Olasılık Dağılımları: Rassal Değişkenleri Anlama ve Uygun Modeli Seçme

Rassal değişken ile olasılık dağılımı arasındaki ilişki

Rassal değişken, sonucu belirsiz bir deneyin her olası sonucuna bir sayı atayan değişkendir. Buradaki değişken, cebirdeki sabit bir sayı gibi tek bir değeri temsil etmez; deneyin sonucuna göre farklı değerler alabilir. Örneğin üç kez para atıldığında gelen tura sayısı X ile gösterilebilir. X, 0, 1, 2 veya 3 değerlerinden birini alır. Hangi değerin gerçekleşeceği belirsizdir, ancak her değerin olasılığı deneyin yapısından hesaplanabilir.

Olasılık dağılımı, X'in alabileceği değerleri bu değerlere ait olasılıklarla eşleştirir. Böylece yalnızca mümkün sonuçların listesi değil, sonuçların ne sıklıkla beklenebileceği de açıklanır. Geçerli bir dağılımda her olasılık negatif olamaz; ayrık dağılımlarda tüm mümkün değerlerin olasılıkları toplamı, sürekli dağılımlarda ise yoğunluk fonksiyonunun tanım aralığı üzerindeki integrali 1 olmalıdır. Örneğin üç adil para atışında X = 0, 1, 2, 3 olabilir. X = 1 olasılığı, üç atıştan yalnızca birinde tura gelmesiyle oluşan sonuçların olasılıklarının toplamıdır. Dağılım, tek bir denemenin sonucunu önceden söylemez; çok sayıda tekrar sonunda sonuçların nasıl bir örüntü oluşturmasının beklendiğini gösterir.

Bu ilişkiyi bir tabloyla da ifade edebiliriz: bir sütunda X'in değerleri, diğer sütunda P(X = x) olasılıkları bulunur. Örneğin bir zar atışında X, üst yüze gelen sayı olsun. X'in 1 ile 6 arasındaki değerleri alması ve adil zar için her bir değerin aynı olasılığa sahip olması, X'in ayrık olasılık dağılımını oluşturur. Dağılımın grafiği veya fonksiyonu, deney sonuçlarını değil, rassal değişkenin olası değerleri üzerindeki olasılık düzenini temsil eder.

Ayrık ve sürekli olasılık dağılımları

Ayrık rassal değişken, değerleri sayılabilen bir kümeden gelen değişkendir. Başarı sayısı, kusurlu ürün sayısı, bir saatte gelen müşteri sayısı veya zarın üst yüzündeki sayı bu tür değişkenlere örnektir. Ayrık bir değişkenin belirli bir değeri alma olasılığı sıfır olmak zorunda değildir. Olasılık, tek tek değerler için verilebilir ve aralık olasılığı bu değerlerin olasılıkları toplanarak bulunur.

Sürekli rassal değişken ise zaman, uzunluk, ağırlık veya sıcaklık gibi ölçümle elde edilen ve bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabilen değişkendir. Sürekli dağılımda olasılık, eğrinin altında kalan alanla gösterilir. Tek bir noktanın genişliği olmadığı için P(X = c) = 0 olur; anlamlı olasılık soruları genellikle bir aralıkla ilgilidir. Örneğin bir müşterinin hizmet alma süresinin 5 ile 10 dakika arasında olma olasılığı, bu iki değer arasındaki eğrinin altında kalan alandır. Bu nedenle sürekli değişkende P(5 < X < 10) ile P(5 ≤ X ≤ 10) aynı değerdedir.

Ayrımın temel nedeni ölçme ve sayma biçimidir. Üç zar atışındaki eşleşme sayısı 0, 1, 2 veya 3 gibi belirli tam sayılarla sınırlıdır ve ayrık dağılımla modellenir. Buna karşılık bir kişinin gişede geçirdiği süre 6 dakika, 6,2 dakika veya 6,237 dakika olabilir; bu değişken sürekli kabul edilir. Örneğin bir saatte gelen müşteri sayısı Poisson türünde ayrık, bir sonraki müşterinin gelmesine kadar geçen süre ise üstel türde sürekli bir değişken olarak ele alınır. Aynı olay akışıyla ilgili olsalar da biri olayları sayar, diğeri zaman aralığını ölçer.

