Oyun Teorisi: Stratejik Etkileşimleri Modelleme ve Çözümleme

Oyun teorisinin kapsamı ve stratejik etkileşim

Stratejik etkileşim, en az iki karar vericinin bulunduğu ve her birinin sonucunun diğerlerinin seçimlerinden etkilendiği durumdur. Oyun teorisi bu etkileşimleri; oyuncuların kim olduğunu, hangi seçeneklere sahip olduklarını, kararların hangi sırayla alındığını ve her sonucun oyuncular açısından değerini gösteren modellerle inceler. Buradaki “oyun” sözcüğü yalnızca eğlence veya yarışma anlamına gelmez; ortak bir sonuca yol açan karşılıklı karar durumunu ifade eder.

Bir oyuncunun kararı diğer oyuncunun kararını değiştirmiyorsa sorun basit bir bireysel optimizasyon problemi olarak ele alınabilir. Ancak kararlar karşılıklı bağımlıysa her oyuncu, “Ben bunu seçersem diğer oyuncu nasıl karşılık verir?” sorusunu hesaba katar. Örneğin aynı bölgede faaliyet gösteren iki kafe, fiyatlarını birbirinden bağımsız belirleyemez. Bir kafe fiyatını düşürdüğünde müşteri sayısı yalnızca kendi fiyatına değil, rakibinin fiyatına da bağlı hâle gelir. Bu nedenle model, yalnızca her kafenin maliyetini değil, iki kafenin olası fiyat seçimlerinin birlikte doğuracağı sonuçları da içermelidir.

Oyun teorisinin ekonomi uygulamalarında temel amaç, rekabet eden kişi veya kurumların davranışlarını modellemek ve hangi strateji kümelerinin denge oluşturduğunu incelemektir. Bu modeller, gerçek davranışları açıklamak için kullanılabileceği gibi karar vericilere hangi seçeneklerin daha uygun olabileceği konusunda yol göstermek için de kullanılabilir. Tek seferlik bir durum ile kararların tekrarlandığı ve işbirliği ihtimalinin önem kazandığı oyunlar farklı makalelerde ele alınır; pazarlık oyunları da ayrı bir konu olarak incelenir.

Bir oyunun temel bileşenleri

Bir oyunun matematiksel olarak kurulabilmesi için önce oyuncular belirlenir. Oyuncular; bireyler, firmalar, devletler, bilgisayar programları veya karar alan başka birimler olabilir. Her oyuncunun kullanabileceği seçenekler strateji kümesini oluşturur. Strateji, yalnızca tek bir hamle değil, oyunun yapısına göre karar verme planı anlamına da gelebilir. Oyuncuların hangi hamleleri yapabileceğini, kararların sırasını ve izin verilen davranışları kurallar belirler.

Bilgi yapısı, oyuncuların oyun başlamadan veya karar anında hangi bilgileri bildiğini açıklar. Tam bilgi durumunda oyunun kuralları, getirileri ve oyuncuların ilgili özellikleri ortak bilgidir; önceki hamlelerin karar anında gözlenebildiği durum ise kusursuz bilgi olarak adlandırılır; bilgi yapısının farklı olduğu durumlarda ise oyuncuların bildikleri birbirinden ayrılabilir. Bu ayrım yalnızca tanımlama amacıyla başlangıç düzeyinde belirtilir; eksik bilgili ve Bayesçi oyunların ayrıntılı çözümü ayrı bir konudur. Son bileşen olan getiri, belirli stratejiler birlikte seçildiğinde her oyuncunun elde ettiği sonucu gösterir. Getiri para olabilir; zaman, puan, maliyet, tercih edilen sonuç veya başka bir fayda ölçüsü de olabilir.

