TYT Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık: Hangi Soruda Hangi Yöntem?

Temel sayma ilkeleri ve faktöriyel

Bir işlem art arda gerçekleşen aşamalardan oluşuyorsa çarpma ilkesi kullanılır. İlk aşama a farklı biçimde, ikinci aşama b farklı biçimde yapılabiliyorsa iki aşamanın birlikte yapılma sayısı a · b olur. Daha fazla aşama varsa her aşamadaki seçenek sayıları çarpılır. Örneğin bir öğrencinin 3 farklı gömlek ve 2 farklı pantolon arasından birer tane seçmesi 3 · 2 = 6 farklı kıyafet oluşturur. Burada gömlek seçimi ile pantolon seçimi birbirini izleyen iki seçim aşamasıdır.

Faktöriyel, pozitif tam sayıların kendisinden 1'e kadar çarpımını gösterir: n! = n · (n - 1) · ... · 2 · 1. Örneğin 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 ve 0! = 1 kabul edilir. Farklı n nesnenin tamamı sıralanacaksa ilk yere n, ikinci yere n - 1 ve son yere 1 seçenek gelir. Çarpma ilkesi bu nedenle n · (n - 1) · ... · 1 = n! sonucunu verir. Faktöriyel, çok sayıda ardışık çarpımı kısa yazmayı sağlar; permütasyon formüllerinin temelinde de bu mantık vardır.

Permütasyon ve sıralama mantığı

Permütasyon, nesnelerin belirli sayıda seçilip sıralandığı durumların sayısını bulur. Seçilen nesnelerin yer değiştirmesi yeni bir sonuç oluşturuyorsa permütasyon kullanılır. Örneğin üç öğrencinin bir kürsüde birinci, ikinci ve üçüncü sıraya yerleşmesiyle oluşan dizilişlerde sıra önemlidir; A-B-C ile B-A-C aynı sonuç değildir.

n farklı nesneden r tanesini sıralamanın mantığı, boş yerlere sırayla seçenek yerleştirmektir. İlk yere n seçenek, ikinci yere n - 1 seçenek, üçüncü yere n - 2 seçenek gelir ve r. yere kadar devam edilir. Bu nedenle permütasyon sayısı P(n,r) = n! / (n - r)! biçiminde yazılır. Aynı ifade n · (n - 1) · ... · (n - r + 1) şeklinde de hesaplanabilir.

Örneğin 6 kişilik bir gruptan başkan, başkan yardımcısı ve sayman seçilecektir. Görevler farklı olduğu için aynı üç kişinin görevleri değiştirilince yeni bir sonuç oluşur. Başkan için 6, başkan yardımcısı için 5, sayman için 4 seçenek vardır: 6 · 5 · 4 = 120. Formülle de P(6,3) = 6! / 3! = 120 bulunur. Burada önemli olan yalnızca üç kişinin belirlenmesi değil, her birinin farklı bir göreve yerleştirilmesidir.

Tüm nesneler sıralanıyorsa r = n olur ve P(n,n) = n! elde edilir. Örneğin dört farklı kitabın bir rafa dizilmesi 4! = 24 farklı sıra oluşturur.

Kombinasyon ve seçim mantığı

Kombinasyon, bir grup içinden belirli sayıda nesne seçilirken seçilenlerin sırasının önem taşımadığı durumları sayar. Seçilen kişiler aynı ekipte yer alıyor, seçilen kitaplar aynı listeyi oluşturuyor veya seçilecek nesneler yalnızca bir grup olarak değerlendiriliyorsa kombinasyon düşünülür. A, B ve C kişilerinden A ile B'yi seçmek ile B ile A'yı seçmek aynı grubu ifade eder.

n nesneden r tanesini önce sıralayarak sayarsak aynı seçimi r! kez saymış oluruz. Çünkü seçilen r nesne kendi aralarında r! farklı biçimde dizilebilir; oysa kombinasyonda bu dizilişlerin hepsi tek bir seçim kabul edilir. Bu tekrarları gidermek için permütasyon sayısı r!'e bölünür. Böylece kombinasyon sayısı C(n,r) = n! / (r! · (n-r)!) olur.

Örneğin 8 kişilik bir sınıftan 3 kişilik bir çalışma grubu oluşturulacaktır. Burada başkan, sözcü veya sıra gibi farklı görevler yoktur; önemli olan gruba hangi üç kişinin girdiğidir. Sonuç sayısı C(8,3) = 8! / (3! · 5!) = 56 olur. Aynı üç kişinin farklı yazılış sıraları yeni grup oluşturmadığından 8 · 7 · 6 ile bulunan sıralı sonuç doğrudan cevap değildir.