PMF, PDF ve CDF ile olasılıkları ifade etme

PMF, ayrık bir rassal değişkenin olasılık kütle fonksiyonudur ve f_X(x) = P(X = x) biçiminde yazılır. Her mümkün x değeri için değişkenin o değeri alma olasılığını verir. Örneğin X, üç para atışındaki tura sayısıysa PMF, X'in 0, 1, 2 veya 3 olma olasılıklarını ayrı ayrı gösterir. Belirli bir kümenin olasılığı, kümedeki değerlerin PMF olasılıklarının toplanmasıyla bulunur. PMF'nin değerleri negatif olamaz ve tüm mümkün değerler için toplam 1'dir.

PDF, sürekli bir rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonudur ve genellikle f(x) ile gösterilir. PDF'nin belirli bir noktadaki yüksekliği tek başına o noktaya ait olasılık değildir. Olasılık, PDF eğrisinin bir aralık üzerindeki alanıdır. Bu yüzden P(a < X < b), a ile b arasındaki alan olarak hesaplanır. Eğrinin tamamının altında kalan alan 1'e eşittir. Örneğin hizmet süresi X için PDF eğrisi verilmişse, 9 dakika veya daha kısa sürme olasılığı, 0 ile 9 dakika arasındaki alanla bulunur. Böyle bir hesapta zaman birimleri önce saate çevrilerek aralık olasılığı bulunur.

CDF, kümülatif dağılım fonksiyonudur ve F(x) = P(X ≤ x) şeklinde tanımlanır. Bir değere kadar birikmiş toplam olasılığı verir. Ayrık değişkende PMF değerleri toplanarak, sürekli değişkende PDF'nin belirli bir noktaya kadar alanı alınarak elde edilir. CDF kullanılarak aralık olasılığı F(b) - F(a) biçiminde bulunabilir; sürekli değişkenlerde uç noktaların dahil edilmesi sonucu değiştirmez. Örneğin F(10) müşterinin hizmet süresinin 10 dakikadan kısa veya eşit olma olasılığı, F(5) ise 5 dakikaya kadar olan olasılıktır; aradaki süre için olasılık bu iki kümülatif değerin farkıdır.

Dağılım parametrelerinin örneklemden tahmin edilmesi ve istatistiksel çıkarım, ayrı bir konunun kapsamındadır. Birleşik dağılımlar ve çok değişkenli rassal değişkenler için ilgili konuya bakılabilir; moment üreten fonksiyonlar ve ileri türetimler ise burada kullanılmamaktadır.

Beklenen değer ve varyans

Beklenen değer, rassal değişkenin uzun vadeli ortalamasını veya dağılımın merkezini ifade eder. Ayrık bir değişken için E(X) = Σ x·P(X = x) yazılır; yani her değer, kendi olasılığıyla ağırlıklandırılır. Bu değer tek bir deneyde mutlaka gerçekleşecek sonuç değildir. Örneğin bir oyunda kazanç ve kayıplar varsa beklenen kazanç, çok sayıda tekrar sonunda oyun başına düşen ortalama kazanç olarak yorumlanır. Bir zar oyununda da teorik beklenen kâr, deneysel verilerden hesaplanan ortalama kârla karşılaştırılır.

Varyans, değerlerin beklenen değerin çevresinde ne kadar yayıldığını ölçer. Ayrık değişken için Var(X) = E[(X - μ)^2] veya Var(X) = E(X²) - μ² biçiminde yazılabilir. Varyansın karekökü standart sapmadır ve değişkenin yayılımını kendi ölçü birimiyle ifade eder. Aynı beklenen değere sahip iki dağılımdan birinin varyansı daha büyükse, o dağılımda değerler merkezden daha geniş bir alana yayılır. Bu nedenle beklenen değer merkezi, varyans ise belirsizliğin veya saçılmanın düzeyini özetler.

Temel olasılık dağılımları

Bernoulli dağılımı, sonucu yalnızca başarı veya başarısızlık olan tek bir denemeyi modeller. Başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı q = 1 - p ile gösterilir. Binom dağılımı ise aynı başarı olasılığına sahip, bağımsız Bernoulli denemelerinde belirli sayıdaki başarıyı modeller. Deneme sayısı sabittir; örneğin bir kart desteden geri koyularak 10 kez çekiliyor ve her çekişte elmas gelip gelmediği kaydediliyorsa, elmas sayısı binom dağılımına uygundur. Bu deney binom yapısının tipik bir örneğidir.

