TYT Matematik Formülleri: Konu Konu Temel Bağıntılar

Sayılar ve temel işlem bağıntıları

Sayı kümeleri, işlemlerin hangi sayılar üzerinde yapıldığını ve sayıların nasıl sınıflandırıldığını gösterir. Doğal sayılar N = {0, 1, 2, ...}, tam sayılar Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, rasyonel sayılar Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0} ve gerçek sayılar R kümesidir. Her doğal sayı aynı zamanda tam sayı, her tam sayı da rasyonel sayıdır: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçek sayılardır; √2 ve π bunlara örnek verilebilir.

İşlem önceliği, birden fazla işlemin bulunduğu ifadelerde sonucun değişmemesi için kullanılır. Önce parantez, ardından üs ve kök, sonra çarpma-bölme, en son toplama-çıkarma yapılır. Aynı düzeydeki işlemler soldan sağa ilerler. Örneğin 3 + 2 × 5 işleminde önce çarpma yapılır ve sonuç 13 olur; (3 + 2) × 5 ifadesinde ise parantez nedeniyle sonuç 25'tir.

Temel işlem bağıntıları a + 0 = a, a × 1 = a, a × 0 = 0, a + (-a) = 0 ve a × (1/a) = 1 biçimindedir; son bağıntıda a ≠ 0 olmalıdır. Dağılma özelliği a(b + c) = ab + ac şeklindedir. İşaret kurallarında aynı işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü pozitif, farklı işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü negatiftir.

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını gösterir ve |a| ≥ 0'dır. a ≥ 0 ise |a| = a, a < 0 ise |a| = -a olur. Bu nedenle |-7| = 7 ve |5| = 5'tir. Bir ifadenin mutlak değerini açarken, içerideki ifadenin işaretinin hangi aralıkta değiştiği dikkate alınır. Örneğin |x - 3| ifadesi x ≥ 3 için x - 3, x < 3 için 3 - x değerine eşittir. Çift kuvvetlerde (-a)^2 = a^2, tek kuvvetlerde ise (-a)^3 = -a^3 bağıntıları işaretin nasıl değiştiğini gösterir.

Bölünebilme, EBOB ve EKOK

Bölünebilme kuralları, bir sayının başka bir sayıya kalan bırakmadan bölünüp bölünmediğini hızlıca belirler. 2 ile bölünebilme için son basamak çift olmalıdır. 3 ve 9 için rakamlar toplamı sırasıyla 3'ün veya 9'un katı olmalıdır. 4 için son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün, 5 için son basamağın 0 veya 5'in, 10 için son basamağın 0'ın katı olması gerekir. 6 ile bölünebilme, 2 ve 3 ile aynı anda bölünebilmeyi; 12 ile bölünebilme ise 3 ve 4 ile aynı anda bölünebilmeyi gerektirir. 11 kuralında sağdan başlayarak tek ve çift sıradaki basamakların toplamları farkının 0 veya 11'in katı olması aranır.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, EBOB ve EKOK bulmanın temelidir. EBOB, verilen sayıların ortak bölenlerinin en büyüğüdür; EKOK ise ortak katlarının en küçüğüdür. Sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında EBOB için ortak asal çarpanların küçük üsleri, EKOK için tüm asal çarpanların büyük üsleri alınır. Örneğin 24 = 2^3 × 3 ve 36 = 2^2 × 3^2 olduğundan EBOB(24, 36) = 2^2 × 3 = 12, EKOK(24, 36) = 2^3 × 3^2 = 72 olur.

İki pozitif sayı için EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b bağıntısı kullanılabilir. Örnekte 12 × 72 = 24 × 36 eşitliği sağlanır. Bu bağıntı, EBOB veya EKOK değerlerinden biri bilindiğinde diğerini bulmayı sağlar.

