Temel Sayma Yöntemleri: Toplama ve Çarpma Kuralları

Sayma problemini seçeneklere ve aşamalara ayırma

Bir sayma problemine başlamadan önce soruda neyin seçildiğini ve bir sonucun nasıl oluştuğunu belirlemek gerekir. Bir durum diğerinin alternatifi olarak sunuluyorsa seçenekler söz konusudur; örneğin otobüsle veya trenle gitmek iki ayrı ulaşım seçeneğidir. Bir sonuç için önce bir seçim, ardından başka bir seçim yapılıyorsa problem aşamalara ayrılır; örneğin önce gömlek, sonra pantolon seçmek iki ardışık aşamadır.

Problemi yapılandırmanın pratik bir yolu, sonucu oluşturan adımları sırayla yazmaktır. Her aşamada kaç seçeneğin kaldığı belirlenir ve seçimlerin birbirini etkileyip etkilemediği kontrol edilir. Alternatif durumlar ayrık olduğunda sonuç sayıları toplanır; her sonucun birden fazla ardışık seçimle oluştuğu durumda aşama sayıları çarpılır. Örneğin bir öğrenci üç farklı kapüşonludan birini ve iki farklı pantolondan birini seçiyorsa tek bir kıyafet, iki aşamanın birlikte tamamlanmasıyla oluşur. Buna karşılık öğrenci ya kütüphaneye ya da spor salonuna gidecekse bunlar aynı anda gerçekleşmeyen iki seçenektir.

Bire bir eşleme ile sayma, nesneleri sayılarla veya başka bir listeyle eşleştirerek kaç nesne olduğunu belirleme fikrini tanıtır; temel kuralları uygularken seçenekleri görünür hâle getirmeye yardımcı olabilir.

Toplama kuralı ve ayrık seçenekler

Toplama kuralı, bir sonuç için birbirini dışlayan seçeneklerden yalnızca birinin seçildiği durumlarda kullanılır. Birinci durum a farklı şekilde, ikinci durum b farklı şekilde gerçekleşiyor ve bu iki durum aynı sonucu paylaşmıyorsa toplam sonuç sayısı a + b olur. Birden fazla ayrık seçenek varsa her seçeneğin sonuç sayısı toplanır.

Kuralın çalışma nedeni, her sonucun yalnızca bir seçeneğin içinde yer almasıdır. Bu nedenle birinci seçeneğin sonuçlarını saydıktan sonra ikinci seçeneğin sonuçlarını eklemek, hiçbir sonucu tekrarlamaz. Örneğin bir kafeteryada 4 farklı çorba veya 3 farklı salata arasından yalnızca bir ürün seçilecekse seçim 4 + 3 = 7 farklı biçimde yapılabilir. Çorba ve salata aynı seçimde birlikte alınmadığı için bu iki grup ayrıdır.

Benzer biçimde bir etkinliğe 5 farklı otobüs güzergâhından biriyle veya 2 farklı tren seferinden biriyle gidilebiliyorsa toplam ulaşım seçeneği 5 + 2 = 7 olur. Burada “veya” sözcüğü, verilen bağlamda alternatif yolları gösterir. Ancak aynı sonucun iki farklı grupta bulunabileceği bir durumda doğrudan toplama yapmak doğru değildir; önce çakışma kontrol edilmelidir.

Çarpma kuralı ve ardışık seçimler

Çarpma kuralı, bir sonucun art arda tamamlanan aşamalardan oluştuğu durumlarda kullanılır. Birinci aşama a farklı, birinci seçimden sonra yapılan ikinci aşama b farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa toplam sonuç sayısı a × b olur. Daha fazla aşama varsa her aşamadaki seçenek sayıları çarpılır.

Bu kuralın nedeni, ilk aşamadaki her seçimin ikinci aşamadaki seçeneklerin tamamıyla eşleşebilmesidir. İlk seçim için a olasılık ve bu seçimlerin her biri için b olasılık varsa, sonuçlar a ayrı grup hâlinde düşünülür; her grupta b sonuç bulunduğu için toplam a × b sonucuna ulaşılır. Bir aşamadaki seçim sonraki seçenekleri değiştiriyorsa, sonraki aşamanın sayısı her durumda aynı olmayabilir. Bu durumda her dalın ayrı incelenmesi veya uygun toplamların kullanılması gerekir.