Örneğin iki öğrencinin ortak bir sunumda çalışma düzeyini modelleyelim. Oyuncular iki öğrencidir; her birinin “çok çalış” ve “az çalış” seçenekleri vardır. Kurallar, ikisinin kararlarının aynı değerlendirme sonucunu etkilemesi olsun. Bir öğrenci çok çalıştığında sunumun kalitesi artabilir, fakat diğer öğrenci az çalışarak bu katkıdan yararlanabilir. Bu durumda her strateji çifti için iki öğrencinin elde ettiği puan veya fayda yazılır. Böylece sözel bir durum, oyuncu-strateji-kural-bilgi-getiri bileşenlerinden oluşan çözülebilir bir oyuna dönüşür.

Normal biçimde oyun ve getiri matrisi

Normal biçimli oyun, özellikle oyuncuların seçimlerini aynı anda yaptığı veya birbirlerinin seçimini karar anında gözlemlemediği durumları göstermeye yarar. Modelde oyuncuların stratejileri satır ve sütunlarda listelenir; her hücre, bu stratejiler birlikte seçildiğinde oyuncuların getirilerini gösterir. İki oyunculu bir oyunda hücredeki sıralı çift genellikle (satır oyuncusunun getirisi, sütun oyuncusunun getirisi) biçiminde okunur.

Örnek olarak iki firmanın fiyat kararını basitleştirelim. Her firma “yüksek fiyat” veya “düşük fiyat” seçsin. Aşağıdaki matriste ilk sayı A firmasının, ikinci sayı B firmasının getirisidir:

A ve B aynı anda yüksek fiyat seçerse sonuç (5, 5) olur. A yüksek, B düşük fiyat seçerse (2, 7) elde edilir; bu durumda düşük fiyat seçen B daha yüksek getiri alır. Ters durumda A düşük, B yüksek fiyat seçerse (7, 2) ortaya çıkar. İki firma da düşük fiyat seçerse sonuç (3, 3) olur. Bu matris, seçeneklerin yalnızca tek tek değerini değil, her seçimin karşı tarafın tercihiyle birleştiğinde doğurduğu sonucu gösterir.

Matrisi analiz ederken önce her oyuncunun karşı tarafın her olası seçimine karşı hangi getiriyi elde ettiğine bakılır. Satır oyuncusu için sütunların her birinde satırları karşılaştırmak, sütun oyuncusu için ise satırların her birinde sütunları karşılaştırmak gerekir. Böylece baskın stratejiler, en iyi tepkiler ve Nash dengesi gibi çözüm kavramları matristen çıkarılabilir. Matrisin kendisi çözümü otomatik olarak vermez; çözüm, getirilerin sistematik biçimde karşılaştırılmasıyla bulunur.

Baskın strateji ve en iyi tepki

Bir strateji, rakibin hangi stratejiyi seçeceğinden bağımsız olarak başka bir stratejiden daha yüksek getiri sağlıyorsa baskın stratejidir. Getiriler bazı durumlarda eşit olabilir; önemli olan, baskın stratejinin karşı tarafın her seçimine karşı daha kötü olmamasıdır. Baskın strateji varsa oyuncunun seçimi, rakibin kararına ilişkin tahmine daha az bağımlı hâle gelir.

En iyi tepki ise rakibin belirli bir stratejisi verildiğinde oyuncunun ulaşabileceği en yüksek getiriyi sağlayan stratejidir. Yukarıdaki fiyat matrisinde B yüksek fiyat seçerse A için yüksek fiyatın getirisi 5, düşük fiyatın getirisi 7’dir; A’nın en iyi tepkisi düşük fiyattır. B düşük fiyat seçerse A için yüksek fiyatın getirisi 2, düşük fiyatın getirisi 3’tür; A yine düşük fiyatı seçer. Dolayısıyla bu örnekte A’nın düşük fiyat stratejisi baskındır. Aynı karşılaştırma B için de yapılır. En iyi tepkilerin kesiştiği hücreler, Nash dengesi arayışında aday sonuçları oluşturur.