Bölme işleminde bölünen = bölen × bölüm + kalan bağıntısı geçerlidir ve 0 ≤ kalan < bölen olmalıdır. Örneğin 47 sayısının 6 ile bölümünde 47 = 6 × 7 + 5 olduğundan bölüm 7, kalan 5'tir. Bir sayının 2, 3, 5 veya 9 gibi bir sayıya bölünüp bölünmediği soruluyorsa, sayının tamamını bölmek yerine ilgili basamak ya da rakam toplamı kuralı uygulanır.

Rasyonel sayılar, oran-orantı ve yüzde

Rasyonel sayılar a/b biçiminde yazılır ve b sıfır olamaz. Kesirlerde toplama ve çıkarma için paydalar eşitlenir; a/b + c/d = (ad + bc)/bd ve a/b - c/d = (ad - bc)/bd bağıntıları kullanılabilir. Çarpma işleminde paylar ve paydalar çarpılır: (a/b) × (c/d) = ac/bd. Bölme işleminde ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c), burada c ≠ 0 olmalıdır. Örneğin 2/3 ÷ 5/4 = 2/3 × 4/5 = 8/15 olur.

Kesirleri sadeleştirmek için pay ve payda aynı sıfır olmayan sayıya bölünür. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak, tam sayıyı pay ile çarpmaya karşılık gelir: n × a/b = na/b. Bir tarifteki 3/4 ölçü iki katına çıkarılacaksa 2 × 3/4 = 6/4 = 3/2 ölçü gerekir. Kesirli miktarın belli bir kısmını bulurken çarpma, bir miktarın içinde kaç kez bulunduğunu bulurken bölme kullanılır. Bu nedenle 2/3 kilogramlık paketlerden 4 kilogram içinde kaç tane olduğunu bulmak için 4 ÷ 2/3 işlemi yapılır. Kesirlerle günlük ölçüm ve miktar problemlerinde bu iki kullanım birbirinden ayrılmalıdır.

Üslü ve köklü ifadeler

Üslü ifade, aynı sayının tekrarlı çarpımını kısa biçimde gösterir. a^m × a^n = a^(m+n), a^m ÷ a^n = a^(m-n) (a ≠ 0), (a^m)^n = a^(mn), (ab)^n = a^n b^n ve (a/b)^n = a^n/b^n bağıntıları aynı taban, kuvvet veya çarpım yapısına göre kullanılır. Ayrıca a^0 = 1 (a ≠ 0), a^(-n) = 1/a^n (a ≠ 0) ve a^(1/n) = n√a bağıntıları vardır. Örneğin 2^3 × 2^4 = 2^7 = 128 olur; çünkü tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır.

Köklü ifadelerde √(ab) = √a × √b ve √(a/b) = √a/√b bağıntıları, uygun tanım koşulları altında kullanılır. Gerçek sayılarda çift dereceli kökün içi negatif olamaz; √a için a ≥ 0 gerekir. Bir kökün içindeki tam kare çarpan dışarı çıkarılabilir: √72 = √(36 × 2) = 6√2. Bu işlem, köklü ifadeleri sadeleştirmeyi ve benzer kökleri toplamayı sağlar. Örneğin 3√2 + 5√2 = 8√2, fakat √2 ile √3 benzer köklü olmadığı için doğrudan toplanamaz.

Kök derecesi çift olduğunda √(a^2) = |a| bağıntısına dikkat edilir; sonuç her zaman negatif olmayan değerdir. Tek dereceli köklerde ise ∛(a^3) = a olur. Paydada kök varsa ifadeyi eş değer biçimde düzenlemek için payda rasyonelleştirilebilir. Üslü ve köklü ifadelerde önce ortak taban veya ortak kök yapısı aranır; işlem ancak bu yapı kurulduktan sonra sadeleştirilir.

Özdeşlikler ve cebirsel ifadeler

Özdeşlik, değişkenlerin uygun tüm değerlerinde doğru olan eşitliktir. Dağılma özelliği temel alınarak çarpanlara ayırma ve ifadeyi açma işlemleri yapılır. En sık kullanılan özdeşlikler şunlardır: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ve (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. Bu bağıntılarda orta terimin işareti, parantez içindeki işlemlere göre belirlenir.