Örneğin 3 farklı gömlek ve 2 farklı pantolon arasından birer tane seçilsin. Her gömlek, 2 pantolondan herhangi biriyle eşleşebildiği için her gömlek 2 kıyafet oluşturur. Üç gömlek bulunduğundan toplam kıyafet sayısı 3 × 2 = 6’dır. Burada gömlek ve pantolon aynı anda seçilmez; bir kıyafet oluşturmak için iki aşama birlikte tamamlanır. Bu nedenle işlem toplama değil çarpmadır.

Başka bir örnekte bir kodun ilk basamağı için 4, ikinci basamağı için 5 ve üçüncü basamağı için 2 seçenek bulunduğunu düşünelim. Her aşama sırayla tamamlandığı ve her ilk seçimin sonraki seçeneklerle eşleştiği için kod sayısı 4 × 5 × 2 = 40 olur.

Toplama ve çarpma kurallarını ayırt etme

İki kuralı ayırt etmek için önce sonucun nasıl oluştuğu sorulmalıdır: Seçeneklerden yalnızca biri mi seçiliyor, yoksa tek bir sonuç için seçimlerin hepsi mi gerekiyor? “Veya”, “ya da” gibi ifadeler çoğunlukla alternatif durumları gösterir ve ayrık olduklarında toplama kuralına götürür. “Ve” ifadesi ise çoğunlukla art arda gerçekleşen aşamaları gösterir ve çarpma kuralına götürür.

Örneğin bir menüden 4 farklı ana yemekten veya 3 farklı tatlıdan yalnızca biri seçiliyorsa sonuç sayısı 4 + 3 = 7’dir. Çünkü ana yemek ve tatlı grupları burada alternatif olarak verilmiştir. Buna karşılık 4 ana yemekten birini ve 3 tatlıdan birini seçmek, iki seçimin birlikte yapılmasını gerektirir; sonuç sayısı 4 × 3 = 12 olur. Aynı sayılar kullanılsa bile bağlaç ve seçim koşulu değiştiği için işlem türü değişir.

Bir problemde hem toplama hem çarpma aynı anda bulunabilir. Örneğin bir öğrenci ya 2 farklı atıştırmalık ve 3 farklı içecekten birer tane seçebilir ya da 4 farklı meyveden yalnızca birini seçebilir. İlk durum 2 × 3 = 6 sonuç verir; ikinci durum 4 sonuç verir. Durumlar birbirinden ayrık olduğundan toplam sonuç sayısı 6 + 4 = 10’dur. Önce her alternatifin içindeki ardışık seçimler çarpılır, sonra alternatif durumlar toplanır.

Bu ayrım, yalnızca bağlaçları mekanik olarak izlemekten ibaret değildir. “Veya” ile bağlanan iki küme çakışıyorsa doğrudan toplama yapılamaz; “ve” ile verilen seçimlerden biri diğerine bağlıysa her aşamadaki seçenek sayısı ayrıca incelenmelidir. Permütasyon, nesnelerin sıralı biçimde düzenlenmesini; kombinasyon ise seçimde sıranın önem taşımadığı durumları ele alan ayrı konulardır. Faktöriyel ve ileri sayma formülleri ise daha kapsamlı sayma problemlerinde kullanılan başka araçlardır.

Seçeneklerin çakışıp çakışmadığını kontrol etme

Toplama kuralını kullanmadan önce seçeneklerin ayrık olup olmadığı kontrol edilmelidir. İki seçenek çakışıyorsa aynı sonuç her iki grupta da yer alır ve doğrudan toplama bu sonucu iki kez sayar. Örneğin bir sınıfta gözlük takan 8, şapka takan 5 öğrenci varsa bu iki grubun kesişip kesişmediği bilinmeden 8 + 5 işlemiyle toplam öğrenci sayısı bulunamaz; bazı öğrenciler hem gözlük takıyor hem şapka takıyor olabilir.

Kontrol için “Aynı sonuç iki farklı seçeneğin içinde bulunabilir mi?” sorusu sorulur. Cevap hayırsa seçenekler ayrıdır ve toplama kuralı doğrudan uygulanabilir. Cevap evetse ortak sonuçlar ayrıca değerlendirilmelidir. Örneğin kırmızı kartlar ile kupa kartları seçenek olarak verilmişse kırmızı kupa kartları iki grupta da bulunabilir; bu nedenle grupları olduğu gibi toplamak aynı kartları tekrarlı sayar.