TYT Geometri Konuları: Temel Kavramlar ve Soru Yaklaşımı

Temel geometrik kavramlar ve açı ilişkileri

Geometride nokta, doğru, doğru parçası, ışın, düzlem ve açı temel kavramlardır. Nokta konum belirtir; doğru iki yönde sonsuza uzanır; doğru parçası iki uç nokta arasında kalır; ışın ise bir başlangıç noktasından tek yönde uzar. Açı, aynı başlangıç noktasına sahip iki ışının oluşturduğu açıklıktır. Açı ölçüsü dereceyle ifade edilir. Dar açı 90 dereceden küçük, dik açı 90 derece, geniş açı 90 ile 180 derece arasında, doğru açı 180 derece ve tam açı 360 derecedir.

Açı ilişkilerini kullanırken önce doğruların kesişme biçimine bakılır. Bir doğru üzerindeki komşu açılar bütünlerdir ve ölçüleri toplamı 180 derecedir. Kesişen iki doğrunun karşılıklı açıları ters açıdır; ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bir nokta etrafında tam dönüşü oluşturan açıların ölçüleri toplamı 360 derecedir. Paralel iki doğruyu bir kesen doğru kestiğinde yöndeş açılar ve iç ters açılar eşit, aynı taraftaki iç açılar ise bütünler olur. Bu ilişkiler, şekilde doğrudan sayı verilmemiş olsa bile bilinmeyen açıyı bulmayı sağlar.

Örneğin iki doğru kesiştiğinde açılardan biri 65 dereceyse karşısındaki açı da 65 derecedir. Bu açıya komşu olan iki açının her biri 180 - 65 = 115 derece olur. Paralel iki doğruyu kesen bir doğru üzerinde bir açı 70 derece olarak verilirse, uygun yöndeş veya iç ters açı 70 derece; aynı taraftaki iç açı ise 110 derece bulunur. Soru çözümünde açıların ortak kenarını, doğrusal açı oluşturup oluşturmadığını ve paralellik işaretlerini kontrol etmek gerekir. Böylece şekil üzerindeki eşitlikler rastgele değil, belirli geometrik ilişkilerden çıkarılır.

Üçgenler

Üçgen, üç kenarı, üç köşesi ve üç iç açısı olan kapalı bir şekildir. İç açılarının toplamı 180 derecedir. Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, eşit açıların karşısında eşit kenarlar bulunur. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşittir; eşkenar üçgende tüm kenarlar ve açılar eşittir. Dik üçgende dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve Pisagor bağıntısı, dik kenarlarla hipotenüs arasındaki uzunluk ilişkisini verir. Üçgen alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır; bu nedenle bir uzunluk oranı diğer uzunluklara aktarılabilir.

Bir soruda üçgenin önce açı toplamı, kenar eşitsizliği, özel kenar-açı ilişkisi veya diklik bilgisi açısından incelenmesi gerekir. Örneğin iki açı 50 ve 60 dereceyse üçüncü açı 70 derecedir; 70 derecenin karşısındaki kenar, 50 derecenin karşısındaki kenardan daha uzundur. Taban ve yükseklik verildiğinde alan doğrudan hesaplanır; yükseklik şeklin dışında kalıyorsa tabanın bulunduğu doğruya dik uzaklık olarak düşünülür. Üçgenlerin ayrıntılı konu anlatımı ve soru çözümleri için ilgili içeriğe başvurulabilir.

Dörtgenler ve çokgenler

Dörtgenler dört kenarlı çokgenlerdir; kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuk temel örneklerdir. Dörtgenin iç açıları toplamı 360 derecedir. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünlerdir; köşegenler birbirini ortalar. Dikdörtgende tüm açılar dik açıdır ve köşegenler eşittir. Kare, hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin özelliklerini taşır. Yamukta en az bir çift karşılıklı kenar paraleldir. Çokgenler üçgenlere ayrılarak incelenebilir; n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı (n - 2) × 180 derecedir. Köşegen, komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.