Küp özdeşlikleri (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ve (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 biçimindedir. Küpler toplamı a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), küpler farkı a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) olarak çarpanlara ayrılır. Genel ortak çarpan kuralı da ax + ay = a(x + y) şeklindedir.

Örneğin x^2 - 10x + 25 ifadesi, x^2 - 2·x·5 + 5^2 biçiminde olduğundan (x - 5)^2 olarak yazılır. Tersine (x + 3)(x - 3) ifadesi iki kare farkı özdeşliğiyle x^2 - 9 olur. Özdeşliklerin çalışma mantığı, aynı terimleri düzenleyip dağılma özelliğini uygulamaktır; bu yüzden benzer terimler birleştirilmeden önce parantezler dikkatle açılır.

İkinci dereceden ax^2 + bx + c biçimindeki ifadelerde çarpanlara ayırma yapılırken çarpanların çarpımının ac'ye, uygun toplamının b'ye karşılık gelmesi aranabilir. Örneğin x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) olur; çünkü 2 × 3 = 6 ve 2 + 3 = 5'tir.

Denklemler, eşitsizlikler ve mutlak değer

Birinci dereceden denklemde amaç, bilinmeyeni yalnız bırakmaktır. ax + b = c ve a ≠ 0 ise x = (c - b)/a olur. Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklemek, çıkarmak, sıfır olmayan aynı sayıyla çarpmak veya bölmek eşitliği korur. Örneğin 3x + 5 = 17 denkleminde 3x = 12 ve x = 4 bulunur. Bir denklemde payda varsa, paydaların sıfır olamayacağı değerler önceden dışarıda bırakılır.

İkinci dereceden denklem ax^2 + bx + c = 0 biçimindedir ve a ≠ 0 olmalıdır. Kökler, diskriminant Δ = b^2 - 4ac kullanılarak x = (-b ± √Δ)/(2a) bağıntısıyla bulunur. Δ > 0 ise iki farklı gerçek kök, Δ = 0 ise bir çift katlı gerçek kök, Δ < 0 ise gerçek kök yoktur. Örneğin x^2 - 5x + 6 = 0 denklemi (x - 2)(x - 3) = 0 biçiminde yazılır ve kökler 2 ile 3'tür. Çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden denklemlerde ikinci dereceden denklem formülü kullanılır.

Eşitsizliklerde işaret ve mutlak değer bağıntıları

Eşitsizliklerde toplama ve çıkarma işlemleri yönü değiştirmez; negatif bir sayıyla çarpma veya bölme ise eşitsizlik yönünü tersine çevirir. Örneğin -2x > 6 eşitsizliğinde her iki taraf -2'ye bölündüğünde x < -3 elde edilir. Bir çarpım veya bölümün işareti incelenirken kritik noktalar belirlenir ve aralıkların işaretleri değerlendirilir.

Mutlak değer denklemlerinde |x| = a için a ≥ 0 olmak üzere x = a veya x = -a bulunur. |x - p| = r, r ≥ 0 ise x = p + r veya x = p - r'dir. Mutlak değer eşitsizliklerinde |x| < a, -a < x < a; |x| ≤ a, -a ≤ x ≤ a; |x| > a, x < -a veya x > a; |x| ≥ a, x ≤ -a veya x ≥ a biçiminde açılır. Örneğin |x - 2| ≤ 3 eşitsizliği -3 ≤ x - 2 ≤ 3 olur ve -1 ≤ x ≤ 5 sonucu elde edilir.

Bir mutlak değer ifadesini açmak için içinin sıfır olduğu nokta sınır kabul edilir. |2x - 4| ifadesinde sınır x = 2'dir. x ≥ 2 aralığında |2x - 4| = 2x - 4, x < 2 aralığında ise |2x - 4| = 4 - 2x olur. Bu yöntem, mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerde her aralık için doğru işareti seçmeyi sağlar.

