Topolojik Uzaylar: Açık Kümeler ve Temel Kavramlar

Topolojik uzay ve topoloji tanımı

Bir X kümesi verilsin. X'in alt kümelerinden oluşan τ ailesi aşağıdaki koşulları sağlıyorsa τ ailesine X üzerinde bir topoloji, (X, τ) ikilisine de topolojik uzay denir:

1. Boş küme ∅ ve bütün uzay X, τ ailesindedir.
2. τ içindeki kümelerin herhangi bir birleşimi yine τ içindedir.
3. τ içindeki sonlu sayıda kümenin kesişimi yine τ içindedir.

τ ailesinin elemanlarına açık kümeler denir. Bu aksiyomlar, açık kümelerin bir araya getirilme biçimlerini düzenler. Keyfi sayıda açık kümeyi birleştirebilmemiz, açık kümelerin büyük bölgeler oluşturmasına izin verir; buna karşılık kesişim işlemi için sonluluk şartı gerekir. Örneğin iki açık kümenin kesişimi açık olmak zorundadır, fakat sonsuz sayıda açık kümenin kesişiminin açık olması zorunlu değildir.

Örneğin X = {a, b, c} ve τ = {∅, X, {a}, {a,b}} ailesini ele alalım. Boş küme ile X ailede bulunur; τ içindeki birleşimler ve sonlu kesişimler de yine bu listedeki kümelerden biridir. Dolayısıyla bu aile X üzerinde bir topolojidir. Buna karşılık {∅, {a}, {b}, X} ailesi, {a} ile {b} kümelerinin birleşimi olan {a,b} kümesini içermediği için topoloji değildir.

Bir küme üzerinde birden fazla topoloji kurulabilir. Aynı X kümesi üzerinde bütün alt kümeleri açık seçersek ayrık topolojiyi, yalnızca ∅ ile X'i açık seçersek ayrık olmayan topolojiyi elde ederiz. Bu nedenle topolojik uzay yalnızca nokta kümesinden değil, nokta kümesiyle birlikte seçilen topolojiden oluşur. Topolojik yapı, sayısal bir uzaklık vermeden yakınlıkla ilgili hangi kümelerin kullanılacağını belirler.

Açık ve kapalı kümeler

Bir topolojik uzayda topolojinin elemanı olan her kümeye açık küme denir. Açık olma, kümenin her noktasının küme içinde kalacak biçimde küçük bir topolojik çevreye sahip olması fikrini ifade eder; ancak bu düşüncenin kesin tanımı, seçilen topolojiye göre yapılır. Gerçel sayılardaki alışılmış topolojide açık aralıklar temel açık kümelerdir. Örneğin (1, 3) aralığı açıktır; aralıktaki her x noktası için x'in çevresinde tamamen (1, 3) içinde kalan küçük bir açık aralık bulunabilir.

Bir A alt kümesinin kapalı olması, X \ A tümleyeninin açık olması demektir. Bu tanım, kapalı kümeleri ayrıca yeni bir aksiyomla tanımlamak yerine açık kümeler üzerinden kurar. ∅ ve X her zaman hem açık hem kapalıdır. Açık ve kapalı kavramları birbirinin karşıtı değildir: Bir küme aynı anda hem açık hem kapalı olabilir; ayrıca bazı kümeler ne açık ne de kapalı olabilir.

Kapalı kümelerin temel işlemleri açık kümelerin işlemlerinden türetilir. Sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi ve keyfi sayıda kapalı kümenin kesişimi kapalıdır. Örneğin gerçel sayılarda [0, 1] kapalıdır; çünkü tümleyeni (-∞, 0) ∪ (1, ∞) açık bir kümedir. Buna karşılık (0, 1] kümesi alışılmış topolojide ne açık ne de kapalıdır: kendisi açık değildir ve tümleyeni de açık değildir.

Aynı alt kümenin açık veya kapalı olması topolojiden bağımsız değildir. Ayrık topolojide her alt küme açık olduğundan her alt küme aynı zamanda kapalıdır. Ayrık olmayan topolojide ise genellikle yalnızca ∅ ve X açık, dolayısıyla kapalıdır. Bu durum, açık-kapalı ayrımının kümenin kendisinden çok topolojik yapı tarafından belirlendiğini gösterir.

Topolojik baz ve altbaz

Bir topoloji içindeki her açık kümeyi birleşimler yoluyla üretmeye yarayan kümeler ailesine baz denir. Bir B ailesinin X üzerinde baz olabilmesi için her noktanın en az bir B elemanında bulunması ve iki baz elemanı aynı noktayı içerdiğinde, bu noktanın çevresinde her ikisinin kesişiminde kalan başka bir baz elemanının bulunabilmesi gerekir. B'nin elemanlarının birleşimleri topolojinin açık kümelerini oluşturur.

Gerçel sayıların alışılmış topolojisinde tüm açık aralıklar bir baz oluşturur. Bu nedenle bir kümenin açık olması, kümenin içindeki her noktanın o küme içinde kalan bir açık aralığa sahip olmasıyla anlaşılabilir. Örneğin (0, 2) ∪ (3, 5) gibi bir açık küme, bazdaki açık aralıkların birleşimidir. Baz, topolojinin bütün açık kümelerini tek tek listelemek yerine onları üreten daha küçük bir açıklama sağlar.

Altbaz, bir topolojinin bazını oluşturmak için sonlu kesişimlerin de kullanıldığı daha temel bir ailedir. Bir S ailesi verildiğinde, S elemanlarının sonlu kesişimleri bir baz oluşturuyorsa S topolojinin altbazı olarak adlandırılır. Örneğin bir uzayda belirli türden aralıklar veya başka temel kümeler altbaz olarak seçilebilir; önce sonlu kesişimler alınır, ardından bu kümelerin birleşimleriyle topoloji elde edilir.