Alan sorularında şeklin hangi parçalara ayrılabileceği belirlenir. Dikdörtgende alan uzunluk ile genişliğin çarpımı, paralelkenarda taban ile yüksekliğin çarpımı, üçgende olduğu gibi yamukta da paralel kenarların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımı kullanılır. Örneğin bir dikdörtgenin kenarları 6 ve 4 birimse alanı 24 birimkaredir; köşegen çizildiğinde şekil iki eş üçgene ayrılır ve her üçgenin alanı 12 birimkare olur. Çevrede dış sınırdaki kenarlar, alanda ise bölgenin tamamı dikkate alınır.

Çember ve daire

Çember, merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğridir; daire ise bu eğrinin çevrelediği bölgedir. Merkez ile çember üzerindeki bir nokta arasındaki uzaklık yarıçap, merkezden geçerek çemberin iki noktasını birleştiren uzunluk çaptır. Çap, yarıçapın iki katıdır. Çevre hesabında yarıçap veya çap; alan hesabında ise yarıçap kullanılır. Merkez açı, köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır. Çember sorularında merkez, yarıçap, çap, kiriş ve açıların hangi noktalarla kurulduğu belirlenerek ilişki kurulmalıdır.

Örneğin yarıçapı 5 birim olan bir çemberin çapı 10 birim, çevresi 2πr = 10π birim ve dairesel bölgenin alanı πr² = 25π birimkaredir. Bir şeklin içinde yarım daire veya çeyrek daire varsa önce tam dairenin alanı ya da çevresi bulunur, sonra ilgili oran uygulanır. Çevre hesabında yalnızca sınırdaki yaylar ve doğru parçaları; alan hesabında ise kapalı bölgenin tamamı toplanır veya çıkarılır. Çember ve daire için ayrıntılı konu anlatımı ilgili bağlantıda yer alır.

Katı cisimler ve uzay geometrisi

Katı cisimler üç boyutlu şekillerdir ve uzunluk, genişlik, yükseklik gibi ölçülerle tanımlanır. Prizma ve silindirde hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Piramit ve konide aynı çarpımın üçte biri kullanılır. Küre, merkezinden yüzeyindeki her noktaya uzaklığın eşit olduğu cisimdir; kürenin boyutunu yarıçap belirler. Yüzey alanı, cismin dış yüzeylerinin toplamını; hacim ise kapladığı uzay miktarını gösterir. Birimlerin iki boyutlu alan için birimkare, üç boyutlu hacim için birimküp olması gerekir.

Bir dikdörtgenler prizmasının hacmini bulmak için üç kenar ölçüsü çarpılır. Taban şekli dikdörtgen olan bir prizmanın taban alanı uzunluk × genişlik olduğundan hacim bu alanın yükseklikle çarpılmasıyla bulunur. Bir cismin toplam yüzey alanında aynı yüzeylerin kaç kez bulunduğu sayılır; örneğin dikdörtgenler prizmasında karşılıklı yüzler eş çiftler oluşturur. Bir bileşik cisimde şekil daha basit cisimlere ayrılabilir veya eksik parça çıkarılabilir. Sonuçta ölçü birimi ve cismin verilen boyutları mutlaka kontrol edilmelidir. Katı cisimlerin ayrıntılı anlatımı için ilgili içeriğe bakılabilir.

Analitik geometri

Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinat düzlemindeki sayılarla incelemeyi sağlar. Yatay eksen x, düşey eksen y eksenidir; bir nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir. Noktanın hangi bölgede olduğu, koordinatlarının işaretlerinden anlaşılır. İki nokta arasındaki yatay ve düşey farklar, doğru parçasının uzunluğunu ve doğrunun yönünü incelemede kullanılır. Eğim, yatay değişime karşılık düşey değişimi gösteren orandır. Aynı doğru üzerindeki noktalar için eğim aynıdır; yatay doğrunun eğimi 0'dır. Düşey doğruda yatay değişim olmadığı için eğim tanımsız kabul edilir.

