Topolojik Uzay Nedir? Topoloji Aksiyomları ve Temel Örnekler

Topolojinin ve topolojik uzayın tanımı

Bir X kümesi üzerinde topoloji, X’in bazı alt kümelerinden oluşan τ ailesidir. Bu ailenin elemanlarına açık kümeler denir. τ ailesi, hangi alt kümelerin uzayın yapısını tanımladığını belirler; dolayısıyla yalnızca noktaların kendisi değil, bu noktaların hangi açık kümeler içinde birlikte ele alınabildiği de önem kazanır. X kümesi τ topolojisiyle birlikte düşünüldüğünde (X, τ) çiftine topolojik uzay denir.

Aynı küme üzerinde farklı topolojiler seçilebilir. Örneğin X = {a, b} kümesinde τ = {∅, X} seçilirse yalnızca boş küme ile tüm küme açık olur; τ = {∅, {a}, {b}, X} seçilirse X’in bütün alt kümeleri açık hâle gelir. Küme aynı kaldığı hâlde açık kümeler ailesi değiştiği için elde edilen topolojik uzayların süreklilik ve yakınlıkla ilgili yapıları da değişir. Topolojinin çalışma biçimi, uzaklıkları doğrudan vermek yerine açık kümeler aracılığıyla yerel davranışı tanımlamaktır.

Örneğin gerçek sayılar üzerindeki alışılmış topolojide açık aralıklar ve bunların birleşimleri açık kümeler olarak kullanılır. Böylece bir noktanın çevresinde, o noktayı içeren yeterince küçük aralıklar bulunması gibi süreklilikle ilgili fikirler uzaklık formülünü topolojinin temel tanımına koymadan ifade edilebilir. Topolojik süreklilik, iki topolojik uzay arasındaki bir fonksiyonun açık kümelerin ters görüntülerini açık tutmasıyla tanımlanır; ayrıntılı tanımı süreklilik konusuna ayrılır.

Topoloji aksiyomları

Bir τ alt kümeler ailesinin X üzerinde topoloji olabilmesi için üç koşulu sağlaması gerekir. İlk olarak boş küme ∅ ve tüm X kümesi τ içinde bulunmalıdır. İkinci olarak τ içindeki kümelerin sayısı sonlu ya da sonsuz olsa bile bunların birleşimi yine τ içinde olmalıdır. Üçüncü olarak τ içindeki sonlu sayıda kümenin kesişimi τ içinde bulunmalıdır. Bu koşullar, açık kümelerle yapılan temel işlemlerin topolojik yapı dışına çıkmasını engeller.

Birleşim aksiyomunun sonsuz sayıda kümeyi de kapsaması önemlidir. Örneğin gerçek sayılar üzerindeki alışılmış topolojide her biri açık aralık olan kümelerin birleşimi açık kalır; kaç tane aralığın birleştiği sınırlanmaz. Buna karşılık kesişim için yalnızca sonlu sayıda küme şartı aranır. İki açık kümenin kesişimi açık olmak zorundadır; örneğin (0, 2) ∩ (1, 3) = (1, 2) açık bir aralıktır. Ancak sonsuz kesişimlerin açık olması genel olarak gerekmez: (−1/n, 1/n) kümelerinin n doğal sayıları üzerinden kesişimi {0} kümesidir ve {0}, gerçek sayıların alışılmış topolojisinde açık değildir.

Bu aksiyomlar bir ailenin topoloji olup olmadığını denetlemek için kullanılır. X = {a, b} için τ = {∅, X, {a}} ailesi bir topolojidir; çünkü izin verilen birleşim ve sonlu kesişimler yine listedeki üç kümeden birini verir. Buna karşılık τ = {{a}, {b}} ailesi topoloji değildir; boş küme ve X ailede bulunmadığı gibi {a} ile {b} kümelerinin birleşimi olan X de ailede yoktur. Böylece tanım, örnekler üzerinde doğrudan uygulanabilir bir kontrol listesi sağlar.

Açık kümeler ve kapalı kümeler

Topolojiyi oluşturan τ ailesinin elemanları açık kümelerdir. Bir A ⊆ X kümesi, tümleyeni X \ A açık olduğunda kapalı olarak adlandırılır. Bu nedenle bir kümenin açık olması ile kapalı olması birbirinin zıddı değildir: Bir küme aynı anda açık ve kapalı olabilir ya da ikisi de olmayabilir. ∅ ve X her topolojik uzayda hem açık hem kapalıdır; çünkü her birinin tümleyeni diğeridir.