Geometrik dağılımda deneme sayısı önceden sabitlenmez; ilk başarı elde edilene kadar denemeler sürer. İlk başarıdan önceki tüm denemeler başarısızdır. Örneğin hedefe isabet edene kadar dart atılıyorsa, ilk isabetin kaçıncı atışta gerçekleştiği geometrik dağılımla modellenebilir. Bu modelde her denemede başarı olasılığı aynı kalır ve deneme, ilk başarıdan sonra durur.

Poisson dağılımı, belirli bir zaman veya alan aralığında gerçekleşen olayların sayısını modeller. Bir saatte gişeye gelen müşteri sayısı veya belirli bir bölgede gözlenen olay sayısı bu yapıya örnektir. Örneğin bir saatte ortalama 10 müşteri gelişi üzerinden belirli sayıda müşterinin gelme olasılığı Poisson dağılımıyla ele alınır. Üstel dağılım ise olay sayısını değil, bir sonraki olaya kadar geçen süreyi veya bir hizmetin devam süresini modelleyen sürekli dağılımdır.

Düzgün dağılımda belirli bir aralıktaki değerler eşit yoğunlukla ele alınır; olasılık aralıktaki uzunlukla ilişkilidir. Normal dağılım, ortalama çevresinde simetrik ve çan biçimli sürekli bir dağılımdır. Bir normal dağılımda olasılıklar eğri altındaki alanla bulunur. Hesaplamalarda X değeri Z = (X - μ) / σ formülüyle standart normal dağılıma dönüştürülebilir; burada Z, değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir. farklı ortalama ve standart sapmaya sahip normal dağılımların bu ortak ölçek üzerinden karşılaştırılmasını açıklar.

Deney yapısına göre dağılım seçimi

Dağılım seçerken önce rassal değişkenin neyi ölçtüğü belirlenir: sonuç sayısı mı, başarı sayısı mı, ilk başarıya kadar geçen deneme sayısı mı, belirli süredeki olay sayısı mı, yoksa ölçülen sürekli bir büyüklük mü? Tek bir başarı-başarısızlık denemesi Bernoulli'yi; sabit sayıda bağımsız denemede başarı sayısı binomu gösterir. Deneme sayısı ilk başarıya kadar devam ediyorsa geometrik dağılım seçilir. Böylece yalnızca değişkenin adı değil, deneyin durma kuralı da dikkate alınır.

Olaylar belirli bir zaman aralığında sayılıyorsa Poisson dağılımı uygun bir adaydır. Aynı bağlamda soru, "kaç olay gerçekleşir?" yerine "bir sonraki olay ne kadar sonra gerçekleşir?" diye soruyorsa sürekli zaman değişkeni söz konusudur ve üstel dağılım düşünülür. Müşteri gelişlerinin sayısı ile gişede geçirilen sürenin farklı dağılımlarla modellenmesi bu ayrımı gösterir. Ölçülen değişken belirli bir aralıkta eşit yoğunlukla kabul ediliyorsa düzgün dağılım, ortalama çevresinde simetrik bir ölçüm yapısı varsa normal dağılım kullanılabilir.

Seçim için şu sırayla ilerlemek işe yarar: Değişken ayrık mı sürekli mi? Ayrıksa tek deneme mi, sabit sayıda tekrar mı, ilk başarıya kadar tekrar mı, yoksa zaman aralığındaki olay sayısı mı ölçülüyor? Sürekliyse soru bir aralık alanı ve ölçüm dağılımı üzerinden mi kurulmuş? Örneğin 10 kart çekiminde kaç kez elmas geldiği binom, hedefe ulaşmak için kaç atış gerektiği geometrik, bir saatte kaç müşteri geldiği Poisson, bir sonraki müşteriye kadar geçen süre ise üstel modele yönlendirir. Model seçildikten sonra PMF veya PDF ile yapı ifade edilir, CDF ile de birikimli ya da aralık olasılıkları hesaplanır.

Dağılım parametreleri

Parametreler, bir dağılımın biçimini veya konumunu belirleyen sabitlerdir; örneğin binom dağılımında deneme sayısı ve başarı olasılığı, normal dağılımda ortalama ve standart sapma kullanılır. Parametrelerin değişmesi, aynı dağılım ailesi içinde olasılıkların ve yayılımın değişmesine yol açar. Dağılım parametreleri ve nüfusun dağılışı arasındaki ilişki için ilgili konuya bakılabilir.