Permütasyon Nedir? P(n,r) Formülü ve Örnekler

Permütasyon kavramı ve sıralamanın önemi

Permütasyon, nesnelerin belirli bir düzene göre sıralanmasıdır. Harfleri bir kelimede dizmek, rakamları bir sayıda kullanmak veya kişileri bir fotoğraf için yan yana yerleştirmek permütasyona örnek olabilir. Buradaki temel nokta, elde edilen düzenin sırasının dikkate alınmasıdır. Aynı nesneler kullanılsa bile farklı sıra, farklı bir permütasyon oluşturur.

Örneğin A, B ve C harfleriyle üçlü dizilişler oluşturulsun. ABC ile BAC aynı harflerden oluşur; ancak harflerin yerleri değiştiği için iki farklı sıralamadır. İlk konuma üç harften biri, ikinci konuma kalan iki harften biri, son konuma ise kalan tek harf getirilebilir. Böylece farklı konumlar için seçenek sayısı adım adım azalır ve toplam düzen sayısı 3 × 2 × 1 olur. Bu azalma, aynı nesnenin aynı düzen içinde iki kez kullanılmamasından kaynaklanır.

Sıralamanın önemli olup olmadığını anlamak için görevlerin veya konumların birbirinden farklı olup olmadığına bakılır. Bir kulüpte başkan, başkan yardımcısı ve sayman seçiliyorsa kişilerin hangi görevi aldığı önemlidir. Bir kişi başkan olduğunda ortaya çıkan sonuç, aynı kişinin sayman olduğu sonuçla aynı kabul edilmez. Buna karşılık yalnızca bir grup seçiliyor ve üyelerin kendi içindeki sırası önemsenmiyorsa permütasyon değil, başka bir sayma modeli gerekir. Kombinasyonda seçimdeki sıra dikkate alınmaz; bu iki kavramın ayrıntılı karşılaştırması ayrı bir konudur.

Tekrarsız r’li permütasyon formülü P(n,r)

Birbirinden farklı n nesne arasından r tanesi seçilip sıraya diziliyorsa tekrarsız r’li permütasyon sayısı P(n,r) ile gösterilir. Burada n toplam nesne sayısını, r ise sıralamada kullanılacak nesne sayısını belirtir. Nesneler tekrarsız olduğundan seçilen bir nesne sonraki konumlarda yeniden kullanılamaz.

Formülün temel mantığı, her konum için kaç seçeneğin kaldığını çarpmaktır. İlk konum için n seçenek vardır. İkinci konumda bir nesne kullanıldığı için n-1 seçenek kalır; üçüncü konumda n-2 seçenek kalır. Bu işlem r konum dolana kadar sürer. Dolayısıyla P(n,r) = n × (n-1) × (n-2) × ... biçiminde ardışık çarpanlardan oluşur.

Örneğin 6 kişilik bir kulüpte başkan, başkan yardımcısı ve sayman seçilecek olsun. Başkanlık için 6, başkan yardımcılığı için kalan 5, saymanlık için kalan 4 seçenek bulunur. Görevler farklı olduğu için sıra ve görev eşleşmesi önemlidir. Sonuç P(6,3) = 6 × 5 × 4 = 120 olur. Bu sayı, 6 kişiden 3 kişinin seçilerek üç farklı göreve sıralı biçimde atanabileceği düzenlerin sayısını gösterir.

Aynı hesap faktöriyel biçiminde P(n,r) = n!/(n-r)! olarak yazılır. n! ifadesi tüm n nesnenin sıralanmasını, (n-r)! ile bölme ise kullanılmayan nesnelerin kendi aralarındaki sıralamalarını hesaptan çıkarmayı sağlar. Örnekte P(6,3) = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 120 bulunur. Tekrarlı permütasyonlara giriş ise nesnelerin aynı türden tekrar edebildiği farklı bir durumu ele alır.

Tüm nesnelerin kullanıldığı permütasyon

Bir kümedeki n farklı nesnenin tamamı sıralanıyorsa r değeri n olur. Bu durumda P(n,n) = n!/(n-n)! = n!/0! biçimine ulaşılır. 0! = 1 olduğundan tüm nesnelerin kullanıldığı permütasyon sayısı doğrudan n! olur.