Kümeler, fonksiyonlar ve sayı dizileri

Kümelerde birleşim A ∪ B, iki kümede bulunan tüm elemanları; kesişim A ∩ B, ortak elemanları gösterir. Fark A \ B, A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşur. Tümleyen A' ise evrensel kümede bulunup A'da bulunmayan elemanlardır. Eleman sayıları için n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) bağıntısı kullanılır. Ayrık kümelerde kesişim boş olduğundan birleşimin eleman sayısı doğrudan toplanır. Örneğin n(A) = 8, n(B) = 5 ve n(A ∩ B) = 2 ise n(A ∪ B) = 11'dir.

Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde yalnız bir elemana eşleyen ilişkidir. f: A → B gösteriminde A tanım kümesi, B değer kümesidir. f(x) = 2x + 1 ise f(3) = 7 olur; bileşke (f ∘ g)(x) = f(g(x)) biçiminde hesaplanır. Bir fonksiyonun tanım kümesinde paydanın sıfır olduğu veya çift dereceli kökün içinin negatif olduğu değerler bulunamaz. Sayı dizilerinde ardışık terimler arasındaki sabit fark aritmetik diziyi, sabit oran geometrik diziyi oluşturur. Aritmetik dizide a_n = a_1 + (n - 1)d, geometrik dizide a_n = a_1 · r^(n - 1) bağıntıları kullanılır.

Sayma, olasılık ve veri yorumlama

Sayma problemlerinde çarpma kuralı, ardışık seçimlerin seçenek sayılarının çarpılmasıdır. Bir iş iki aşamada sırasıyla m ve n farklı biçimde yapılabiliyorsa toplam m × n seçenek vardır. Toplama kuralında birbirini dışlayan durumların seçenek sayıları toplanır. n elemanın tamamının sıralanması permütasyonla hesaplanır: P(n) = n!. n elemandan r tanesinin sıralı seçimi P(n, r) = n!/(n-r)!; sırasız seçimi kombinasyonla C(n, r) = n!/[r!(n-r)!] biçimindedir. Örneğin 5 farklı kitaptan 2'sini seçme sayısı C(5,2) = 10'dur; kitapların sırası önemli olsaydı P(5,2) = 20 olurdu.

Olasılık, eş olasılıklı sonuçlarda istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına oranıdır: P(A) = istenen durum sayısı / tüm durum sayısı. Tümleyen olay için P(A') = 1 - P(A), birleşim için P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) bağıntıları kullanılır. Bağımsız olaylarda P(A ∩ B) = P(A)P(B), koşullu olasılıkta P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) ve P(B) ≠ 0'dır. Bir zarın tek sayı gelme olasılığı, üç uygun sonuç altı olası sonucun bulunduğu için 3/6 = 1/2'dir.

Veri yorumlamada aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur: ortalama = toplam / veri sayısı. Sıralanmış veri grubunun ortasındaki değer medyan, en çok tekrar eden değer moddur. Açıklık = en büyük değer - en küçük değer bağıntısıyla hesaplanır. Ağırlıklı ortalama, her değerin kendi ağırlığıyla çarpılıp bu çarpımların ağırlıklar toplamına bölünmesiyle bulunur: ağırlıklı ortalama = Σ(değer × ağırlık) / Σağırlık. Örneğin 4, 6 ve 8 sayılarının ortalaması 18/3 = 6, açıklığı ise 8 - 4 = 4'tür.

Formüllerin kullanım koşulları ve hızlı tekrar düzeni

Her formül, tanım kümesi ve işlem koşulu kontrol edilerek kullanılmalıdır: payda sıfır olamaz, çift dereceli kökün içi gerçek sayılarda negatif olamaz, negatif sayıyla eşitsizlikte bölme yönü değiştirir ve olasılık 0 ile 1 arasında kalır. Formülleri hızlı tekrar etmek için sayılar ve kesirlerden başlayıp üslü-köklü ifadeler, özdeşlikler, denklemler, kümeler-fonksiyonlar ve olasılık-veri sırasını izlemek düzenli bir başvuru akışı sağlar.