Kombinasyonun temel kontrolü şudur: Seçilenlerin yerini değiştirince sorunun sonucu değişmiyorsa kombinasyon kullanılır. Komite, ekip, takım, jüri veya seçilecek soru grubu gibi ifadeler çoğunlukla bu mantığa işaret eder; ancak kesin karar kelimeye değil, görevin yapısına göre verilmelidir.

Permütasyon ile kombinasyonu ayırma

İki kavram arasındaki temel fark, seçilen nesnelerin sırasının veya görevinin sonucu değiştirip değiştirmemesidir. Birinci, ikinci ve üçüncü gibi dereceler; başkan, başkan yardımcısı ve sayman gibi farklı görevler; koltuklara veya raflara yerleştirme gibi durumlar sıralama içerir ve permütasyon gerektirir. Buna karşılık yalnızca bir grup, ekip veya komite oluşturuluyorsa seçim yapılır ve kombinasyon kullanılır.

Karar vermek için soruyu çözerken şu testi uygulayın: Seçtiğim iki kişinin yerini değiştirirsem yeni bir sonuç mu oluşur? Cevap evetse permütasyon, hayırsa kombinasyon kullanılır. Mekanizma, permütasyonun her farklı dizilişi ayrı sayması; kombinasyonun ise aynı elemanlardan oluşan farklı dizilişleri tek seçimde birleştirmesidir. Bu nedenle kombinasyon formülünde r! ile bölme yapılır; bu bölme, seçilen elemanların kendi aralarındaki sıralama tekrarlarını kaldırır.

Örneğin 5 öğrenciden bir başkan ve bir yardımcı seçilecekse görevler farklıdır. Ali'nin başkan, Ece'nin yardımcı olması ile Ece'nin başkan, Ali'nin yardımcı olması iki farklı sonuçtur; sayı P(5,2) ile bulunur. Aynı 5 öğrenciden iki kişilik bir temsilci grubu seçilecekse görev ayrımı yoktur. Ali-Ece ve Ece-Ali aynı grup olduğundan sayı C(5,2) ile bulunur.

Bazı sorular önce seçim, sonra sıralama içerebilir. Örneğin 7 kişiden 3 kişi seçilip seçilenler arasında başkan, yardımcı ve sekreter görevlerine yerleştiriliyorsa doğrudan P(7,3) düşünmek en kısa yoldur. Önce C(7,3) ile grup seçilip sonra 3! ile görev dağıtmak da aynı sonucu verir: C(7,3) · 3! = P(7,3).

Temel olasılık kavramı ve hesaplama

Olasılık, bir deneyin belirli bir olayla sonuçlanma ihtimalini gösteren ve 0 ile 1 arasında değer alan sayıdır. Deneyin gerçekleşebilecek bütün sonuçları örneklem uzayını oluşturur. Bu sonuçlardan soruda istenenler olay olarak adlandırılır. Eş olasılıklı sonuçlarda temel olasılık, istenen durumların sayısının tüm mümkün durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır: P(A) = İstenen durum sayısı / Tüm durum sayısı.

Örneğin adil bir zar atıldığında örneklem uzayı 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sonuçlarından oluşur. Çift sayı gelmesi istenen olayında 2, 4 ve 6 olmak üzere 3 uygun sonuç vardır. Tüm sonuç sayısı 6 olduğundan olasılık 3/6 = 1/2 olur. Burada payı belirlemek için sorunun istediği koşula uyan sonuçlar, paydayı belirlemek için ise deneyin bütün mümkün sonuçları sayılır.

Olasılık sorularında sayma yöntemleri çoğu zaman pay ve paydayı bulmak için kullanılır. Örneğin 5 farklı kitaptan rastgele 2 kitap seçiliyorsa tüm seçimler C(5,2) ile sayılır. Bu seçimlerin ikisinin de matematik kitabı olması isteniyorsa, matematik kitaplarının sayısı bilindiğinde uygun seçimler yine kombinasyonla bulunur ve uygun seçim sayısı tüm seçim sayısına oranlanır. Sıra önemli olmayan bir seçim olduğu için burada permütasyon yerine kombinasyon kullanılır.

Bir olayın tüm mümkün sonuçları kapsaması durumunda olasılık 1, gerçekleşmesi mümkün olmayan bir olayın olasılığı ise 0'dır. Temel TYT sorularında önce örneklem uzayını açıkça belirlemek, sonra istenen olayın kaç sonuç içerdiğini saymak hatalı payda kullanımını önler.