Nash dengesi

Nash dengesi, her oyuncunun diğer oyuncuların stratejileri sabitken kendi seçimini tek başına değiştirerek getirisini artıramadığı strateji kümesidir. Bu kavram, herkesin mümkün olan en yüksek getiriyi elde ettiği anlamına gelmez. Sadece mevcut stratejiler karşısında hiçbir oyuncunun tek taraflı sapma için kazançlı bir nedeni olmadığını söyler.

Bir Nash dengesini bulmak için önce her oyuncunun en iyi tepkileri belirlenir. Satır oyuncusunun en iyi tepkisi, sütun oyuncusunun seçtiği sütunda en yüksek getiriyi veren satırdır. Sütun oyuncusunun en iyi tepkisi ise satır oyuncusunun seçtiği satırda kendisine en yüksek getiriyi veren sütundur. Bir hücrede iki oyuncunun da seçimi karşı tarafın kararına en iyi tepkiyse o hücre Nash dengesidir.

Fiyat matrisine dönelim. B yüksek fiyat seçtiğinde A’nın en iyi tepkisi düşük fiyattır; B düşük fiyat seçtiğinde de A’nın en iyi tepkisi düşük fiyattır. Benzer biçimde A yüksek fiyat seçtiğinde B için düşük fiyat, A düşük fiyat seçtiğinde de B için düşük fiyat daha yüksek getiri sağlar. Bu nedenle (düşük fiyat, düşük fiyat) hücresinde iki oyuncu da tek başına strateji değiştirerek getirisini artıramaz; bu hücre Nash dengesidir.

Bu sonuç, (yüksek fiyat, yüksek fiyat) seçiminin her iki firma için toplamda daha yüksek getiri sağlayabileceği gözlemini ortadan kaldırmaz. Ancak bu hücrede tek bir firma, diğerinin yüksek fiyatını koruduğunu varsayarak düşük fiyata geçerse kendi getirisini 5’ten 7’ye çıkarabilir. Dolayısıyla yüksek-yüksek sonucu karşılıklı olarak daha iyi görünse de Nash dengesi değildir. Analiz, “en iyi ortak sonuç” ile “tek taraflı sapma karşısında kararlı sonuç” arasındaki farkı açıkça ortaya koyar.

Sıralı oyunlar ve geriye doğru çözümleme

Sıralı oyunda oyuncular kararlarını aynı anda değil, belirli bir zaman sırasına göre alır. Daha önce hamle yapan oyuncu, sonraki oyuncunun hangi seçeneklere sahip olduğunu ve rasyonel biçimde nasıl karşılık vereceğini hesaba katabilir. Bu nedenle sıralı oyunlar genellikle bir oyun ağacıyla gösterilir: düğümler karar anlarını, dallar seçenekleri, son düğümler ise getirileri temsil eder.

Geriye doğru çözümleme, ağacın sonundaki karar noktalarından başlayıp ilk karara doğru ilerler. Önce son hamleyi yapan oyuncunun her olası durumda en yüksek getiriyi sağlayan seçeneği belirlenir. İlk oyuncu, sonraki oyuncunun bu tepkisini dikkate alarak kendi seçenekleri arasından kendisine en iyi sonucu vereni seçer. Örneğin A önce “pazara gir” veya “girme” kararı versin; A girerse B “fiyatı düşür” veya “koru” seçeneklerinden birini seçsin. B’nin her durumda hangi seçeneği tercih edeceği belirlendikten sonra A, B’nin bu tepkilerini hesaba katarak ilk kararını verir. Böylece çözüm, yalnızca sonuca bakılarak değil, karar sırasının etkisi izlenerek bulunur.

Sıralı oyunlarda tehdit veya vaatlerin gerçekten uygulanabilir olup olmadığı da önem taşır; sonraki oyuncunun kendi karar noktasındaki çıkarıyla uyuşmayan bir tepki, ilk oyuncunun hesabında güvenilir kabul edilmez. Tekrarlanan oyunlar ve işbirliği, sıralı oyunun bu temel çözümünden daha geniş bir konudur.