Örneğin X = {a, b} üzerinde ayrık topolojide bütün alt kümeler açık olduğundan bütün alt kümeler aynı zamanda kapalıdır. Gerçek sayıların alışılmış topolojisinde [0, 1] kapalıdır; çünkü tümleyeni (−∞, 0) ∪ (1, ∞) açık kümelerin birleşimidir. Buna karşılık (0, 1) açık, [0, 1] kapalıdır; uç noktaların kümeye dâhil edilip edilmemesi bu iki sınıflandırmayı etkiler. Açık ve kapalı kümeler, topolojik yapının temel dili olarak süreklilik ve diğer özelliklerin tanımlanmasına zemin hazırlar.

Temel topolojik uzay örnekleri

En kaba topoloji, X üzerindeki τ = {∅, X} ailesidir. Bu yapıda yalnızca boş küme ve tüm küme açıktır; dolayısıyla açık küme seçimi son derece sınırlıdır. Örneğin X’in tek bir noktası dışında kalan bir alt kümenin açık olup olmadığı sorusuna çoğu zaman olumsuz cevap verilir. Bu topoloji, bir kümenin topoloji oluşturması için gereken en az açık kümeyi gösterir.

Ayrık topolojide ise τ = P(X), yani X’in bütün alt kümelerinin ailesidir. Böylece her alt küme açıktır ve tümleyeni de X’in bir alt kümesi olduğu için her alt küme kapalıdır. X = {a, b, c} için ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} ve X’in tamamı açık kümelerdir. Kaba ve ayrık topolojiler aynı küme üzerinde kurulabilir; aralarındaki fark, açık kümeler ailesinin ne kadar geniş olduğudur.

Gerçek sayılar üzerindeki alışılmış topolojide temel açık kümeler açık aralıklardır: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Bu aralıkların birleşimleri de açıktır ve bu yapı gerçek sayıların bildik süreklilik anlayışıyla uyumludur. Örneğin (0, 1) ile (2, 3) kümelerinin birleşimi açıktır; fakat [0, 1] açık değildir. Uzaklık kullanan metrik uzaylarda açık kümeler, açık disklerin veya gerçek doğru üzerinde açık aralıkların birleşimleri olarak elde edilebilir; bu nedenle metrik uzaylar topolojik uzayların önemli bir özel sınıfıdır.

Topolojinin koruduğu temel fikir

Topoloji, bir nesnenin uzunluk, açı ve kesin biçim gibi niceliksel özelliklerinden önce süreklilik altında değişmeyen yapısal özelliklerine odaklanır. Bir nesne esnetilebilir, bükülebilir veya şekli değiştirilebilir; ancak bu işlem kesme, yapıştırma ya da yeni bir deliğin açılması gibi kopma ve birleşmeleri içermiyorsa topolojik bakış açısından bazı özellikler korunabilir. Bu yaklaşım, bir şeklin tam olarak nasıl göründüğünden çok parçalarının nasıl bir arada bulunduğunu anlamayı sağlar.

Örneğin bir çember ile bir kare, geometrik olarak farklı çizimlerdir; fakat ikisi de tek boyutlu kapalı eğriler olarak aynı türden bir topolojik yapıyı temsil eder. Günlük hayattan kahve kupası ile tek delikli simit de benzer bir fikir verir: Kupadaki kulpun oluşturduğu tek geçiş ile simidin ortasındaki tek delik, biçim değişse de topolojik açıdan karşılaştırılabilir. Buna karşılık delik sayısını değiştirmek için nesneyi kesmek veya yapıştırmak gerekir; bu, izin verilen sürekli deformasyon fikrinin dışındadır.

İki topolojik uzay arasında birebir ve örten, kendisiyle birlikte ters fonksiyonu da sürekli olan bir fonksiyona homeomorfizm denir. Homeomorfik uzaylar, topolojinin incelediği özellikler bakımından aynı kabul edilir. Topolojik süreklilik bu yapının fonksiyonlara nasıl aktarıldığını inceler; bağlantılılık, komşuluklar, bazlar ve altuzay gibi konular ise burada yalnızca adlarıyla anılan ayrı inceleme alanlarıdır.