileceği eksiksiz biçimde belirlenir; sonra soruda istenen koşulu sağlayan sonuçlar olay kümesine alınır. Bir olay tek bir sonuçtan oluşabileceği gibi birden fazla sonuç da içerebilir. Olayın olasılığı, bu kümenin örnek uzay içindeki payını veya ilgili olasılıkların toplamını ifade eder. Olasılık modeli kurarken sonuçların atlanması ya da aynı sonucun farklı adlarla iki kez sayılması hesabı bozar.

Olasılığın temel özellikleri ve aksiyomları

Bir olasılık modelinde her olay için 0 ≤ P(A) ≤ 1 koşulu geçerlidir. Örnek uzayın tamamının olasılığı P(S) = 1, hiçbir sonucu içermeyen imkânsız olayın olasılığı ise P(∅) = 0'dır. Birbirini dışlayan, yani aynı deneyde aynı anda gerçekleşemeyen olayların birleşiminde olasılıklar toplanır: A ve B ayrık ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Bu temel kurallar, olasılıkların negatif olmasını veya toplam olasılığın 1'i aşmasını engeller.

Örneğin bir sayı küpü atma deneyinde A = {1, 2}, B = {5, 6} olayları ayrıdır. Her yüz eşit olasılıklıysa P(A) = 2/6 ve P(B) = 2/6 olur; A veya B olayının olasılığı 4/6'dır. Buna karşılık iki olay ortak sonuç içeriyorsa olasılıkları doğrudan toplamak ortak kısmı iki kez sayabilir. Bu nedenle birleşim ve kesişim kuralları birlikte kullanılmalıdır.

Tümleyen, birleşim ve kesişim kuralları

Bir olayın tümleyeni, örnek uzayda o olaya ait olmayan sonuçlardan oluşur ve A'nın tümleyeni Aᶜ ile gösterilir. Olayın gerçekleşmesi ile gerçekleşmemesi birlikte örnek uzayın tamamını oluşturduğu için P(Aᶜ) = 1 - P(A) yazılır. Örneğin bir çekilişte kazanma olasılığı 0,01 ise kazanamama olasılığı 1 - 0,01 = 0,99'dur.

A ve B olaylarının birleşimi A ∪ B, A'nın veya B'nin gerçekleştiği tüm sonuçları kapsar. Kesişim A ∩ B ise iki olayın aynı anda gerçekleştiği ortak sonuçlardan oluşur. Olaylar ortak sonuç içeriyorsa birleşimin olasılığı ortak kısmı bir kez çıkarmakla bulunur: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Olaylar ayrık olduğunda kesişim boş kümedir ve formül P(A ∪ B) = P(A) + P(B) biçimine sadeleşir.

Bir sayı küpü atıldığında A = çift sayı gelmesi, B = 3'ten büyük sayı gelmesi olsun. A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} ve A ∩ B = {4, 6} olur. Bu durumda P(A) = 3/6, P(B) = 3/6, P(A ∩ B) = 2/6 ve P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6'dır. Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde nasıl değerlendirildiğine giriş yapar; ayrıntılı koşullu olasılık ve Bayes teoremi ayrı bir konudur. Rastgele değişken ise deney sonuçlarını sayısal değerlere taşıyan bir değişkendir; dağılımları burada ele alınmaz.

Eş olasılıklı sonlu durumlarda olasılık hesaplama

Örnek uzay sonlu ve bütün sonuçlar eşit olasılıklıysa bir A olayının olasılığı, A'daki uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına bölünmesiyle bulunur. Temel formül şudur: P(A) = uygun sonuç sayısı / tüm mümkün sonuçların sayısı. Burada sonuçların gerçekten eşit olasılıklı olması gerekir; eşit olasılıklı olmayan durumlarda yalnızca sonuçları sayarak oran kurmak doğru değildir.

Bir sayı küpü atıldığında örnek uzay S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. 4'ten küçük veya 4'e eşit sayı gelmesi olayı A = {1, 2, 3, 4} olduğundan dört uygun sonuç ve altı mümkün sonuç vardır. Bu nedenle P(A) = 4/6 = 2/3'tür. Aynı yaklaşım, sonuçların açıkça listelenebildiği iki veya üç aşamalı deneylerde de kullanılabilir; ancak her sonucu eksiksiz ve çakışmasız biçimde tanımlamak gerekir.

Birden fazla aşamadan oluşan deneylerde sonuçları sistemli biçimde saymak gerektiğinde sayma yöntemleri devreye girer; bu yöntemlerin ayrıntılı kullanımı ayrı bir konudur. Olasılık değerini yorumlarken 2/3, olayın her denemede kesin gerçekleşeceği anlamına gelmez; modelde bu olaya ayrılan payın 2/3 olduğunu gösterir.