İç, kapanış, sınır ve dış kavramları

Bir A alt kümesinin içi, A'nın içinde bulunan bütün açık kümelerin birleşimidir ve int(A) ya da A° ile gösterilir. Başka bir deyişle int(A), A içinde kalan en büyük açık kümedir. Bir noktanın A'nın içinde olması, o noktanın çevresinde tamamen A'ya ait bir açık küme bulunması anlamına gelir. Gerçel sayılarda A = [0, 1] için int(A) = (0, 1)'dir; çünkü uç noktaların etrafında A içinde kalan açık aralıklar bulunmaz.

A'nın kapanışı, A'yı içeren bütün kapalı kümelerin kesişimidir ve cl(A) veya Ā ile gösterilir. Kapanış, A'ya topolojik açıdan eklenebilecek sınır noktalarını da içerir; A'yı içeren en küçük kapalı küme olarak düşünülebilir. Gerçel sayılarda A = (0, 1) için kapanış [0, 1] olur. Çünkü 0 ve 1, A'nın içinde değildir fakat onları içeren her açık çevre A ile kesişir.

A'nın sınırı, kapanış ile içinin farkı olarak tanımlanır: ∂A = cl(A) \ int(A). Sınır, bir noktanın hem A'ya hem de A'nın tümleyenine topolojik olarak yaklaşabildiği bölgedir. Örneğin A = (0, 1) için sınır {0, 1}'dir. A'nın dışı ise tümleyeninin içidir: ext(A) = int(X \ A). Bu da A'nın dışında kalan ve çevresinde A'ya hiç girmeyen açık bölgelerin birleşimidir. Aynı örnekte, X = R ve A = [0, 1] alınırsa dış bölge (-∞, 0) ∪ (1, ∞) olur.

Bu kavramlar birbirleriyle şu ilişkileri taşır: int(A) ⊆ A ⊆ cl(A), sınır ise hem A'nın hem de tümleyeninin kapanışıyla ilişkilidir. Ancak bu ifadelerin anlamı seçilen topolojiye bağlıdır; aynı A kümesinin içi, kapanışı ve sınırı farklı topolojiler altında değişebilir.

Temel topolojik uzay örnekleri

Ayrık topolojide X'in bütün alt kümeleri açıktır: τ = P(X). Bu yapıda her küme aynı zamanda kapalıdır ve her nokta tek başına açık bir küme oluşturur. Örneğin X = {a,b} için ∅, {a}, {b} ve X'in tamamı açıktır. Bu topoloji, mümkün olan en fazla açık kümeyi içerdiği için bir alt kümenin topolojik özelliklerini ayırt etmenin en kolay olduğu örneklerden biridir.

Ayrık olmayan ya da trivial topolojide yalnızca ∅ ve X açıktır. X'te en az iki nokta varsa, tek noktalı bir küme genellikle açık değildir. Bu topolojide açık kümeler çok az olduğundan iç kavramı daralır; boş olmayan ve X olmayan bir A kümesinin içi çoğu durumda ∅ olur. Bu örnek, topolojik yapının açık kümeleri azaltarak yakınlık bilgisini ne kadar değiştirebileceğini gösterir.

Sonlu tümleyenli topolojide açık kümeler ∅ ile tümleyeni sonlu olan kümelerdir. Örneğin X sonsuz bir küme ve A ⊆ X olsun. X \ A sonluysa A açık kabul edilir. Böylece X'in kendisi açıktır; çünkü tümleyeni boştur. Bu yapı, açıklığın doğrudan uzaklıkla değil, kümelerin tümleyenlerinin yapısıyla da belirlenebileceğini gösteren önemli bir örnektir.

Metrik uzaylarda noktalar arasındaki uzaklığı veren d fonksiyonu kullanılarak bir topoloji üretilebilir. Bu topolojinin temel kümeleri açık toplardır: B(x,r) = {y ∈ X : d(x,y) < r}. Açık topların birleşimleri açık kümeleri oluşturur. Gerçel sayılarda alışılmış topoloji, mutlak değer uzaklığından türetilir ve açık toplar açık aralıklarla aynı temel yapıyı verir. Böylece metrik uzaylar, topolojik uzaylara dönüşür; fakat her topolojik uzayda noktalar arasındaki sayısal uzaklığın bulunması gerekmez.

Komşuluk, süreklilik ve yakınsaklığa kısa bakış

Bir küme, içinde x'i barındıran bir açık kümeyi kapsıyorsa x'in bir komşuluğu olarak adlandırılır; yalnızca x'i içermesi komşuluk olması için yeterli değildir. Komşuluklar, açık kümeler üzerinden noktanın yerel çevresini ifade eder ve topolojik yapı farklı seçildiğinde değişebilir.

Topolojik uzaylar arasında süreklilik, bir fonksiyonun hedef uzaydaki her açık kümenin ters görüntüsünü kaynak uzayda açık kümeye dönüştürmesiyle tanımlanır. Yakınsaklık ise bir dizi veya daha genel bir ağın, topolojinin komşulukları aracılığıyla belirli bir noktaya yaklaşmasını ifade eder. Topolojik uzaylarda süreklilik, yakınsaklık ve ağlar; Hausdorff ve diğer ayırma aksiyomları; kompaktlık; bağlantılılık; ürün ve bölüm topolojileri daha ileri konulardır.