Bunun nedeni konumlara sırayla bakıldığında ilk konum için n, ikinci konum için n-1 ve son konum için 1 seçenek bulunmasıdır. Bu nedenle toplam sayı n × (n-1) × ... × 2 × 1 şeklinde yazılır. Örneğin 5 farklı kitap bir rafa dizilecekse diziliş sayısı 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 olur. Kitapların tümü kullanıldığı için seçim aşaması yoktur; yalnızca farklı sıralamalar sayılır.

Faktöriyel, pozitif bir tam sayının kendisinden başlayıp 1’e kadar olan ardışık pozitif tam sayılarla çarpılmasıdır. Örneğin 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ve 0! = 1 kabul edilir. Faktöriyel kavramının temel özellikleri ayrı bir başlıkta incelenebilir.

Permütasyon sorularında uygun model ve çözüm adımları

Bir permütasyon sorusunu çözmeden önce soruda nesnelerin seçilip seçilmediği ve seçilenlerin sıralanıp sıralanmadığı belirlenir. Nesneler birbirinden farklıysa, aynı nesne tekrar kullanılmıyorsa ve görevler ya da konumlar birbirinden farklıysa tekrarsız r’li permütasyon modeli uygundur. Toplam nesne sayısı n, doldurulacak konum veya verilecek görev sayısı r olarak alınır.

Çözüm için önce sorudaki nesneleri ve sıralı yerleri belirleyin. Ardından n ve r değerlerini yazın. Sıralama yapılacağı için P(n,r) = n!/(n-r)! formülünü veya r konum için azalan çarpanları kullanın. Sonuçtan sonra bulunan sayının neyi ifade ettiğini cümleyle belirtin. Eğer bütün nesneler kullanılacaksa r = n alınır ve işlem n! biçimine sadeleşir.

Örneğin 8 öğrenciden bir yarışmada birinci, ikinci ve üçüncü belirlenecekse n = 8 ve r = 3’tür. Dereceler birbirinden farklı olduğundan aynı üç öğrencinin birinci-ikinci-üçüncü sırası değiştiğinde yeni bir sonuç oluşur. Bu nedenle P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336 hesaplanır. Sonuç, 8 öğrenciden üç farklı dereceye sıralı atama yapılabilecek durumların sayısıdır; yalnızca üç öğrencilik bir grubun seçilme sayısı değildir.

Bir fotoğraf sırasında kişilerin yan yana dizilmesi de aynı düşünceyle modellenebilir: Kaç kişi olduğu n, kaç yerin doldurulacağı r olur. Ancak nesnelerin bir çember çevresinde dizildiği dairesel permütasyon farklı bir konu olduğundan burada ayrıntılı olarak ele alınmaz.

Permütasyon sonucunun kontrolü ve yorumlanması

Permütasyon sonucunu kontrol ederken önce sayının sıralı düzenleri mi, yoksa yalnızca seçimleri mi saydığına bakılmalıdır. Soruda başkanlık, derece, koltuk veya belirli konumlar gibi birbirinden farklı roller varsa sıra önemlidir ve permütasyon sonucu aranır. Aynı kişiler farklı görevlere geçtiğinde yeni bir sonuç oluşuyorsa bulunan sayı, sıralı atama sayısını ifade eder.

Sonucun makul olup olmadığını kontrol etmek için her konumda kalan seçenekleri yazabilirsiniz. P(6,3) hesabında çarpanların 6, 5 ve 4 olması gerekir; 6’dan büyük bir ilk çarpan veya üç konum için dört çarpan kullanmak modelleme hatasına işaret eder. Ayrıca r, n’den büyük olamaz; çünkü mevcut nesne sayısından daha fazla farklı nesne seçilemez. r = n olduğunda sonucun n! ile aynı çıkması da önemli bir doğrulamadır. Örneğin P(5,5) = 5! olur. Son olarak sonucun birim olarak neyi saydığını açıkça yazmak, seçim sayısıyla sıralı düzen sayısının karıştırılmasını önler.