İki nokta arasındaki uzaklık, yatay ve düşey farkların oluşturduğu dik üçgen üzerinden bulunabilir: uzaklık = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Orta nokta, iki koordinatın ayrı ayrı ortalaması alınarak bulunur: M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). Örneğin (1, 2) ve (4, 6) noktaları arasında yatay fark 3, düşey fark 4 olduğundan uzaklık 5 birimdir. Koordinat sorusunda önce noktalar eksenlere yerleştirilir, sonra istenen uzaklık, eğim veya kesişim için uygun ilişki seçilir. Analitik geometri ayrıntılı olarak ayrı içerikte ele alınır.

Dönüşüm geometrisi ve simetri

Dönüşüm geometrisi, bir şeklin düzlemde öteleme, dönme veya yansıma yoluyla başka bir konuma taşınmasını inceler. Ötelemede şeklin tüm noktaları aynı yönde ve aynı miktarda hareket eder; bu nedenle uzunluklar, açılar ve şeklin biçimi korunur. Dönmede şekil belirli bir merkez etrafında belirli bir açı kadar çevrilir. Yansımada her nokta, simetri doğrusunun öte yanında ona eşit uzaklıktaki karşılık noktasına taşınır. Bu dönüşümlerin tümünde şeklin boyutu değişmez; yalnızca konumu veya yönü değişebilir.

Koordinat düzleminde öteleme, her noktanın koordinatlarına aynı yatay ve düşey değerlerin eklenmesiyle gösterilir. x eksenine göre yansıma (x, y) noktasını (x, -y), y eksenine göre yansıma ise (-x, y) noktasına taşır. Bir şekil simetri doğrusuna göre incelenirken karşılıklı noktaların bu doğruya uzaklıkları eşit olmalıdır. Örneğin bir şeklin tüm noktaları 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenirse biçim ve kenar uzunlukları değişmez; yalnızca her noktanın koordinatı (x + 3, y + 2) olur. Soruda önce dönüşümün türü ve sabit kalan özellik belirlenmelidir.

Geometri sorularında şekil okuma ve çözüm kurma

Geometri sorusunu çözmeye başlamadan önce metindeki bilgileri şekle aktarmak gerekir. Verilen uzunluklar kenarların üzerine, açı ölçüleri ilgili açıların içine yazılır; eşitlik, paralellik ve diklik işaretleri görünür hâle getirilir. Ardından sorunun ne istediği belirlenir: açı, uzunluk, çevre, alan, hacim veya koordinat bilgisi. Bilinmeyen bir ölçü varsa ona bir harf verilir. Sonraki adım, şekli doğrudan kullanmak yerine uygun alt şekillere ayırmak ya da yardımcı çizgi eklemektir. Bir köşeden karşı kenara çizilen dik doğru, üçgeni dik üçgenlere ayırabilir; köşegen ise dörtgeni iki üçgene bölerek açı ve alan ilişkilerini görünür kılabilir.

Çözüm kurarken önce en kesin bilgiler kullanılmalıdır: doğrusal açı, ters açı, paralellik, üçgen açı toplamı, diklik veya eşit kenar gibi. Daha sonra uygun formül yazılır ve verilenler yerine konur. Örneğin karmaşık görünen bir alan sorusunda şekil iki dikdörtgen ve bir üçgene ayrılabiliyorsa parçaların alanları ayrı ayrı hesaplanıp toplanır. Sonuç, şeklin boyutlarıyla uyumlu mu ve birimi doğru mu diye kontrol edilir. Sistemli yaklaşım; şekli çizme, isteneni belirleme, bilinmeyeni adlandırma, bağıntı kurma, çözme ve sonucu denetleme sırasına dayanır. TYT geometri soru çözüm teknikleri ayrı bir içeriğin konusudur.